相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第3部 第1章 §3.1.4 ★★★ チャネルは「環境とユニタリに相互作用してから環境を捨てる」ことと同じ（Stinespring）。完全正値性は Choi 行列の半正定値性で判定でき、そこから Kraus 表示が必ず存在することが出る
Stinespring 表示：環境ごとユニタリに
3.1.2 節で、混合状態は大きな系の純粋状態の一部として書けた。チャネルにも同じことが言える。
定理 3.1.4（Stinespring 表示 ★★★）
Kraus 表示 (3.1.7) を持つチャネル N \mathcal N N n n n E E E V ^ † V ^ = 1 A \hat V^\dagger\hat V=\mathbf 1_A V ^ † V ^ = 1 A
V ^ ∣ ψ ⟩ = ∑ a K ^ a ∣ ψ ⟩ ⊗ ∣ a ⟩ E (3.1.11) \hat V| \psi \rangle =\sum_a\hat K_a| \psi \rangle \otimes| a \rangle _E\tag{3.1.11} V ^ ∣ ψ ⟩ = a ∑ K ^ a ∣ ψ ⟩ ⊗ ∣ a ⟩ E ( 3.1.11 )
を作ると、N ( ρ ^ ) = Tr E [ V ^ ρ ^ V ^ † ] \mathcal N(\hat\rho)=\operatorname{Tr}_E\bigl[\hat V\hat\rho\hat V^\dagger\bigr] N ( ρ ^ ) = Tr E [ V ^ ρ ^ V ^ † ] V ^ \hat V V ^ U ^ \hat U U ^
N ( ρ ^ ) = Tr E [ U ^ ( ρ ^ ⊗ ∣ 0 ⟩ ⟨ 0 ∣ E ) U ^ † ] , K ^ a = ( 1 ⊗ ⟨ a ∣ E ) U ^ ( 1 ⊗ ∣ 0 ⟩ E ) (3.1.12) \mathcal N(\hat\rho)=\operatorname{Tr}_E\bigl[\hat U(\hat\rho\otimes| 0 \rangle \langle 0 |_E)\hat U^\dagger\bigr],\qquad \hat K_a=(\mathbf 1\otimes\langle a |_E)\,\hat U\,(\mathbf 1\otimes| 0 \rangle _E)\tag{3.1.12} N ( ρ ^ ) = Tr E [ U ^ ( ρ ^ ⊗ ∣0 ⟩ ⟨ 0 ∣ E ) U ^ † ] , K ^ a = ( 1 ⊗ ⟨ a ∣ E ) U ^ ( 1 ⊗ ∣0 ⟩ E ) ( 3.1.12 )
と書ける1 1 W. F. Stinespring (1955), Proc. Amer. Math. Soc. 6, 211–216。
証明 V ^ † V ^ = ∑ a , b K ^ b † K ^ a ⟨ b ∣ a ⟩ = ∑ a K ^ a † K ^ a = 1 \hat V^\dagger\hat V=\sum_{a,b}\hat K_b^\dagger\hat K_a\langle b | a \rangle =\sum_a\hat K_a^\dagger\hat K_a=\mathbf 1 V ^ † V ^ = ∑ a , b K ^ b † K ^ a ⟨ b ∣ a ⟩ = ∑ a K ^ a † K ^ a = 1 V ^ \hat V V ^ V ^ ρ ^ V ^ † = ∑ a , b K ^ a ρ ^ K ^ b † ⊗ ∣ a ⟩ ⟨ b ∣ \hat V\hat\rho\hat V^\dagger=\sum_{a,b}\hat K_a\hat\rho\hat K_b^\dagger\otimes| a \rangle \langle b | V ^ ρ ^ V ^ † = ∑ a , b K ^ a ρ ^ K ^ b † ⊗ ∣ a ⟩ ⟨ b ∣ E E E a = b a=b a = b ∑ a K ^ a ρ ^ K ^ a † \sum_a\hat K_a\hat\rho\hat K_a^\dagger ∑ a K ^ a ρ ^ K ^ a † ∣ ψ ⟩ ⊗ ∣ 0 ⟩ E | \psi \rangle \otimes| 0 \rangle _E ∣ ψ ⟩ ⊗ ∣0 ⟩ E U ^ \hat U U ^ U ^ ( ∣ ψ ⟩ ⊗ ∣ 0 ⟩ ) = V ^ ∣ ψ ⟩ \hat U(| \psi \rangle \otimes| 0 \rangle )=\hat V| \psi \rangle U ^ ( ∣ ψ ⟩ ⊗ ∣0 ⟩) = V ^ ∣ ψ ⟩ (3.1.12) が成り立ち、( 1 ⊗ ⟨ a ∣ ) V ^ ∣ ψ ⟩ = K ^ a ∣ ψ ⟩ (\mathbf 1\otimes\langle a |)\hat V| \psi \rangle =\hat K_a| \psi \rangle ( 1 ⊗ ⟨ a ∣ ) V ^ ∣ ψ ⟩ = K ^ a ∣ ψ ⟩
振幅減衰では、環境を1つの量子ビット（たとえば光の1つのモードの光子数 0 , 1 0,1 0 , 1
U ^ : ∣ 0 ⟩ A ∣ 0 ⟩ E ↦ ∣ 0 ⟩ A ∣ 0 ⟩ E , ∣ 1 ⟩ A ∣ 0 ⟩ E ↦ 1 − γ ∣ 1 ⟩ A ∣ 0 ⟩ E + γ ∣ 0 ⟩ A ∣ 1 ⟩ E (3.1.13) \hat U:\ | 0 \rangle _A| 0 \rangle _E\mapsto| 0 \rangle _A| 0 \rangle _E,\qquad | 1 \rangle _A| 0 \rangle _E\mapsto\sqrt{1-\gamma}\,| 1 \rangle _A| 0 \rangle _E+\sqrt\gamma\,| 0 \rangle _A| 1 \rangle _E\tag{3.1.13} U ^ : ∣0 ⟩ A ∣0 ⟩ E ↦ ∣0 ⟩ A ∣0 ⟩ E , ∣1 ⟩ A ∣0 ⟩ E ↦ 1 − γ ∣1 ⟩ A ∣0 ⟩ E + γ ∣0 ⟩ A ∣1 ⟩ E ( 3.1.13 )
とすればよい。励起が確率振幅 γ \sqrt\gamma γ ( 1 ⊗ ⟨ 0 ∣ ) U ^ ( 1 ⊗ ∣ 0 ⟩ ) = d i a g ( 1 , 1 − γ ) = K ^ 0 (\mathbf 1\otimes\langle 0 |)\hat U(\mathbf 1\otimes| 0 \rangle )=\mathrm{diag}(1,\sqrt{1-\gamma})=\hat K_0 ( 1 ⊗ ⟨ 0∣ ) U ^ ( 1 ⊗ ∣0 ⟩) = diag ( 1 , 1 − γ ) = K ^ 0 ( 1 ⊗ ⟨ 1 ∣ ) U ^ ( 1 ⊗ ∣ 0 ⟩ ) = γ ∣ 0 ⟩ ⟨ 1 ∣ = K ^ 1 (\mathbf 1\otimes\langle 1 |)\hat U(\mathbf 1\otimes| 0 \rangle )=\sqrt\gamma| 0 \rangle \langle 1 |=\hat K_1 ( 1 ⊗ ⟨ 1∣ ) U ^ ( 1 ⊗ ∣0 ⟩) = γ ∣0 ⟩ ⟨ 1∣ = K ^ 1 (3.1.8) が出る。E E E ∣ 1 ⟩ | 1 \rangle ∣1 ⟩ U ^ \hat U U ^
図 3.1.2 Stinespring 表示 (3.1.12) 。系 A A A E E E U ^ \hat U U ^ E E E A A A N \mathcal N N
Stinespring 表示を使うと、チャネルを「情報が環境へ漏れる過程」として読むことができる。U ^ \hat U U ^ A A A E E E A A A A A A E E E E E E A A A 3.1.5 節）のは、見分けるための情報の一部が E E E
Choi 行列と完全正値性の判定
チャネルを Kraus 演算子でなく1つの行列で表す方法がある。R R R A A A d d d ∣ Φ + ⟩ = ∑ i = 1 d ∣ i ⟩ R ∣ i ⟩ A / d | \Phi^+ \rangle =\sum_{i=1}^d| i \rangle _R| i \rangle _A/\sqrt d ∣ Φ + ⟩ = ∑ i = 1 d ∣ i ⟩ R ∣ i ⟩ A / d A A A
定義 3.1.5（Choi 行列）
線型写像 N \mathcal N N Choi 行列 を
C N = ( i d R ⊗ N ) ( ∣ Φ + ⟩ ⟨ Φ + ∣ ) = 1 d ∑ i , j ∣ i ⟩ ⟨ j ∣ R ⊗ N ( ∣ i ⟩ ⟨ j ∣ ) (3.1.14) C_{\mathcal N}=(\mathrm{id}_R\otimes\mathcal N)\bigl(| \Phi^+ \rangle \langle \Phi^+ |\bigr)=\frac1d\sum_{i,j}| i \rangle \langle j |_R\otimes\mathcal N\bigl(| i \rangle \langle j |\bigr)\tag{3.1.14} C N = ( id R ⊗ N ) ( ∣ Φ + ⟩ ⟨ Φ + ∣ ) = d 1 i , j ∑ ∣ i ⟩ ⟨ j ∣ R ⊗ N ( ∣ i ⟩ ⟨ j ∣ ) ( 3.1.14 )
と定める（基底の並びは R ⊗ A R\otimes A R ⊗ A
式 (3.1.14) の右辺から、C N C_{\mathcal N} C N ( i , j ) (i,j) ( i , j ) N ( ∣ i ⟩ ⟨ j ∣ ) / d \mathcal N(| i \rangle \langle j |)/d N ( ∣ i ⟩ ⟨ j ∣ ) / d N \mathcal N N A A A Tr A C N = 1 R / d \operatorname{Tr}_AC_{\mathcal N}=\mathbf 1_R/d Tr A C N = 1 R / d δ i j / d \delta_{ij}/d δ ij / d
定理 3.1.6（Choi の定理 ★★★）
線型写像 N \mathcal N N N \mathcal N N C N ≥ 0 C_{\mathcal N}\ge0 C N ≥ 0 N \mathcal N N N ( ρ ^ ) = ∑ a K ^ a ρ ^ K ^ a † \mathcal N(\hat\rho)=\sum_a\hat K_a\hat\rho\hat K_a^\dagger N ( ρ ^ ) = ∑ a K ^ a ρ ^ K ^ a † C N C_{\mathcal N} C N d × d B d\times d_B d × d B 2 2 M.-D. Choi (1975), Linear Algebra Appl. 10, 285–290。
証明 (a)⇒ \Rightarrow ⇒ C N C_{\mathcal N} C N ∣ Φ + ⟩ ⟨ Φ + ∣ | \Phi^+ \rangle \langle \Phi^+ | ∣ Φ + ⟩ ⟨ Φ + ∣ i d R ⊗ N \mathrm{id}_R\otimes\mathcal N id R ⊗ N ⇒ \Rightarrow ⇒ 3.1.3 節で示した。(b)⇒ \Rightarrow ⇒ C N = ∑ k w k ∣ v k ⟩ ⟨ v k ∣ C_{\mathcal N}=\sum_kw_k| v_k \rangle \langle v_k | C N = ∑ k w k ∣ v k ⟩ ⟨ v k ∣ w k > 0 w_k>0 w k > 0 ∣ v k ⟩ = ∑ i , m ( v k ) i m ∣ i ⟩ R ∣ m ⟩ A | v_k \rangle =\sum_{i,m}(v_k)_{im}| i \rangle _R| m \rangle _A ∣ v k ⟩ = ∑ i , m ( v k ) im ∣ i ⟩ R ∣ m ⟩ A
K ^ k = d w k ∑ i , m ( v k ) i m ∣ m ⟩ ⟨ i ∣ (3.1.15) \hat K_k=\sqrt{d\,w_k}\sum_{i,m}(v_k)_{im}| m \rangle \langle i |\tag{3.1.15} K ^ k = d w k i , m ∑ ( v k ) im ∣ m ⟩ ⟨ i ∣ ( 3.1.15 )
とおくと、∑ k K ^ k ∣ i ⟩ ⟨ j ∣ K ^ k † = d ∑ k w k ∑ m , n ( v k ) i m ( v k ) j n ‾ ∣ m ⟩ ⟨ n ∣ \sum_k\hat K_k| i \rangle \langle j |\hat K_k^\dagger=d\sum_kw_k\sum_{m,n}(v_k)_{im}\overline{(v_k)_{jn}}| m \rangle \langle n | ∑ k K ^ k ∣ i ⟩ ⟨ j ∣ K ^ k † = d ∑ k w k ∑ m , n ( v k ) im ( v k ) j n ∣ m ⟩ ⟨ n ∣ C N C_{\mathcal N} C N ( i , j ) (i,j) ( i , j ) d d d N ( ∣ i ⟩ ⟨ j ∣ ) \mathcal N(| i \rangle \langle j |) N ( ∣ i ⟩ ⟨ j ∣ ) N = ∑ k K ^ k ( ⋅ ) K ^ k † \mathcal N=\sum_k\hat K_k(\cdot)\hat K_k^\dagger N = ∑ k K ^ k ( ⋅ ) K ^ k †
この定理で、量子チャネル（定義 3.1.3 ）は条件 (3.1.6) を満たす Kraus 表示を持つものと同じであることが分かった。定理 3.1.4 と合わせると、量子チャネルの3つの書き方（CPTP 写像・Kraus 表示・環境とのユニタリな相互作用）はすべて同じものを指す。Choi 行列の固有分解は1通りでなく、別の分解（∑ k w k ∣ v k ⟩ ⟨ v k ∣ \sum_kw_k| v_k \rangle \langle v_k | ∑ k w k ∣ v k ⟩ ⟨ v k ∣
正値だが完全正値でない写像
偏極解消の Choi 行列は、N ( ρ ^ ) = λ ρ ^ + ( 1 − λ ) Tr ( ρ ^ ) 1 / 2 \mathcal N(\hat\rho)=\lambda\hat\rho+(1-\lambda)\operatorname{Tr}(\hat\rho)\mathbf 1/2 N ( ρ ^ ) = λ ρ ^ + ( 1 − λ ) Tr ( ρ ^ ) 1 /2 (3.1.14) に入れて
C = λ ∣ Φ + ⟩ ⟨ Φ + ∣ + ( 1 − λ ) 1 4 C=\lambda| \Phi^+ \rangle \langle \Phi^+ |+(1-\lambda)\frac{\mathbf 1}{4} C = λ ∣ Φ + ⟩ ⟨ Φ + ∣ + ( 1 − λ ) 4 1
である。固有値は ∣ Φ + ⟩ | \Phi^+ \rangle ∣ Φ + ⟩ ( 1 + 3 λ ) / 4 (1+3\lambda)/4 ( 1 + 3 λ ) /4 ( 1 − λ ) / 4 (1-\lambda)/4 ( 1 − λ ) /4 − 1 / 3 ≤ λ ≤ 1 -1/3\le\lambda\le1 − 1/3 ≤ λ ≤ 1 r ↦ λ r \bm{r}\mapsto\lambda\bm{r} r ↦ λ r ∣ λ ∣ ≤ 1 \lvert \lambda\rvert \le1 ∣ λ ∣ ≤ 1 − 1 ≤ λ < − 1 / 3 -1\le\lambda<-1/3 − 1 ≤ λ < − 1/3 λ = − 1 \lambda=-1 λ = − 1 r ↦ − r \bm{r}\mapsto-\bm{r} r ↦ − r ( 1 + 3 λ ) / 4 (1+3\lambda)/4 ( 1 + 3 λ ) /4 − 1 / 2 -1/2 − 1/2 ρ ^ ↦ Y ρ ^ T Y \hat\rho\mapsto Y\hat\rho^{\mathsf T}Y ρ ^ ↦ Y ρ ^ T Y Y Y Y ρ ^ ↦ ρ ^ T \hat\rho\mapsto\hat\rho^{\mathsf T} ρ ^ ↦ ρ ^ T 1 / 2 1/2 1/2 { 1 2 , 1 2 , 1 2 , − 1 2 } \{\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12,-\tfrac12\} { 2 1 , 2 1 , 2 1 , − 2 1 } r ↦ − r \bm{r}\mapsto-\bm{r} r ↦ − r ∣ Φ + ⟩ | \Phi^+ \rangle ∣ Φ + ⟩
例題 3.1.4 経路の記録とコヒーレンスの減り方 ★★★
オリジナル 量子ビット A A A ∣ 1 ⟩ | 1 \rangle ∣1 ⟩ E E E ∣ e 0 ⟩ | e_0 \rangle ∣ e 0 ⟩ ∣ e 1 ⟩ | e_1 \rangle ∣ e 1 ⟩
∣ 0 ⟩ A ∣ e 0 ⟩ E ↦ ∣ 0 ⟩ A ∣ e 0 ⟩ E , ∣ 1 ⟩ A ∣ e 0 ⟩ E ↦ ∣ 1 ⟩ A ∣ e 1 ⟩ E | 0 \rangle _A| e_0 \rangle _E\mapsto| 0 \rangle _A| e_0 \rangle _E,\qquad | 1 \rangle _A| e_0 \rangle _E\mapsto| 1 \rangle _A| e_1 \rangle _E ∣0 ⟩ A ∣ e 0 ⟩ E ↦ ∣0 ⟩ A ∣ e 0 ⟩ E , ∣1 ⟩ A ∣ e 0 ⟩ E ↦ ∣1 ⟩ A ∣ e 1 ⟩ E
を考える。c = ⟨ e 0 ∣ e 1 ⟩ c=\langle e_0 | e_1 \rangle c = ⟨ e 0 ∣ e 1 ⟩ 0 ≤ c ≤ 1 0\le c\le1 0 ≤ c ≤ 1 E E E A A A ∣ 0 ⟩ | 0 \rangle ∣0 ⟩ ∣ 1 ⟩ | 1 \rangle ∣1 ⟩
A A A ρ ^ \hat\rho ρ ^ E E E ( ρ 00 c ρ 01 c ρ 10 ρ 11 ) \begin{pmatrix}\rho_{00}&c\,\rho_{01}\\c\,\rho_{10}&\rho_{11}\end{pmatrix} ( ρ 00 c ρ 10 c ρ 01 ρ 11 ) c = 0.8 c=0.8 c = 0.8 ∣ + ⟩ | + \rangle ∣ + ⟩ このチャネルが位相反転（確率 p p p Z Z Z p p p c c c c = 0.8 c=0.8 c = 0.8 p p p
E E E ∣ e 0 ⟩ , ∣ e 1 ⟩ | e_0 \rangle ,| e_1 \rangle ∣ e 0 ⟩ , ∣ e 1 ⟩ 3.1.5 節の定理 3.1.8 によって ( 1 + 1 − c 2 ) / 2 (1+\sqrt{1-c^2})/2 ( 1 + 1 − c 2 ) /2 c = 0.8 c=0.8 c = 0.8 A A A c c c
解答
入力を ρ ^ = ∑ a , a ′ ρ a a ′ ∣ a ⟩ ⟨ a ′ ∣ \hat\rho=\sum_{a,a'}\rho_{aa'}| a \rangle \langle a' | ρ ^ = ∑ a , a ′ ρ a a ′ ∣ a ⟩ ⟨ a ′ ∣ ∑ a , a ′ ρ a a ′ ∣ a ⟩ ⟨ a ′ ∣ ⊗ ∣ e a ⟩ ⟨ e a ′ ∣ \sum_{a,a'}\rho_{aa'}| a \rangle \langle a' |\otimes| e_a \rangle \langle e_{a'} | ∑ a , a ′ ρ a a ′ ∣ a ⟩ ⟨ a ′ ∣ ⊗ ∣ e a ⟩ ⟨ e a ′ ∣ E E E ∣ e a ⟩ ⟨ e a ′ ∣ | e_a \rangle \langle e_{a'} | ∣ e a ⟩ ⟨ e a ′ ∣ ⟨ e a ′ ∣ e a ⟩ \langle e_{a'} | e_a \rangle ⟨ e a ′ ∣ e a ⟩ a = a ′ a=a' a = a ′ 1 1 1 a ≠ a ′ a\neq a' a = a ′ c c c ⟨ e 1 ∣ e 0 ⟩ = c \langle e_1 | e_0 \rangle =c ⟨ e 1 ∣ e 0 ⟩ = c ∣ + ⟩ | + \rangle ∣ + ⟩ ρ 01 = ρ 10 = 1 / 2 \rho_{01}=\rho_{10}=1/2 ρ 01 = ρ 10 = 1/2 1 2 ( 1 c c 1 ) \frac12\begin{pmatrix}1&c\\c&1\end{pmatrix} 2 1 ( 1 c c 1 ) ( c , 0 , 0 ) = ( 0.8 , 0 , 0 ) (c,0,0)=(0.8,0,0) ( c , 0 , 0 ) = ( 0.8 , 0 , 0 )
位相反転は非対角成分を 1 − 2 p 1-2p 1 − 2 p 1 − 2 p = c 1-2p=c 1 − 2 p = c p = ( 1 − c ) / 2 p=(1-c)/2 p = ( 1 − c ) /2 c = 0.8 c=0.8 c = 0.8 p = 0.1 p=0.1 p = 0.1
( 1 + 1 − 0.64 ) / 2 = ( 1 + 0.6 ) / 2 = 0.8 (1+\sqrt{1-0.64})/2=(1+0.6)/2=0.8 ( 1 + 1 − 0.64 ) /2 = ( 1 + 0.6 ) /2 = 0.8 A A A c c c E E E 1 − c 2 \sqrt{1-c^2} 1 − c 2 c 2 + ( 1 − c 2 ) 2 = 1 c^2+\bigl(\sqrt{1-c^2}\bigr)^2=1 c 2 + ( 1 − c 2 ) 2 = 1 E E E c → 0 c\to0 c → 0 A A A c → 1 c\to1 c → 1 A A A A A A A A A E E E
1 W. F. Stinespring (1955), Proc. Amer. Math. Soc. 6, 211–216。
2 M.-D. Choi (1975), Linear Algebra Appl. 10, 285–290。
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
