比べる2つの状態：もつれた状態と分離可能な状態

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第3部 第4章 §3.4.1　★★★ 分離可能な状態は「古典的な通信で作れる相関」で、もつれはその外にある相関である。純粋状態では Schmidt 係数がもつれのすべてを決める

前の2つの章（第3部第2章・第3部第3章）では、量子相対エントロピー$D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)=\operatorname{Tr}\hat\rho(\ln\hat\rho-\ln\hat\sigma)$ が負にならないこと（Klein の不等式）と、量子チャネルを通すと増えないこと（量子データ処理不等式）を示した。第3部第2章では、2つの系 $A$、$B$ の状態を周辺の積 $\hat\rho_A\otimes\hat\rho_B$ と比べて量子相互情報量を作り、条件付きエントロピー $S(A\,|\,B)$ が負になりうることを見た。そこで「負になるのはもつれの目印である」と書いたが、もつれとは何か、どれだけもつれているかはまだ定義していない。この章でそれを定義する。

この章で比べる2つの状態は、調べたい状態 $\hat\rho_{AB}$ と、分離可能な状態（離れた2人が古典的な通信だけで用意できる状態）の集合のうちで $\hat\rho_{AB}$ にいちばん近いものである。その間の相対エントロピーを相対エントロピー・オブ・エンタングルメント $E_{\mathrm R}$ と呼ぶ。当てる性質は量子データ処理不等式で、「離れた2人が手元の操作と古典的な通信（LOCC）だけを使っても $E_{\mathrm R}$ は増えない」がそこから1行で出る。出てくるものは3つある。純粋状態では $E_{\mathrm R}$ が部分系の von Neumann エントロピー $S(\hat\rho_A)$ に等しいことと、LOCC で純粋状態を別の純粋状態へ変えられる条件（Nielsen の定理）。混合状態でもつれを判定する部分転置の方法と、いくつかあるもつれの測度の大小関係。最後に、多数のコピーから最大にもつれた対（ebit）を何組取り出せるかという蒸留の率で、純粋状態ではそれがちょうど $S(\hat\rho_A)/\ln2$ になる。

この章の対数は自然対数で、情報量の単位は nat とする。最大にもつれた2量子ビットの対1組を 1 ebit と数え、$1\ \mathrm{ebit}=\ln2$ nat である。Pauli 行列は $X$、$Y$、$Z$、恒等演算子は $\mathbf 1$ と書く（第3部第2章と同じ）。系はすべて有限次元で、$A$ の次元を $d_A$、$B$ の次元を $d_B$ とする。$A$ を持つ人を Alice、$B$ を持つ人を Bob と呼ぶ。

分離可能な状態の定義

Alice と Bob が遠く離れていて、量子系を送り合うことはできず、電話（古典的な通信）だけが使えるとする。2人が協力して作れる状態はどこまでか。Alice は手元で好きな状態 $\hat\rho_A^{(k)}$ を、Bob は $\hat\rho_B^{(k)}$ を用意できるので、積状態 $\hat\rho_A^{(k)}\otimes\hat\rho_B^{(k)}$ は作れる。さらに Alice が確率 $p_k$ で番号 $k$ を引いて電話で伝え、2人がその番号に対応する状態を用意してから番号を忘れれば、全体の状態は混合$\sum_kp_k\hat\rho_A^{(k)}\otimes\hat\rho_B^{(k)}$ になる。これより多くは作れない。

この定義は R. F. Werner による¹1R. F. Werner (1989), Physical Review A 40, 4277–4281。下の脚注へ閉じる。$\mathrm{SEP}$ は混合を取っても外へ出ないので凸集合であり、各 $\hat\sigma_A^{(k)}$、$\hat\sigma_B^{(k)}$ を固有値分解すれば、式 (3.4.1) の各項は純粋な積状態 $| a_k \rangle \langle a_k |\otimes| b_k \rangle \langle b_k |$ に取り直せる。有限次元では $\mathrm{SEP}$ は閉じた有界集合でもある（項の数は $(d_Ad_B)^2$ 個で足りることが Carathéodory の定理から分かる）。

分離可能な状態にも相関はある。例えば $\frac12(| 00 \rangle \langle 00 |+| 11 \rangle \langle 11 |)$ は、Alice と Bob の測定結果がいつも一致する。ただしこの相関は、硬貨を投げて結果を2人に知らせれば作れる種類の相関で、古典の確率変数の相関と変わらない。もつれた状態の相関は、このやり方では作れない相関である。

純粋状態のもつれと Schmidt 分解

純粋状態 $| \Psi \rangle _{AB}$ が分離可能になるのは積状態 $| a \rangle \otimes| b \rangle$ のときに限る。$| \Psi \rangle \langle \Psi |=\sum_kp_k\hat\sigma^{(k)}$ と分解すると、両辺を $| \Psi \rangle$ に直交する任意の $| \phi \rangle$ で挟んで $0=\sum_kp_k\langle \phi | \hat\sigma^{(k)} | \phi \rangle$ になり、各項は $0$ 以上なのですべての $\hat\sigma^{(k)}$ は $| \Psi \rangle$ に直交する方向を持たない。つまりすべての $\hat\sigma^{(k)}$ が $| \Psi \rangle \langle \Psi |$ に等しく、$| \Psi \rangle$ 自身が積状態でなければならない。

純粋状態がどれだけ積状態から離れているかは、第3部第2章の Schmidt 分解（第3部第2章）で読む。

$$| \Psi \rangle =\sum_{k=1}^{r}\sqrt{\lambda_k}\,| u_k \rangle \otimes| v_k \rangle ,\qquad \lambda_1\ge\lambda_2\ge\dots\ge\lambda_r>0,\quad\sum_k\lambda_k=1\tag{3.4.2}$$

で、$\{| u_k \rangle \}$、$\{| v_k \rangle \}$ はそれぞれ $A$、$B$ の正規直交系である。係数の行列 $c_{ab}=(\langle a |\otimes\langle b |)| \Psi \rangle$ の特異値が $\sqrt{\lambda_k}$ で、個数 $r$ を Schmidt 階数と呼ぶ。部分系の状態は $\hat\rho_A=\sum_k\lambda_k| u_k \rangle \langle u_k |$、$\hat\rho_B=\sum_k\lambda_k| v_k \rangle \langle v_k |$ で、同じ固有値を持つ。積状態であることは $r=1$ と同じで、それは $\hat\rho_A$ が純粋状態であることとも同じである。

Alice と Bob がそれぞれの手元でユニタリ $\hat U_A\otimes\hat U_B$ を当てても、基底 $\{| u_k \rangle \}$、$\{| v_k \rangle \}$ が回るだけで $\lambda_k$ は変わらない。逆に、$\lambda_k$ が同じ2つの純粋状態は局所ユニタリで移り合う。したがって純粋状態のもつれに関する性質は、確率分布 $\lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_r)$ だけで決まる。この分布の Shannon エントロピーに名前を付けておく。

2量子ビットでは、4つの Bell 状態

$$| \Phi^\pm \rangle =\frac{1}{\sqrt2}(| 00 \rangle \pm| 11 \rangle ),\qquad | \Psi^\pm \rangle =\frac{1}{\sqrt2}(| 01 \rangle \pm| 10 \rangle )\tag{3.4.4}$$

がどれも $\lambda=(1/2,1/2)$ で $E=\ln2$、つまり 1 ebit を持つ。4つは $| \Phi^- \rangle =(Z\otimes\mathbf 1)| \Phi^+ \rangle$、$| \Psi^+ \rangle =(X\otimes\mathbf 1)| \Phi^+ \rangle$、$| \Psi^- \rangle =-(XZ\otimes\mathbf 1)| \Phi^+ \rangle$ のように Alice だけの操作で移り合う。

比べる相手

純粋状態では $E(\Psi)$ という自然な量があるが、混合状態では $S(\hat\rho_A)$ はもつれの量にならない。$\frac12(| 00 \rangle \langle 00 |+| 11 \rangle \langle 11 |)$ は分離可能なのに $S(\hat\rho_A)=\ln2$ である。部分系の混ざり具合には、もつれによる分と、古典的な混合による分が区別なく入ってしまう。そこでこの章では、第1部で「独立な分布までの $D$」として相互情報量を定義したのと同じやり方を取り、$\hat\rho_{AB}$ を分離可能な状態の集合と比べる。図 3.4.1 はその見取り図である。比べる相手を周辺の積 $\hat\rho_A\otimes\hat\rho_B$ 1点に取れば相互情報量で、それは古典的な相関も含めた全部の相関を測る。相手を $\mathrm{SEP}$ 全体に広げて最も近い点を選べば、古典的な通信で作れる相関の分が差し引かれ、もつれの分だけが残る。

1　R. F. Werner (1989), Physical Review A 40, 4277–4281。