相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第3部 第4章 §3.4.2 ★★★ 分離可能な状態までの D D D E R E_{\mathrm R} E R S ( ρ ^ A ) S(\hat\rho_A) S ( ρ ^ A )
定義
定義 3.4.3（相対エントロピー・オブ・エンタングルメント）
E R ( ρ ^ A B ) ≔ min σ ^ ∈ S E P D ( ρ ^ A B ∥ σ ^ ) . (3.4.5) E_{\mathrm R}(\hat\rho_{AB})\coloneqq\min_{\hat\sigma\in\mathrm{SEP}}D(\hat\rho_{AB}\,\|\,\hat\sigma).\tag{3.4.5} E R ( ρ ^ A B ) : = σ ^ ∈ SEP min D ( ρ ^ A B ∥ σ ^ ) . ( 3.4.5 )
この量は V. Vedral らが導入した1 1 V. Vedral, M. B. Plenio, M. A. Rippin and P. L. Knight (1997), Physical Review Letters 78 , 2275–2279。V. Vedral and M. B. Plenio (1998), Physical Review A 57 , 1619–1633。σ ^ = 1 / ( d A d B ) \hat\sigma=\mathbf 1/(d_Ad_B) σ ^ = 1 / ( d A d B ) D ( ρ ^ ∥ 1 / ( d A d B ) ) = ln ( d A d B ) − S ( ρ ^ ) D(\hat\rho\,\|\,\mathbf 1/(d_Ad_B))=\ln(d_Ad_B)-S(\hat\rho) D ( ρ ^ ∥ 1 / ( d A d B )) = ln ( d A d B ) − S ( ρ ^ ) D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma) D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) σ ^ \hat\sigma σ ^ S E P \mathrm{SEP} SEP σ ^ ∗ \hat\sigma^* σ ^ ∗ E R ( ρ ^ ) ≥ 0 E_{\mathrm R}(\hat\rho)\ge0 E R ( ρ ^ ) ≥ 0 ρ ^ \hat\rho ρ ^ S E P \mathrm{SEP} SEP ρ ^ A ⊗ ρ ^ B ∈ S E P \hat\rho_A\otimes\hat\rho_B\in\mathrm{SEP} ρ ^ A ⊗ ρ ^ B ∈ SEP E R ≤ D ( ρ ^ ∥ ρ ^ A ⊗ ρ ^ B ) = I ( A ; B ) E_{\mathrm R}\le D(\hat\rho\,\|\,\hat\rho_A\otimes\hat\rho_B)=I(A;B) E R ≤ D ( ρ ^ ∥ ρ ^ A ⊗ ρ ^ B ) = I ( A ; B ) 3.4.1 ）。
LOCC と単調性
Alice と Bob が使える操作を言葉で決めておく。Alice は手元の系に任意の量子チャネルや測定を当て、その結果を電話で Bob に伝える。Bob は聞いた結果に応じて手元の系に操作を選び、その結果を Alice に伝え返す。これを何往復か繰り返す。このような操作の全体を LOCC （local operations and classical communication）と呼ぶ。この節では、最後に測定結果を捨てて1つの状態を出す操作（全体として1つの量子チャネル Λ \Lambda Λ
補題 3.4.4（LOCC は分離可能な状態を分離可能な状態へ送る）
LOCC のチャネル Λ \Lambda Λ σ ^ ∈ S E P \hat\sigma\in\mathrm{SEP} σ ^ ∈ SEP Λ ( σ ^ ) ∈ S E P \Lambda(\hat\sigma)\in\mathrm{SEP} Λ ( σ ^ ) ∈ SEP
証明 往復の1回分を示せば十分である。Alice が Kraus 演算子 { M ^ j } \{\hat M_j\} { M ^ j } j j j N B ( j ) \mathcal N_B^{(j)} N B ( j ) a ^ ⊗ b ^ \hat a\otimes\hat b a ^ ⊗ b ^
a ^ ⊗ b ^ ↦ ∑ j M ^ j a ^ M ^ j † ⊗ N B ( j ) ( b ^ ) = ∑ j q j a ^ j ⊗ b ^ j \hat a\otimes\hat b\ \mapsto\ \sum_j\hat M_j\hat a\hat M_j^\dagger\otimes\mathcal N_B^{(j)}(\hat b)=\sum_jq_j\,\hat a_j\otimes\hat b_j a ^ ⊗ b ^ ↦ j ∑ M ^ j a ^ M ^ j † ⊗ N B ( j ) ( b ^ ) = j ∑ q j a ^ j ⊗ b ^ j
になる。ここで q j = Tr M ^ j a ^ M ^ j † q_j=\operatorname{Tr}\hat M_j\hat a\hat M_j^\dagger q j = Tr M ^ j a ^ M ^ j † a ^ j = M ^ j a ^ M ^ j † / q j \hat a_j=\hat M_j\hat a\hat M_j^\dagger/q_j a ^ j = M ^ j a ^ M ^ j † / q j b ^ j = N B ( j ) ( b ^ ) \hat b_j=\mathcal N_B^{(j)}(\hat b) b ^ j = N B ( j ) ( b ^ ) (3.4.1) の形をしている。写像は線型なので、積状態の混合 σ ^ \hat\sigma σ ^
定理 3.4.5（E R E_{\mathrm R} E R
LOCC のチャネル Λ \Lambda Λ
E R ( Λ ( ρ ^ A B ) ) ≤ E R ( ρ ^ A B ) . (3.4.6) E_{\mathrm R}(\Lambda(\hat\rho_{AB}))\le E_{\mathrm R}(\hat\rho_{AB}).\tag{3.4.6} E R ( Λ ( ρ ^ A B )) ≤ E R ( ρ ^ A B ) . ( 3.4.6 )
特に局所ユニタリ U ^ A ⊗ U ^ B \hat U_A\otimes\hat U_B U ^ A ⊗ U ^ B
証明 σ ^ ∗ \hat\sigma^* σ ^ ∗ ρ ^ \hat\rho ρ ^ 3.4.4 から Λ ( σ ^ ∗ ) ∈ S E P \Lambda(\hat\sigma^*)\in\mathrm{SEP} Λ ( σ ^ ∗ ) ∈ SEP 第3部第3章 ）を使って
E R ( Λ ( ρ ^ ) ) ≤ D ( Λ ( ρ ^ ) ∥ Λ ( σ ^ ∗ ) ) ≤ D ( ρ ^ ∥ σ ^ ∗ ) = E R ( ρ ^ ) . E_{\mathrm R}(\Lambda(\hat\rho))\le D(\Lambda(\hat\rho)\,\|\,\Lambda(\hat\sigma^*))\le D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma^*)=E_{\mathrm R}(\hat\rho). E R ( Λ ( ρ ^ )) ≤ D ( Λ ( ρ ^ ) ∥ Λ ( σ ^ ∗ )) ≤ D ( ρ ^ ∥ σ ^ ∗ ) = E R ( ρ ^ ) .
局所ユニタリは逆の操作も局所ユニタリなので、逆向きの不等式も成り立つ。
証明は2行で、中身は第3部第3章の量子データ処理不等式である。第1部第4章で「データを加工しても D D D もつれの測度 ）に最低限求める条件がこの単調性で、以下に出てくる測度はすべてこれを満たす。
純粋状態では E R = S ( ρ ^ A ) E_{\mathrm R}=S(\hat\rho_A) E R = S ( ρ ^ A )
純粋状態の E R E_{\mathrm R} E R
σ ^ ∗ = ∑ k λ k ∣ u k ⟩ ⟨ u k ∣ ⊗ ∣ v k ⟩ ⟨ v k ∣ (3.4.7) \hat\sigma^*=\sum_k\lambda_k\,| u_k \rangle \langle u_k |\otimes| v_k \rangle \langle v_k |\tag{3.4.7} σ ^ ∗ = k ∑ λ k ∣ u k ⟩ ⟨ u k ∣ ⊗ ∣ v k ⟩ ⟨ v k ∣ ( 3.4.7 )
を比べる相手にすれば出る。∣ Ψ ⟩ | \Psi \rangle ∣Ψ ⟩ { ∣ u k v k ⟩ } \{| u_kv_k \rangle \} { ∣ u k v k ⟩} ln σ ^ ∗ \ln\hat\sigma^* ln σ ^ ∗ ln λ k \ln\lambda_k ln λ k D ( Ψ ∥ σ ^ ∗ ) = − ⟨ Ψ ∣ ln σ ^ ∗ ∣ Ψ ⟩ = − ∑ k λ k ln λ k = S ( ρ ^ A ) D(\Psi\,\|\,\hat\sigma^*)=-\langle \Psi | \ln\hat\sigma^* | \Psi \rangle =-\sum_k\lambda_k\ln\lambda_k=S(\hat\rho_A) D ( Ψ ∥ σ ^ ∗ ) = − ⟨ Ψ∣ ln σ ^ ∗ ∣Ψ ⟩ = − ∑ k λ k ln λ k = S ( ρ ^ A ) S ( Ψ ) = 0 S(\Psi)=0 S ( Ψ ) = 0 σ ^ ∗ \hat\sigma^* σ ^ ∗ ∣ Ψ ⟩ | \Psi \rangle ∣Ψ ⟩ S ( ρ ^ A ) S(\hat\rho_A) S ( ρ ^ A )
下からの評価には2つの道具を使う。1つ目は分離可能な状態の性質である。
補題 3.4.6（縮約の不等式）
σ ^ ∈ S E P \hat\sigma\in\mathrm{SEP} σ ^ ∈ SEP σ ^ ≤ 1 A ⊗ σ ^ B \hat\sigma\le\mathbf 1_A\otimes\hat\sigma_B σ ^ ≤ 1 A ⊗ σ ^ B σ ^ ≤ σ ^ A ⊗ 1 B \hat\sigma\le\hat\sigma_A\otimes\mathbf 1_B σ ^ ≤ σ ^ A ⊗ 1 B X ^ ≤ Y ^ \hat X\le\hat Y X ^ ≤ Y ^ Y ^ − X ^ \hat Y-\hat X Y ^ − X ^
証明 純粋な積状態の混合 σ ^ = ∑ k p k ∣ a k ⟩ ⟨ a k ∣ ⊗ ∣ b k ⟩ ⟨ b k ∣ \hat\sigma=\sum_kp_k| a_k \rangle \langle a_k |\otimes| b_k \rangle \langle b_k | σ ^ = ∑ k p k ∣ a k ⟩ ⟨ a k ∣ ⊗ ∣ b k ⟩ ⟨ b k ∣ ∣ a k ⟩ ⟨ a k ∣ ≤ 1 A | a_k \rangle \langle a_k |\le\mathbf 1_A ∣ a k ⟩ ⟨ a k ∣ ≤ 1 A σ ^ ≤ ∑ k p k 1 A ⊗ ∣ b k ⟩ ⟨ b k ∣ = 1 A ⊗ σ ^ B \hat\sigma\le\sum_kp_k\mathbf 1_A\otimes| b_k \rangle \langle b_k |=\mathbf 1_A\otimes\hat\sigma_B σ ^ ≤ ∑ k p k 1 A ⊗ ∣ b k ⟩ ⟨ b k ∣ = 1 A ⊗ σ ^ B
もつれた状態はこの不等式を破りうる。Bell 状態 ∣ Φ + ⟩ | \Phi^+ \rangle ∣ Φ + ⟩ ρ ^ B = 1 / 2 \hat\rho_B=\mathbf 1/2 ρ ^ B = 1 /2 1 A ⊗ ρ ^ B − ∣ Φ + ⟩ ⟨ Φ + ∣ \mathbf 1_A\otimes\hat\rho_B-| \Phi^+ \rangle \langle \Phi^+ | 1 A ⊗ ρ ^ B − ∣ Φ + ⟩ ⟨ Φ + ∣ ∣ Φ + ⟩ | \Phi^+ \rangle ∣ Φ + ⟩ 1 2 − 1 = − 1 2 < 0 \frac12-1=-\frac12<0 2 1 − 1 = − 2 1 < 0
2つ目は、ln \ln ln 作用素単調 であること、つまり正定値の X ^ ≤ Y ^ \hat X\le\hat Y X ^ ≤ Y ^ ln X ^ ≤ ln Y ^ \ln\hat X\le\ln\hat Y ln X ^ ≤ ln Y ^ x 2 x^2 x 2 X ^ ≤ Y ^ \hat X\le\hat Y X ^ ≤ Y ^ Y ^ − 1 ≤ X ^ − 1 \hat Y^{-1}\le\hat X^{-1} Y ^ − 1 ≤ X ^ − 1 Y ^ − 1 / 2 X ^ Y ^ − 1 / 2 ≤ 1 \hat Y^{-1/2}\hat X\hat Y^{-1/2}\le\mathbf 1 Y ^ − 1/2 X ^ Y ^ − 1/2 ≤ 1 1 1 1 Y ^ 1 / 2 X ^ − 1 Y ^ 1 / 2 \hat Y^{1/2}\hat X^{-1}\hat Y^{1/2} Y ^ 1/2 X ^ − 1 Y ^ 1/2 1 1 1 Y ^ − 1 / 2 \hat Y^{-1/2} Y ^ − 1/2 X ^ − 1 ≥ Y ^ − 1 \hat X^{-1}\ge\hat Y^{-1} X ^ − 1 ≥ Y ^ − 1
ln x = ∫ 0 ∞ ( 1 1 + t − 1 x + t ) d t ( x > 0 ) (3.4.8) \ln x=\int_0^\infty\Bigl(\frac{1}{1+t}-\frac{1}{x+t}\Bigr)\mathrm{d} t\qquad(x>0)\tag{3.4.8} ln x = ∫ 0 ∞ ( 1 + t 1 − x + t 1 ) d t ( x > 0 ) ( 3.4.8 )
を使う。X ^ + t ≤ Y ^ + t \hat X+t\le\hat Y+t X ^ + t ≤ Y ^ + t − ( X ^ + t ) − 1 ≤ − ( Y ^ + t ) − 1 -(\hat X+t)^{-1}\le-(\hat Y+t)^{-1} − ( X ^ + t ) − 1 ≤ − ( Y ^ + t ) − 1 t ≥ 0 t\ge0 t ≥ 0 t t t ln X ^ ≤ ln Y ^ \ln\hat X\le\ln\hat Y ln X ^ ≤ ln Y ^
定理 3.4.7（純粋状態の E R E_{\mathrm R} E R
任意の ρ ^ A B \hat\rho_{AB} ρ ^ A B
E R ( ρ ^ A B ) ≥ max { − S ( A ∣ B ) , − S ( B ∣ A ) } . (3.4.9) E_{\mathrm R}(\hat\rho_{AB})\ge\max\{-S(A\,|\,B),\,-S(B\,|\,A)\}.\tag{3.4.9} E R ( ρ ^ A B ) ≥ max { − S ( A ∣ B ) , − S ( B ∣ A )} . ( 3.4.9 )
特に純粋状態では E R ( Ψ ) = S ( ρ ^ A ) = E ( Ψ ) E_{\mathrm R}(\Psi)=S(\hat\rho_A)=E(\Psi) E R ( Ψ ) = S ( ρ ^ A ) = E ( Ψ ) (3.4.7) の σ ^ ∗ \hat\sigma^* σ ^ ∗
証明 σ ^ ∈ S E P \hat\sigma\in\mathrm{SEP} σ ^ ∈ SEP σ ^ \hat\sigma σ ^ ( 1 − ϵ ) σ ^ + ϵ 1 / ( d A d B ) (1-\epsilon)\hat\sigma+\epsilon\mathbf 1/(d_Ad_B) ( 1 − ϵ ) σ ^ + ϵ 1 / ( d A d B ) ϵ → 0 \epsilon\to0 ϵ → 0 3.4.6 と ln \ln ln ln σ ^ ≤ ln ( 1 A ⊗ σ ^ B ) = 1 A ⊗ ln σ ^ B \ln\hat\sigma\le\ln(\mathbf 1_A\otimes\hat\sigma_B)=\mathbf 1_A\otimes\ln\hat\sigma_B ln σ ^ ≤ ln ( 1 A ⊗ σ ^ B ) = 1 A ⊗ ln σ ^ B ρ ^ \hat\rho ρ ^
D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) = − S ( A B ) − Tr ρ ^ ln σ ^ ≥ − S ( A B ) − Tr ρ ^ B ln σ ^ B = − S ( A B ) + S ( B ) + D ( ρ ^ B ∥ σ ^ B ) ≥ − S ( A ∣ B ) . D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)=-S(AB)-\operatorname{Tr}\hat\rho\ln\hat\sigma\ge-S(AB)-\operatorname{Tr}\hat\rho_B\ln\hat\sigma_B=-S(AB)+S(B)+D(\hat\rho_B\,\|\,\hat\sigma_B)\ge-S(A\,|\,B). D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) = − S ( A B ) − Tr ρ ^ ln σ ^ ≥ − S ( A B ) − Tr ρ ^ B ln σ ^ B = − S ( A B ) + S ( B ) + D ( ρ ^ B ∥ σ ^ B ) ≥ − S ( A ∣ B ) .
σ ^ \hat\sigma σ ^ E R ≥ − S ( A ∣ B ) E_{\mathrm R}\ge-S(A\,|\,B) E R ≥ − S ( A ∣ B ) A A A B B B S ( A B ) = 0 S(AB)=0 S ( A B ) = 0 S ( B ) = S ( A ) S(B)=S(A) S ( B ) = S ( A ) S ( ρ ^ A ) S(\hat\rho_A) S ( ρ ^ A ) σ ^ ∗ \hat\sigma^* σ ^ ∗
第3部第2章では条件付きエントロピーが負になることをもつれの目印と呼んだ。式 (3.4.9) はそれを量の関係にしたもので、− S ( A ∣ B ) > 0 -S(A\,|\,B)>0 − S ( A ∣ B ) > 0 − S ( A ∣ B ) -S(A\,|\,B) − S ( A ∣ B ) 3.4.4 節で見るように − S ( A ∣ B ) < 0 -S(A\,|\,B)<0 − S ( A ∣ B ) < 0
例題 3.4.2 偏ったもつれの E R E_{\mathrm R} E R
オリジナル ∣ Ψ ⟩ = 0.9 ∣ 00 ⟩ + 0.1 ∣ 11 ⟩ | \Psi \rangle =\sqrt{0.9}\,| 00 \rangle +\sqrt{0.1}\,| 11 \rangle ∣Ψ ⟩ = 0.9 ∣00 ⟩ + 0.1 ∣11 ⟩ h b ( p ) = − p ln p − ( 1 − p ) ln ( 1 − p ) h_{\mathrm b}(p)=-p\ln p-(1-p)\ln(1-p) h b ( p ) = − p ln p − ( 1 − p ) ln ( 1 − p )
E R ( Ψ ) E_{\mathrm R}(\Psi) E R ( Ψ ) σ ^ ∗ \hat\sigma^* σ ^ ∗ 周辺の積 ρ ^ A ⊗ ρ ^ B \hat\rho_A\otimes\hat\rho_B ρ ^ A ⊗ ρ ^ B I ( A ; B ) I(A;B) I ( A ; B )
D ( σ ^ ∗ ∥ ρ ^ A ⊗ ρ ^ B ) D(\hat\sigma^*\,\|\,\hat\rho_A\otimes\hat\rho_B) D ( σ ^ ∗ ∥ ρ ^ A ⊗ ρ ^ B ) I ( A ; B ) = E R + D ( σ ^ ∗ ∥ ρ ^ A ⊗ ρ ^ B ) I(A;B)=E_{\mathrm R}+D(\hat\sigma^*\,\|\,\hat\rho_A\otimes\hat\rho_B) I ( A ; B ) = E R + D ( σ ^ ∗ ∥ ρ ^ A ⊗ ρ ^ B )
解答 (1) Schmidt 係数は λ = ( 0.9 , 0.1 ) \lambda=(0.9,0.1) λ = ( 0.9 , 0.1 ) 3.4.7 から E R = h b ( 0.1 ) = 0.3251 E_{\mathrm R}=h_{\mathrm b}(0.1)=0.3251 E R = h b ( 0.1 ) = 0.3251 σ ^ ∗ = 0.9 ∣ 00 ⟩ ⟨ 00 ∣ + 0.1 ∣ 11 ⟩ ⟨ 11 ∣ \hat\sigma^*=0.9| 00 \rangle \langle 00 |+0.1| 11 \rangle \langle 11 | σ ^ ∗ = 0.9∣00 ⟩ ⟨ 00∣ + 0.1∣11 ⟩ ⟨ 11∣
(2) ρ ^ A = ρ ^ B = d i a g ( 0.9 , 0.1 ) \hat\rho_A=\hat\rho_B=\mathrm{diag}(0.9,0.1) ρ ^ A = ρ ^ B = diag ( 0.9 , 0.1 ) I ( A ; B ) = 2 S ( ρ ^ A ) = 2 h b ( 0.1 ) = 0.6502 I(A;B)=2S(\hat\rho_A)=2h_{\mathrm b}(0.1)=0.6502 I ( A ; B ) = 2 S ( ρ ^ A ) = 2 h b ( 0.1 ) = 0.6502
(3) σ ^ ∗ \hat\sigma^* σ ^ ∗ ρ ^ A ⊗ ρ ^ B = d i a g ( 0.81 , 0.09 , 0.09 , 0.01 ) \hat\rho_A\otimes\hat\rho_B=\mathrm{diag}(0.81,0.09,0.09,0.01) ρ ^ A ⊗ ρ ^ B = diag ( 0.81 , 0.09 , 0.09 , 0.01 ) D D D
D ( σ ^ ∗ ∥ ρ ^ A ⊗ ρ ^ B ) = 0.9 ln 0.9 0.81 + 0.1 ln 0.1 0.01 = − 0.9 ln 0.9 − 0.1 ln 0.1 = h b ( 0.1 ) = 0.3251. D(\hat\sigma^*\,\|\,\hat\rho_A\otimes\hat\rho_B)=0.9\ln\frac{0.9}{0.81}+0.1\ln\frac{0.1}{0.01}=-0.9\ln0.9-0.1\ln0.1=h_{\mathrm b}(0.1)=0.3251. D ( σ ^ ∗ ∥ ρ ^ A ⊗ ρ ^ B ) = 0.9 ln 0.81 0.9 + 0.1 ln 0.01 0.1 = − 0.9 ln 0.9 − 0.1 ln 0.1 = h b ( 0.1 ) = 0.3251.
よって E R + D ( σ ^ ∗ ∥ ρ ^ A ⊗ ρ ^ B ) = 0.6502 = I ( A ; B ) E_{\mathrm R}+D(\hat\sigma^*\,\|\,\hat\rho_A\otimes\hat\rho_B)=0.6502=I(A;B) E R + D ( σ ^ ∗ ∥ ρ ^ A ⊗ ρ ^ B ) = 0.6502 = I ( A ; B ) σ ^ ∗ \hat\sigma^* σ ^ ∗ D ( σ ^ ∗ ∥ ρ ^ A ⊗ ρ ^ B ) D(\hat\sigma^*\,\|\,\hat\rho_A\otimes\hat\rho_B) D ( σ ^ ∗ ∥ ρ ^ A ⊗ ρ ^ B ) E R E_{\mathrm R} E R min { H ( X ) , H ( Y ) } \min\{H(X),H(Y)\} min { H ( X ) , H ( Y )}
1 V. Vedral, M. B. Plenio, M. A. Rippin and P. L. Knight (1997), Physical Review Letters 78 , 2275–2279。V. Vedral and M. B. Plenio (1998), Physical Review A 57 , 1619–1633。
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
