出てくるもの（2）：混合状態のもつれの判定と測度

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第3部 第4章 §3.4.4　★★★ 混合状態のもつれは部分転置の負の固有値で見つけ、測度は $E_{\mathrm R}$・形成のもつれ・対数ネガティビティなど複数あって大小関係で結ばれる

部分転置の判定法

分解の仕方が無数にあるので、混合状態が分離可能かどうかを定義 3.4.1 から直接調べるのは難しい。必要条件で手早く使えるのが部分転置である。計算基底で $\hat\rho=\sum\rho_{ab,a'b'}| a \rangle \langle a' |\otimes| b \rangle \langle b' |$ と書いたとき、$B$ の添字だけを入れ替えた

$$\hat\rho^{\mathsf T_B}\coloneqq\sum\rho_{ab,a'b'}| a \rangle \langle a' |\otimes| b' \rangle \langle b |\tag{3.4.10}$$

を部分転置と呼ぶ。分離可能な $\hat\sigma=\sum_kp_k\hat\sigma_A^{(k)}\otimes\hat\sigma_B^{(k)}$ では $\hat\sigma^{\mathsf T_B}=\sum_kp_k\hat\sigma_A^{(k)}\otimes(\hat\sigma_B^{(k)})^{\mathsf T}$ で、密度行列の転置はまた密度行列（エルミートで半正定値・トレース $1$）なので、$\hat\sigma^{\mathsf T_B}$ も半正定値である。

前半は A. Peres が¹1A. Peres (1996), Physical Review Letters 77, 1413–1415。下の脚注へ閉じる、後半は M. Horodecki、P. Horodecki、R. Horodecki が示した²2M. Horodecki, P. Horodecki and R. Horodecki (1996), Physics Letters A 223, 1–8。下の脚注へ閉じる。$3\times3$ 以上では部分転置が半正定値なのにもつれている状態があり、それらからは次の節の蒸留で ebit を1組も取り出せない（束縛されたもつれ）³3M. Horodecki, P. Horodecki and R. Horodecki (1998), Physical Review Letters 80, 5239–5242。下の脚注へ閉じる。部分転置は基底の選び方で行列としては変わるが、固有値は変わらない（$B$ の基底の取り替えは $\hat\rho^{\mathsf T_B}$ をユニタリで回すだけである）。

Werner 状態

第3部第2章で使った Werner 状態

$$\hat\rho_p=p| \Phi^+ \rangle \langle \Phi^+ |+(1-p)\frac{\mathbf 1}{4}\qquad(0\le p\le1)\tag{3.4.11}$$

を部分転置で調べる。$| \Phi^+ \rangle \langle \Phi^+ |=\frac12\sum_{a,b}| aa \rangle \langle bb |$ の部分転置は $\frac12\sum_{a,b}| ab \rangle \langle ba |=\frac12\hat F$ で、$\hat F$ は2つの量子ビットを入れ替える演算子（$\hat F| ab \rangle =| ba \rangle$）である。$\hat F$ の固有値は、入れ替えで対称な3つの状態に対して $+1$、反対称な $| \Psi^- \rangle$ に対して $-1$ なので、

$$\hat\rho_p^{\mathsf T_B}=\frac p2\hat F+\frac{1-p}{4}\mathbf 1\quad\text{の固有値は}\quad\frac{1+p}{4}\ (3\text{ 重}),\qquad\frac{1-3p}{4}\ (1\text{ 重}).\tag{3.4.12}$$

負の固有値が出るのは $p>1/3$ のときで、2量子ビットなので定理 3.4.10 から $\hat\rho_p$ がもつれているのはちょうど $p>1/3$ のときである。第3部第2章で予告した境目 $1/3$ はこうして出る。$-S(A\,|\,B)>0$ になるのは $p>0.748$ だったので、$1/3<p<0.748$ の Werner 状態は条件付きエントロピーが正なのにもつれている。

もつれの測度

純粋状態ではもつれの量は $E$ ただ1つで決まった（3.4.5節で操作の意味からも確かめる）。混合状態では、目的に応じて異なる測度があり、値は一般に一致しない。よく使うものを3つ挙げる。どれも LOCC で増えず、純粋状態では $E$ に戻る（対数ネガティビティだけは戻らない）。

相対エントロピー・オブ・エンタングルメント $E_{\mathrm R}$ は式 (3.4.5) のもので、この巻を通して使っている相対エントロピーで定義した量である。Bell 状態と対角な状態（Bell 状態の混合 $\sum_iw_i| \beta_i \rangle \langle \beta_i |$）では、最大の重みを $F=\max_iw_i$ として、$F>1/2$ なら $E_{\mathrm R}=\ln2-h_{\mathrm b}(F)$、$F\le1/2$ なら $0$ である（Vedral と Plenio の 1998 年の論文）。Werner 状態は $F=(1+3p)/4$ の Bell 対角の状態である。

形成のもつれ $E_{\mathrm F}$ は、$\hat\rho$ を純粋状態の混合で書く仕方のうちで、もつれのエントロピーの平均が最小のものの値

$$E_{\mathrm F}(\hat\rho)\coloneqq\min\Bigl\{\sum_ip_iE(\Psi_i)\ :\ \hat\rho=\sum_ip_i| \Psi_i \rangle \langle \Psi_i |\Bigr\}\tag{3.4.13}$$

である⁴4C. H. Bennett, D. P. DiVincenzo, J. A. Smolin and W. K. Wootters (1996), Physical Review A 54, 3824–3851。下の脚注へ閉じる。2量子ビットではW. K. Wootters が閉じた式を与えた⁵5W. K. Wootters (1998), Physical Review Letters 80, 2245–2248。下の脚注へ閉じる。$\tilde\rho=(Y\otimes Y)\hat\rho^*(Y\otimes Y)$（$\hat\rho^*$ は計算基底での複素共役）として$\hat\rho\tilde\rho$ の固有値の平方根を大きい順に $s_1,\dots,s_4$ と並べ、concurrence を $C(\hat\rho)=\max\{0,\ s_1-s_2-s_3-s_4\}$ と定めると

$$E_{\mathrm F}(\hat\rho)=h_{\mathrm b}\Bigl(\frac{1+\sqrt{1-C(\hat\rho)^2}}{2}\Bigr).\tag{3.4.14}$$

Bell 対角の状態では $C=\max\{0,2F-1\}$ で、Werner 状態では $C=\max\{0,(3p-1)/2\}$ になる。

対数ネガティビティは部分転置の負の固有値の大きさを測る量で、$\mathrm{Neg}(\hat\rho)$ を $\hat\rho^{\mathsf T_B}$ の負の固有値の絶対値の和として

$$E_{\mathrm N}(\hat\rho)\coloneqq\ln\bigl\|\hat\rho^{\mathsf T_B}\bigr\|_1=\ln\bigl(1+2\,\mathrm{Neg}(\hat\rho)\bigr)\tag{3.4.15}$$

と定める（$\|\cdot\|_1$ は固有値の絶対値の和。$\operatorname{Tr}\hat\rho^{\mathsf T_B}=1$ から2つ目の等号が出る）⁶6G. Vidal and R. F. Werner (2002), Physical Review A 65, 032314。下の脚注へ閉じる。固有値を求めるだけで計算できるので、数値計算でよく使われる。部分転置が半正定値なもつれた状態では $0$ になり、もつれを見逃す。

測度どうしの大小のうち、この章の道具で示せるものを1つ示す。$E_{\mathrm R}\le E_{\mathrm F}$ である。$D$ は2つの引数について同時に凸（第3部第3章）なので、$\hat\rho=\sum_ip_i| \Psi_i \rangle \langle \Psi_i |$ の各項の最小点 $\hat\sigma_i^*$ を同じ重みで混ぜた $\sum_ip_i\hat\sigma_i^*\in\mathrm{SEP}$ を相手にすると

$$E_{\mathrm R}(\hat\rho)\le D\Bigl(\sum_ip_i\Psi_i\,\Big\|\,\sum_ip_i\hat\sigma_i^*\Bigr)\le\sum_ip_iD(\Psi_i\,\|\,\hat\sigma_i^*)=\sum_ip_iE(\Psi_i)$$

で、右辺を分解の仕方について最小にすれば $E_{\mathrm F}$ になる。図 3.4.3 は Werner 状態での3つの測度と $-S(A\,|\,B)$ である。

1　A. Peres (1996), Physical Review Letters 77, 1413–1415。

2　M. Horodecki, P. Horodecki and R. Horodecki (1996), Physics Letters A 223, 1–8。

3　M. Horodecki, P. Horodecki and R. Horodecki (1998), Physical Review Letters 80, 5239–5242。

4　C. H. Bennett, D. P. DiVincenzo, J. A. Smolin and W. K. Wootters (1996), Physical Review A 54, 3824–3851。

5　W. K. Wootters (1998), Physical Review Letters 80, 2245–2248。

6　G. Vidal and R. F. Werner (2002), Physical Review A 65, 032314。