出てくるもの（2）：光子対の源と偏光のもつれ

光学と量子エレクトロニクス　第33章 §33.4　★★★ $\chi^{(2)}$ の結晶は真空から2モードのスクイーズド真空 $\sum_n\tanh^n\zeta| n,n \rangle /\cosh\zeta$ を作り、片方の腕は熱的、2つの腕の相互相関は $2+1/\langle \hat n \rangle$ で古典の Cauchy–Schwarz の上限を破る。$J=0\to1\to0$ のカスケードは偏光でもつれた対 $(| xx \rangle +| yy \rangle )/\sqrt2$ を出し、相関は $\cos2(\alpha-\beta)$

パラメトリック下方変換を量子化する

第17章では、$\chi^{(2)}$ の結晶の中で、強いポンプ光（角周波数 $\omega_{\mathrm p}$）がシグナル光（$\omega_{\mathrm s}$）とアイドラー光（$\omega_{\mathrm i}$、$\omega_{\mathrm s}+\omega_{\mathrm i}=\omega_{\mathrm p}$）を増幅することを古典の結合波方程式で示した。位相整合した長さ $L$ の結晶で、シグナル光の振幅は $\cosh(gL)$ 倍になる（第17章の式）。古典の式では、シグナル光もアイドラー光も入れなければ何も出てこない。量子化すると、入れなかったモードにも真空があり、その真空から光子の対が生まれる。これが自発パラメトリック下方変換（spontaneous parametric down-conversion、SPDC）である。

ポンプを古典の振幅のまま残し（33.5節の近似）、シグナルとアイドラーのモードを1つずつ取り出すと、相互作用は2つのモードの生成演算子の積 $\hat a_{\mathrm s}^\dagger\hat a_{\mathrm i}^\dagger$ とそのエルミート共役になる。ポンプ光子1個が消えてシグナルとアイドラーの光子が1個ずつ生まれる項と、その逆の項である。結晶を通り抜ける間の時間発展は、ポンプの位相を選んで

$$\hat S_2(\zeta)=\exp\bigl[\zeta(\hat a_{\mathrm s}^\dagger\hat a_{\mathrm i}^\dagger-\hat a_{\mathrm s}\hat a_{\mathrm i})\bigr],\qquad\zeta=gL\tag{33.15}$$

と書ける。$\zeta$ を2モードのスクイーズのパラメータと呼ぶ。これは第31章の $\hat S_2(\zeta)$（式 (31.25)）と同じ演算子で、ポンプの位相を選んで $\zeta$ を実数にしたので $\zeta$ は第31章のスクイーズの強さ $r$ に等しい。この章では $r$ を反射の振幅に使う。$\hat K=\hat a_{\mathrm s}^\dagger\hat a_{\mathrm i}^\dagger-\hat a_{\mathrm s}\hat a_{\mathrm i}$ について $\left[\hat a_{\mathrm s},\,\hat K\right]=\hat a_{\mathrm i}^\dagger$、$\left[\hat a_{\mathrm i}^\dagger,\,\hat K\right]=\hat a_{\mathrm s}$ なので、Heisenberg 描像では双曲線関数の級数にまとまり、

$$\hat S_2^\dagger\hat a_{\mathrm s}\hat S_2=\hat a_{\mathrm s}\cosh\zeta+\hat a_{\mathrm i}^\dagger\sinh\zeta,\qquad\hat S_2^\dagger\hat a_{\mathrm i}\hat S_2=\hat a_{\mathrm i}\cosh\zeta+\hat a_{\mathrm s}^\dagger\sinh\zeta\tag{33.16}$$

になる。これは第17章の古典の解（シグナルの振幅が $\cosh(gL)$ 倍、アイドラーにシグナルの複素共役が $\sinh(gL)$ で混ざる）を演算子に読み替えたもので、ビームスプリッタの $\cos\theta$, $\sin\theta$ が $\cosh\zeta$, $\sinh\zeta$ に替わった形をしている。ビームスプリッタは $\hat a$ と $\hat a$ を混ぜて光子の数の和を保つのに対し、下方変換は $\hat a$ と $\hat a^\dagger$ を混ぜて光子の数の差 $\hat n_{\mathrm s}-\hat n_{\mathrm i}$ を保つ（対で生まれるので）。

真空から出発したシグナルの光子の数は、式 (33.16) の期待値をとって

$$\langle \hat n_{\mathrm s} \rangle =\sinh^2\zeta=\cosh^2(gL)-1\tag{33.17}$$

である。この $\sinh^2\zeta$ は式 (33.16) の $\hat a_{\mathrm i}^\dagger\sinh\zeta$ の項から出て、アイドラーの腕に光子を1個入れたときにシグナルへ移る分と同じ大きさである。入れなかったアイドラーの真空のゆらぎが、シグナルの光子になる。

2モードのスクイーズド真空

状態で書くと、真空に $\hat S_2(\zeta)$ を当てた状態は

$$| \psi_{\mathrm{SPDC}} \rangle =\hat S_2(\zeta)| 0,0 \rangle =\frac{1}{\cosh\zeta}\sum_{n=0}^\infty\tanh^n\zeta\,| n \rangle _{\mathrm s}| n \rangle _{\mathrm i}\tag{33.18}$$

である（$\hat S_2$ を正規順序に並べ直す公式から出る。verify で打ち切った Fock 空間の数値と照合した）。シグナルとアイドラーの光子の数はいつも等しく、この状態を2モードのスクイーズド真空と呼ぶ。$\zeta$ が小さいとき、展開の頭は

$$| \psi_{\mathrm{SPDC}} \rangle \approx| 0,0 \rangle +\zeta| 1,1 \rangle +\mathcal{O}(\zeta^2)$$

で、ほとんどの時間は何も出ず、ときどき光子の対が1組だけ出る。対が2組同時に出る確率は、1組の確率の $\tanh^2\zeta$ 倍である。

片方の腕（シグナル）だけを見ると、アイドラーについて部分トレースをとって

$$\hat\rho_{\mathrm s}=\frac{1}{\cosh^2\zeta}\sum_n\tanh^{2n}\zeta\,| n \rangle \langle n |$$

で、これは平均 $\sinh^2\zeta$ の熱的な分布（第32章の熱的な光、$g^{(2)}_{\mathrm{ss}}(0)=2$）である。2つの腕を合わせると純粋状態で、片方だけでは熱的な混合状態になる。この違いが、2つの腕のもつれの表れである（相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第3部第4章）。

2つの腕の相関は、相互相関 $g^{(2)}_{\mathrm{si}}=\langle \hat n_{\mathrm s}\hat n_{\mathrm i} \rangle /(\langle \hat n_{\mathrm s} \rangle \langle \hat n_{\mathrm i} \rangle )$ で測る。式 (33.18) では $\hat n_{\mathrm s}=\hat n_{\mathrm i}$ なので、熱的な分布の $\langle \hat n^2 \rangle =2\bar n^2+\bar n$（$\bar n=\sinh^2\zeta$）から

$$g^{(2)}_{\mathrm{si}}=2+\frac{1}{\sinh^2\zeta}\tag{33.19}$$

になる。古典の強度 $I_{\mathrm s}$, $I_{\mathrm i}$ では、Cauchy–Schwarz の不等式 $\langle I_{\mathrm s}I_{\mathrm i} \rangle ^2\le\langle I_{\mathrm s}^2 \rangle \langle I_{\mathrm i}^2 \rangle$ から $(g^{(2)}_{\mathrm{si}})^2\le g^{(2)}_{\mathrm{ss}}g^{(2)}_{\mathrm{ii}}$ が成り立つ。SPDC の光では右辺が $2\times2=4$ なのに左辺が $(2+1/\bar n)^2>4$ で、どんなに小さな $\bar n$ でも破れる。対が少ないほど、片方の光子の到着がもう片方の到着を強く告げる。

告知した1光子

アイドラーの腕に検出器を置き、鳴ったときだけシグナルの光子を使えば、シグナルの腕に1光子の状態を用意できる。これを告知した（heralded）1光子と呼ぶ。検出器が光子の数を区別せず「1個以上来たら鳴る」とすると、鳴ったときのシグナルの状態は、式 (33.18) の $n\ge1$ の項を集めたもの

$$\hat\rho_{\mathrm s|\mathrm h}\propto\sum_{n\ge1}\tanh^{2n}\zeta\,| n \rangle \langle n |$$

である。$n=1$ の割合は $1-\tanh^2\zeta$ で、$g^{(2)}(0)$ は

$$g^{(2)}_{\mathrm h}(0)=\frac{2\bar n}{1+\bar n}\approx2\bar n\tag{33.20}$$

になる（$n=m+1$ と置き、$m$ が平均 $\bar n$ の熱的な分布に従うことを使う）。$\bar n$ を小さくするほど単一光子に近づくが、対の出る速さも下がる。2組同時に出ることが告知した1光子の不純物で、その割合と速さの釣り合いで源の明るさを選ぶ。

結晶の中では、エネルギー $\hbar\omega_{\mathrm p}=\hbar\omega_{\mathrm s}+\hbar\omega_{\mathrm i}$ と運動量 $\hbar\bm{k}_{\mathrm p}=\hbar\bm{k}_{\mathrm s}+\hbar\bm{k}_{\mathrm i}$（位相整合。第17章の $\Delta k=0$）が保たれる。連続波のポンプでは $\omega_{\mathrm p}$ が決まっているので、シグナルの周波数が帯域の中で高ければアイドラーは低く、2つの周波数は逆向きに相関する。2個の光子が生まれる時刻は、帯域の逆数（コヒーレンス時間）の程度でそろう。同じ源から出た2個の光子を 33.3節の2つの入口に入れれば、HOM の谷の幅で生まれた時刻の差を測れる。

原子のカスケードと偏光のもつれ

光子対のもう1つの源は、2つの遷移を続けて起こす原子である。Ca 原子の $4p^2\,{}^1S_0$（$J=0$、偶）を励起すると、$4s4p\,{}^1P_1$（$J=1$、奇）へ波長 $551.3\,\mathrm{nm}$ の光子を出して移り、続けて基底状態 $4s^2\,{}^1S_0$（$J=0$、偶）へ $422.7\,\mathrm{nm}$ の光子を出す（図 33.4。波長は Aspect ほか (1982) の値）。2つの遷移はどちらも第18章の電気双極子の遷移で、始めと終わりの準位がともに $J=0$ なので、2個の光子の対は角運動量 $0$ と偶の偶奇性を原子から受け継ぐ。

2個の光子を $z$ 軸に沿って逆向き（光子1が $+z$、光子2が $-z$）に取り出す。$z$ の向きに進む光子は $z$ 軸まわりの角運動量 $\pm\hbar$ しか運べないので、中間の準位は $m=-1$ か $m=+1$ で、$m=0$ は通らない。光子1が角運動量 $+\hbar$ を運べば原子は $m=-1$ に移り、そこから光子2が $-\hbar$ を運んで $m=0$ に戻る。偏光で書くと、$z$ 軸まわりの角運動量 $\pm\hbar$ の偏光ベクトルは $\bm{e}_\pm=\mp(\bm{e}_x\pm\mathrm{i}\bm{e}_y)/\sqrt2$ なので、2つの経路の和は $\bm{e}_+\otimes\bm{e}_-+\bm{e}_-\otimes\bm{e}_+=-(\bm{e}_x\otimes\bm{e}_x+\bm{e}_y\otimes\bm{e}_y)$ になる。2つの経路の相対的な符号は対称性で決まる。$z$ 軸まわりの回転で不変な2光子の偏光の状態は $| xx \rangle +| yy \rangle$ と $| xy \rangle -| yx \rangle$ の2つで、$xz$ 面での鏡映（$y\to-y$）で前者は不変、後者は符号を変える。始めと終わりの原子の状態はどちらも $J=0$ で偶なのでこの鏡映で不変であり、光子の対も不変な前者になる。したがって

$$| \psi_{\mathrm{pol}} \rangle =\frac{1}{\sqrt2}\bigl(| x \rangle _1| x \rangle _2+| y \rangle _1| y \rangle _2\bigr)\tag{33.21}$$

である。どちらの光子も単独では偏光していない（部分トレースが $\frac12$ の単位行列）が、2つの偏光は完全に相関している。相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第3部第5章（相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第3部第5章）の $| \Phi^+ \rangle$ と同じ形で、$| 0 \rangle \leftrightarrow| x \rangle$、$| 1 \rangle \leftrightarrow| y \rangle$ と対応づけたものである。

光子1を透過軸の角 $\alpha$ の偏光子に、光子2を角 $\beta$ の偏光子に通す。透過する偏光は $| \alpha \rangle =\cos\alpha| x \rangle +\sin\alpha| y \rangle$ で、2つとも透過する確率は $\lvert \langle \alpha |\otimes\langle \beta |\,\psi_{\mathrm{pol}}\rvert ^2=\frac12\cos^2(\alpha-\beta)$ である。透過を $+1$、反射（直交する偏光）を $-1$ と数えた相関は

$$E(\alpha,\beta)=\cos2(\alpha-\beta)\tag{33.22}$$

になる。偏光子の角が $\alpha$ だけ回ると Poincaré 球（第15章）の上では $2\alpha$ だけ回るので、Bloch 球の角で書いた相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第3部第5章の $E=\cos(\alpha-\beta)$ とは角が2倍だけ違う。CHSH の量 $S=E(a,b)-E(a,b')+E(a',b)+E(a',b')$ は、偏光子の角を $a=0^\circ$, $a'=45^\circ$, $b=22.5^\circ$, $b'=67.5^\circ$ に選ぶと、4つの項がどれも大きさ $\cos45^\circ$ で $S=2\sqrt2$ になり、局所的な隠れた変数の模型の上限 $2$ を超える（CHSH 不等式の導出と Tsirelson の上限 $2\sqrt2$ は相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第3部第5章）。

偏光でもつれた対は、SPDC でも作れる。シグナルとアイドラーが直交する偏光で生まれる位相整合（タイプ II）の結晶では、2つの円錐状の光の交わる2方向で $(| HV \rangle +\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}| VH \rangle )/\sqrt2$ の対が得られる（P. G. Kwiat ほか (1995)、Phys. Rev. Lett. 75, 4337）。波長板（第15章）で $\phi$ と偏光の基底を回せば式 (33.21) の形にできる。