出てくるもの（2）：スクイーズド状態

光学と量子エレクトロニクス　第31章 §31.4　★★★ スクイーズド真空 $\hat S(\zeta)| 0 \rangle$ は一方の直交位相の分散が $\mathrm{e}^{-2r}/4$ と真空より小さく、光子は偶数個だけで平均 $\sinh^2r$、分散 $2\sinh^2r\cosh^2r$。2モードに分けると片方は熱分布になる

スクイーズド真空の揺らぎ

真空にスクイーズ演算子を当てた状態 $| \zeta \rangle =\hat S(\zeta)| 0 \rangle$ をスクイーズド真空と呼ぶ。命題 31.2 から $\langle \hat X_\theta \rangle$ はすべて $0$ のままで、揺らぎは

$$(\Delta X_\theta)^2=\frac{\mathrm{e}^{-2r}}{4},\qquad(\Delta X_{\theta+\pi/2})^2=\frac{\mathrm{e}^{2r}}{4},\qquad\Delta X_\theta\,\Delta X_{\theta+\pi/2}=\frac14\tag{31.21}$$

である。不確定性の下限をちょうど満たしたまま、向き $\theta$ の揺らぎが真空の $\mathrm{e}^{-r}$ 倍になる（図 31.1 の楕円）。中間の向き $\theta+\psi$ では$(\Delta X_{\theta+\psi})^2=\frac14(\mathrm{e}^{-2r}\cos^2\psi+\mathrm{e}^{2r}\sin^2\psi)$ で、縮めた向きから少しずれるだけで、伸ばした向きの大きな揺らぎが混ざる（31.5節の図 31.3）。揺らぎを dB で表すときは、真空の分散 $\frac14$ との比を $10\log_{10}$ で書く。$r$ のスクイーズは $-10\log_{10}\mathrm{e}^{-2r}=8.69r\,\mathrm{dB}$ で、$10\,\mathrm{dB}$ は分散を $\frac1{10}$ にすること、$r=\frac12\ln10=1.151$ に当たる。

光子数の分布

スクイーズの変換の逆 $\hat S\hat a\hat S^\dagger=\hat a\cosh r+\hat a^\dagger\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\theta}\sinh r$（式 (31.12) で $r\to-r$）と $\hat a| 0 \rangle =0$ から、スクイーズド真空は

$$\bigl(\hat a\cosh r+\hat a^\dagger\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\theta}\sinh r\bigr)| \zeta \rangle =0\tag{31.22}$$

を満たす。$| \zeta \rangle =\sum_nc_n| n \rangle$ を入れて $| n \rangle$ の係数を比べると $c_{n+1}\sqrt{n+1}\cosh r+c_{n-1}\sqrt n\,\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\theta}\sinh r=0$ である。$c_1=0$ から奇数の係数はすべて $0$ で、偶数の係数は $c_{2m+2}=-\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\theta}\tanh r\sqrt{(2m+1)/(2m+2)}\,c_{2m}$ でつながる。これを解いて規格化すると

$$| \zeta \rangle =\frac{1}{\sqrt{\cosh r}}\sum_{m=0}^\infty\bigl(-\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\theta}\tanh r\bigr)^m\frac{\sqrt{(2m)!}}{2^mm!}| 2m \rangle ,\qquad P(2m)=\frac{(2m)!}{4^m(m!)^2}\frac{\tanh^{2m}r}{\cosh r}\tag{31.23}$$

を得る（規格化は $\sum_m\frac{(2m)!}{4^m(m!)^2}x^m=(1-x)^{-1/2}$ を $x=\tanh^2r$ で使う）。光子は偶数個しか無い。2個ずつ作ったり消したりする相互作用 (31.9) で真空から作った状態なので、光子数の偶奇は変わらない。

平均と分散は、式 (31.12) で $\hat a$ を変換してから真空の期待値をとると

$$\langle \hat n \rangle =\sinh^2r,\qquad(\Delta n)^2=2\sinh^2r\cosh^2r=2\langle \hat n \rangle \bigl(\langle \hat n \rangle +1\bigr)\tag{31.24}$$

である。分散は同じ平均のコヒーレント状態（Poisson）の $2(\langle \hat n \rangle +1)$ 倍で、光子数の揺らぎは大きい。一方の直交位相の揺らぎを小さくした状態は、光子数で見ると揺らぎの大きい状態であり、「揺らぎが小さい」は向きを指定して初めて意味を持つ。光子数の揺らぎの小さい光（アンチバンチングした光）は第32章で扱う。

スクイーズしたコヒーレント状態

スクイーズド真空を変位させた $\hat D(\alpha)\hat S(\zeta)| 0 \rangle$ をスクイーズしたコヒーレント状態と呼ぶ。期待値は $\langle \hat a \rangle =\alpha$ でコヒーレント状態と同じ古典の振動をし、揺らぎは式 (31.21) の楕円のままである。$\theta$ を $\arg\alpha$ にそろえて動径の向きを縮めると光子数の揺らぎが Poisson より小さい光（振幅スクイーズ）、$\theta=\arg\alpha+\pi/2$ にして接線の向きを縮めると位相の揺らぎが小さい光（位相スクイーズ）になる。干渉計で使うのは、強いコヒーレント状態の光とスクイーズド真空を別々の入口から入れる配置で、ビームスプリッタで重ねた後の各腕の光は、スクイーズしたコヒーレント状態に近いものになる（総合問題）。

2モードのスクイーズと熱分布

第17章の縮退していないパラメトリック過程では、ポンプ光子1個がシグナル光とアイドラー光の2つのモード $\hat a$、$\hat b$ に光子を1個ずつ作る。同じ手順で相互作用は $\hat a^\dagger\hat b^\dagger$ と $\hat a\hat b$ の和になり、時間発展は

$$\hat S_2(\zeta)=\exp\bigl[\zeta\hat a^\dagger\hat b^\dagger-\zeta^*\hat a\hat b\bigr],\qquad \hat S_2(\zeta)| 0,0 \rangle =\frac1{\cosh r}\sum_{n=0}^\infty\tanh^nr\,| n,n \rangle\tag{31.25}$$

である。引数は1モードと同じく複素のスクイーズ・パラメータ $\zeta=r\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\theta}$ で、位相を選んで $\zeta=r$（実数）とすると右の式になる。光子は2つのモードに同じ数ずつ入るので、光子数の差 $\hat n_a-\hat n_b$ は揺らがない。これを2モードのスクイーズド真空と呼ぶ。片方のモードだけを見て $\hat b$ について部分トレースをとると

$$\hat\rho_a=\frac1{\cosh^2r}\sum_n\tanh^{2n}r\,| n \rangle \langle n |,\qquad\tanh^2r=\mathrm{e}^{-\hbar\omega/( k_{\mathrm B} T)},\qquad\langle \hat n_a \rangle =\sinh^2r\tag{31.26}$$

で、温度 $T$ の熱分布（Planck 分布）そのものになる。全体は純粋状態なのに、片方だけを見ると熱い。解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第5部第12章（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第5部第12章）で、一様に加速する観測者の見る真空が Rindler の左右の楔のモードの対の状態（熱場二重状態）になり、片方の楔では Unruh 温度の熱分布に見えることを示した。その状態は、この式で $\tanh r=\mathrm{e}^{-\hbar\Omega/(2 k_{\mathrm B} T_{\mathrm U})}$ とおいた2モードのスクイーズド真空である。