出てくるもの（1）：地平面をまたぐ真空はモードの対の熱場二重状態

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第7部 第2章 §7.2.3　★★★ 地平面の近くでなめらかな真空は、外の Hawking モードと内側の相手のモードの2モードのスクイーズド状態の積で、外が熱いのはその片側だから

Rindler の楔から Schwarzschild の地平面へ

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第5部第12章で、一様に加速する観測者（固有加速度 $a$）の見る真空を計算した。Minkowski 真空 $| 0_{\mathrm M} \rangle$ を右の楔 R と左の楔 L のモードで書き直すと、同じ振動数 $\Omega$ の R のモードと L のモードが1組ずつ組になり、

$$| 0_{\mathrm M} \rangle =\bigotimes_\Omega\sqrt{1-\mathrm{e}^{-2\pi c\Omega/a}}\sum_{n=0}^\infty\mathrm{e}^{-n\pi c\Omega/a}| n_{\mathrm L} \rangle | n_{\mathrm R} \rangle\tag{7.2.11}$$

の形になる。これは式 (7.2.5) で $x=2\pi c\Omega/a=\hbar\Omega/( k_{\mathrm B} T_{\mathrm U})$ とおいた熱場二重状態の積で、R だけを見ると Unruh 温度 $T_{\mathrm U}=\hbar a/(2\pi c k_{\mathrm B})$ の熱状態になる。式 (7.2.11) は、計算を簡単にした質量のないスカラー場のものだが、同じ構造は相互作用のある場でも成り立つ。Bisognano と Wichmann（1976、Journal of Mathematical Physics 17、303）は、一般の場の理論で、真空を右の楔に制限した状態が、楔の時間の並進（ブースト）の生成子$\hat H_{\mathrm R}$ についての Gibbs 状態 $\mathrm{e}^{-\hat H_{\mathrm R}/( k_{\mathrm B} T_{\mathrm U})}/Z$ になることを示した。

Schwarzschild のブラックホールでは、同じ構造が地平面のまわりに現れる。表面重力 $\kappa=c^4/(4GM)$（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部第19章、解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部第19章）を使った Kruskal 座標 $U=-(c/\kappa)\mathrm{e}^{-\kappa u/c}$ は地平面 $U=0$ をなめらかに横切る座標で、崩壊から十分時間が経った後、外向きのモードは「$U$ について正の振動数のモードが空」という状態にある（第5部第12章）。地平面の外（$U<0$）で遠方の時計 $u$ について振動数 $\omega$ のモードをHawking モード、同じ振動数で地平面の内側（$U>0$）にある鏡像のモードを相手のモード（partner）と呼ぶと、外向きのモードの状態は、Rindler の $a$ を $\kappa$ に替えて

$$| \Psi \rangle =\bigotimes_\omega\frac{1}{\cosh r_\omega}\sum_{n=0}^\infty\tanh^nr_\omega\,| n \rangle _{\text{内}}| n \rangle _{\text{外}},\qquad \tanh r_\omega=\mathrm{e}^{-\pi c\omega/\kappa}=\mathrm{e}^{-\hbar\omega/(2 k_{\mathrm B} T_{\mathrm H})}\tag{7.2.12}$$

となる。$\pi c\omega/\kappa=\hbar\omega/(2 k_{\mathrm B} T_{\mathrm H})$ は $T_{\mathrm H}=\hbar\kappa/(2\pi c k_{\mathrm B})$ から従う。外の Hawking モードだけを見る遠方の観測者にとって、各モードの状態は式 (7.2.2) の熱状態で、平均の量子数は $1/(\mathrm{e}^{\hbar\omega/( k_{\mathrm B} T_{\mathrm H})}-1)$ になる。これが Hawking 放射の熱分布である。

図 7.2.2　地平面をまたぐモードの対（Kruskal 座標の模式図）。地平面の近くでは、地平面のすぐ外を外向きに進む Hawking モード（赤の実線）と、すぐ内側を進む相手のモード（青の破線）が組になって、式 (7.2.12) の2モードのスクイーズド状態をなす。外の観測者は赤の側しか受け取れず、その状態は熱状態に見える

対のエネルギーとブラックホールの質量

熱場二重状態には、相手の側の「エネルギー」についての制約がある。式 (7.2.1) に $\hat H_{\mathrm R}-\hat H_{\mathrm L}$ を掛けると、各項が $(E_n-E_n)$ 倍になるので

$$(\hat H_{\mathrm R}-\hat H_{\mathrm L})| \mathrm{TFD}_\beta \rangle =0\tag{7.2.13}$$

である。Rindler の場合、楔の時間 $t_{\mathrm R}$ は左の楔では過去向きに進むので、全体のブーストの生成子は $\hat H_{\mathrm R}-\hat H_{\mathrm L}$ の形をしている。式 (7.2.13) は、Minkowski 真空がブーストで変わらないことを表す。ブラックホールでは、時刻の並進の Killing ベクトルについての保存量（Killing エネルギー）がこの役を持つ。Killing ベクトルは地平面の内側で空間的になり、相手のモードの量子は $-\hbar\omega$ の Killing エネルギーを持つ。Hawking 量子が $\hbar\omega$ を無限遠へ運ぶと、相手が $-\hbar\omega$ をブラックホールに持ち込み、質量は $\hbar\omega/c^2$ だけ減る。蒸発で質量が減ることは、この対の勘定で説明される。