tecktom.com

当てる D の性質：純粋化と部分トレースの単調性

2026年10月15日9分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第7部 第2章 Hawking 放射はエンタングルメントでできている
目次
  1. 純粋化は相手の側のユニタリを除いて1つ
  2. 熱い理由は2通りある
  3. 部分トレースで失われる区別
  4. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第7部 第2章 §7.2.2　★★★ 外の熱状態は相手の側を変えるだけで無数の純粋化を持ち、外だけの D はそれらを一切区別しない。区別の量はすべて内外の相関に入っている

純粋化は相手の側のユニタリを除いて1つ

第3部第1章（第3部第1章）で、どんな密度行列 ρ^R\hat\rho_{\mathrm R} も、補助の系 L を付け足した純粋状態 ∣Ψ⟩LR| \Psi \rangle _{\mathrm{LR}} の片側として書けること（純粋化）を示した。この章では、その逆向きの性質を使う。

命題 7.2.1（純粋化の一意性 ★★★）

∣Ψ⟩| \Psi \rangle と ∣Ψ′⟩| \Psi' \rangle が同じ ρ^R\hat\rho_{\mathrm R} の純粋化で、L の次元が同じなら、L の上のユニタリ U^L\hat U_{\mathrm L} があって∣Ψ′⟩=(U^L⊗1R)∣Ψ⟩| \Psi' \rangle =(\hat U_{\mathrm L}\otimes\mathbf 1_{\mathrm R})| \Psi \rangle と書ける。

証明

ρ^R=∑kpk∣k⟩⟨k∣\hat\rho_{\mathrm R}=\sum_kp_k| k \rangle \langle k | を固有値分解する。∣Ψ⟩| \Psi \rangle を R の基底 ∣k⟩| k \rangle で展開して ∣Ψ⟩=∑k∣ℓ~k⟩L∣k⟩R| \Psi \rangle =\sum_k| \tilde\ell_k \rangle _{\mathrm L}| k \rangle _{\mathrm R} と書くと、Tr⁡L∣Ψ⟩⟨Ψ∣=∑k,k′⟨ℓ~k′∣ℓ~k⟩∣k⟩⟨k′∣\operatorname{Tr}_{\mathrm L}| \Psi \rangle \langle \Psi |=\sum_{k,k'}\langle \tilde\ell_{k'} | \tilde\ell_k \rangle | k \rangle \langle k' | がこれに等しいので ⟨ℓ~k′∣ℓ~k⟩=pkδkk′\langle \tilde\ell_{k'} | \tilde\ell_k \rangle =p_k\delta_{kk'} である。したがって ∣ℓk⟩=∣ℓ~k⟩/pk| \ell_k \rangle =| \tilde\ell_k \rangle /\sqrt{p_k}（pk>0p_k>0 の kk）は正規直交系で、∣Ψ⟩=∑kpk∣ℓk⟩∣k⟩| \Psi \rangle =\sum_k\sqrt{p_k}| \ell_k \rangle | k \rangle（Schmidt 分解）。∣Ψ′⟩| \Psi' \rangle も同じ形∑kpk∣ℓk′⟩∣k⟩\sum_k\sqrt{p_k}| \ell'_k \rangle | k \rangle に書ける。L の正規直交系 {∣ℓk⟩}\{| \ell_k \rangle \} を {∣ℓk′⟩}\{| \ell'_k \rangle \} へ移し、残りの直交補空間どうしも任意に対応させたユニタリを U^L\hat U_{\mathrm L} とすればよい。

熱場二重状態 (7.2.1) に当てはめると、外の熱状態 ρ^β\hat\rho_\beta を「持っている」純粋状態は、熱場二重状態に L の側のユニタリを掛けたものに限られる。逆に、L の側で何をしても（L にユニタリを掛けても、L を測っても）、R の状態は ρ^β\hat\rho_\beta のまま変わらない。これは第3部第1章で示した「遠くの測定は手元の状態を変えない」（信号を送れないこと）の言い換えである。地平面の内側で何が起きても、外の放射の熱分布は変わらない。

熱い理由は2通りある

R が熱状態 ρ^β\hat\rho_\beta にあるとき、その理由として次の2つが考えられる。

  1. (a) R が L と量子的にもつれていて、全体は純粋な熱場二重状態にある。
  2. (b) R がある固有状態 ∣n⟩| n \rangle に確率 pn=e−βEn/Zp_n=\mathrm{e}^{-\beta E_n}/Z で用意され、どの nn だったかの記録が L に古典的に残っている。全体は

σ^cl=∑npn∣n⟩⟨n∣L⊗∣n⟩⟨n∣R(7.2.8)\hat\sigma_{\mathrm{cl}}=\sum_np_n| n \rangle \langle n |_{\mathrm L}\otimes| n \rangle \langle n |_{\mathrm R}\tag{7.2.8}

という分離可能な状態（第3部第4章の SEP の元）である。

(a) と (b) はどちらも Tr⁡L\operatorname{Tr}_{\mathrm L} が ρ^β\hat\rho_\beta になるので、R だけを比べた相対エントロピーは 00 で、R の上の測定では区別できない。L と R を合わせると区別できる。純粋状態 ψ=∣TFDβ⟩⟨TFDβ∣\psi=| \mathrm{TFD}_\beta \rangle \langle \mathrm{TFD}_\beta | では D(ψ ∥ σ^)=−⟨TFDβ∣ln⁡σ^∣TFDβ⟩D(\psi\,\|\,\hat\sigma)=-\langle \mathrm{TFD}_\beta | \ln\hat\sigma | \mathrm{TFD}_\beta \rangle なので、

D(ψ ∥ σ^cl)=−∑npnln⁡pn=S(ρ^β),D(σ^cl ∥ ρ^β⊗ρ^β)=∑npnln⁡pnpn2=S(ρ^β)(7.2.9)D(\psi\,\|\,\hat\sigma_{\mathrm{cl}})=-\sum_np_n\ln p_n=S(\hat\rho_\beta),\qquad D(\hat\sigma_{\mathrm{cl}}\,\|\,\hat\rho_\beta\otimes\hat\rho_\beta)=\sum_np_n\ln\frac{p_n}{p_n^2}=S(\hat\rho_\beta)\tag{7.2.9}

で、2つを足すと式 (7.2.4) の 2S(ρ^β)2S(\hat\rho_\beta) になる。熱場二重状態の相互情報量 2S2S は、半分が「どの nn か」の古典的な相関、残りの半分が重ね合わせの位相が L と R にまたがっている量子的な相関、と分けて読める。後半の S(ρ^β)S(\hat\rho_\beta) は、第3部第4章（第3部第4章）の相対エントロピーのエンタングルメント ERE_{\mathrm R} が純粋状態で S(ρ^R)S(\hat\rho_{\mathrm R}) に等しいことの、具体的な姿でもある。

部分トレースで失われる区別

量子データ処理不等式（第3部第3章、第3部第3章）を部分トレース Tr⁡L\operatorname{Tr}_{\mathrm L} に当てると

D(ρ^R ∥ σ^R)≤D(ρ^LR ∥ σ^LR)(7.2.10)D(\hat\rho_{\mathrm R}\,\|\,\hat\sigma_{\mathrm R})\le D(\hat\rho_{\mathrm{LR}}\,\|\,\hat\sigma_{\mathrm{LR}})\tag{7.2.10}

である。熱場二重状態と積状態の組では、右辺が 2S(ρ^β)2S(\hat\rho_\beta)、左辺が 00 で、不等式の差の全部が「L を捨てたことで失われた区別」になっている。外の観測者にとって熱放射は乱雑さの最大の状態（与えられた平均エネルギーのもとで von Neumann エントロピーが最大）だが、その乱雑さは、捨てた L に移った情報の量そのものである。

例題 7.2.2　2量子ビットで相関を古典の分と量子の分に分ける ★★

オリジナルq=0.2q=0.2 として、2量子ビットの純粋状態 ∣ψ⟩=1−q∣00⟩+q∣11⟩| \psi \rangle =\sqrt{1-q}| 00 \rangle +\sqrt q| 11 \rangle と、古典的に相関した状態 σ^cl=(1−q)∣00⟩⟨00∣+q∣11⟩⟨11∣\hat\sigma_{\mathrm{cl}}=(1-q)| 00 \rangle \langle 00 |+q| 11 \rangle \langle 11 | を考える。左の量子ビットを L、右を R とする。

  1. (1) 2つの状態の R の側の状態が等しいことを示せ。
  2. (2) D(ψ ∥ σ^cl)D(\psi\,\|\,\hat\sigma_{\mathrm{cl}})、D(σ^cl ∥ ρ^L⊗ρ^R)D(\hat\sigma_{\mathrm{cl}}\,\|\,\hat\rho_{\mathrm L}\otimes\hat\rho_{\mathrm R})、D(ψ ∥ ρ^L⊗ρ^R)D(\psi\,\|\,\hat\rho_{\mathrm L}\otimes\hat\rho_{\mathrm R}) を求めよ。
  3. (3) L と R の両方で XX を測った積の期待値 ⟨X⊗X⟩\langle X\otimes X \rangle で2つの状態を区別できることを示せ。
解答

(1) どちらも Tr⁡L\operatorname{Tr}_{\mathrm L} を取ると diag⁡(1−q,q)\operatorname{diag}(1-q,q) になる。∣ψ⟩| \psi \rangle では ∣00⟩| 00 \rangle と ∣11⟩| 11 \rangle の交差項 ∣0⟩⟨1∣L⊗∣0⟩⟨1∣R| 0 \rangle \langle 1 |_{\mathrm L}\otimes| 0 \rangle \langle 1 |_{\mathrm R} がTr⁡(∣0⟩⟨1∣)=0\operatorname{Tr}(| 0 \rangle \langle 1 |)=0 で消えるので、R の非対角成分は残らない。これは熱場二重状態 (7.2.1) の、準位が2つの場合（q/(1−q)=e−βΔEq/(1-q)=\mathrm{e}^{-\beta\Delta E}）にあたる。

(2) 二値エントロピー hb(0.2)=−0.2ln⁡0.2−0.8ln⁡0.8=0.5004h_{\mathrm b}(0.2)=-0.2\ln0.2-0.8\ln0.8=0.5004 を使う。式 (7.2.9) と同じ計算で

D(ψ ∥ σ^cl)=hb(q)=0.5004,D(σ^cl ∥ ρ^L⊗ρ^R)=hb(q)=0.5004,D(\psi\,\|\,\hat\sigma_{\mathrm{cl}})=h_{\mathrm b}(q)=0.5004,\qquad D(\hat\sigma_{\mathrm{cl}}\,\|\,\hat\rho_{\mathrm L}\otimes\hat\rho_{\mathrm R})=h_{\mathrm b}(q)=0.5004,

D(ψ ∥ ρ^L⊗ρ^R)=I(L;R)=2hb(q)=1.0008.D(\psi\,\|\,\hat\rho_{\mathrm L}\otimes\hat\rho_{\mathrm R})=I(\mathrm L;\mathrm R)=2h_{\mathrm b}(q)=1.0008.

最後のものは、全体が純粋で S(ρ^R)=hb(q)S(\hat\rho_{\mathrm R})=h_{\mathrm b}(q) だから 2hb(q)2h_{\mathrm b}(q) で、最初の2つの和に等しい。

(3) X∣0⟩=∣1⟩X| 0 \rangle =| 1 \rangle、X∣1⟩=∣0⟩X| 1 \rangle =| 0 \rangle なので (X⊗X)∣00⟩=∣11⟩(X\otimes X)| 00 \rangle =| 11 \rangle、(X⊗X)∣11⟩=∣00⟩(X\otimes X)| 11 \rangle =| 00 \rangle。∣ψ⟩| \psi \rangle では⟨X⊗X⟩=2q(1−q)=0.8\langle X\otimes X \rangle =2\sqrt{q(1-q)}=0.8、σ^cl\hat\sigma_{\mathrm{cl}} では対角成分しかないので 00。L と R を両方 XX 基底で測り、結果の積の平均を取れば2つを見分けられる。片側の XX だけでは、どちらの状態でも ⟨X⟩=0\langle X \rangle =0 で見分けられない。量子的な相関は、両側を「重ね合わせの基底」で測ったときにだけ現れる。

木下の勉強ステータス

木下はまだこの記事を勉強していません。

AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com

目次

この記事が含まれている連載

連載AI生成教科書『虎の巻』授業とは別に、分野をまたいで気になったことを AI（Claude）が教材にし、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。1787本の記事・木下 智貴
← AI生成教科書『虎の巻』の記事一覧へ