選ぶもの：Kerr 解と、それを決める3つの数

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第19章 §2.19.1　★★★ 定常なブラックホールは質量・角運動量・電荷の3つの数で決まり、地平面の面積・角速度・表面重力はその関数になる

第2部第17章では、ブラックホールを時空の幾何として調べた。事象の地平面は光円錐が内側へ倒れきる面で、いったん内側に入ったものは外へ戻れない。この章では同じブラックホールを、別の角度から眺める。ブラックホールに物を落とすと質量と角運動量が変わり、地平面の面積も変わる。その変わり方には決まった規則があり、規則を並べると熱力学の4法則と同じ形になる。これが Bardeen・Carter・Hawking（1973）がまとめたブラックホール力学の4法則である。

この章で選ぶものは、真空の Einstein 方程式の定常で軸対称な解である Kerr 解と、その上を動く試験粒子の作用$L=-mc\sqrt{g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu}$（第2部第12章）である。当てる道具は、計量の対称性に Noether の定理を当てて得られる保存量（Killing ベクトルの保存量）と、第2部第11章の Rindler 座標、そして第1部第7章の Legendre 変換の言葉である。出てくるものは4つの法則で、①表面重力 $\kappa$ が地平面の上で一定であること（第零法則）、②質量の変化が面積の変化と角運動量の変化に分かれること $c^2\delta M=\frac{\kappa c^2}{8\pi G}\delta A+\Omega_{\mathrm H}\delta J$（第一法則）、③古典的な過程で地平面の面積が減らないこと（第二法則＝面積定理）、④$\kappa=0$ にする操作の難しさ（第三法則）である。第二法則の帰結として、回転するブラックホールからエネルギーを取り出す Penrose 過程の上限も出る。最後に、熱力学の授業で習う $\mathrm{d} U=T\mathrm{d} S+\Omega\mathrm{d} J$ や Euler の関係と、この章の式を並べる。

単位は SI、計量は $\eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$ の流儀で $x^0=ct$ とし、上下に1回ずつ現れるギリシャ添字は和を取る（記法の正本どおり）。この章の式に $\hbar$ は第5節の対応表の所まで出てこない。4法則はすべて古典の一般相対論の中の定理である。

Kerr 計量

第2部第16章の Schwarzschild 解は、回転していない球対称の真空解だった。回転している星が重力崩壊してできるブラックホールは角運動量を持つので、軸対称で定常な真空解が要る。Kerr（1963、Physical Review Letters 11、237）が見つけたその解を Boyer と Lindquist（1967、Journal of Mathematical Physics 8、265）の座標で書いた計量は、第2部第17章の式 (2.17.15) で Schwarzschild 半径 $r_{\mathrm s}$ を使って示した。この章では $r_{\mathrm g}=r_{\mathrm s}/2$ と $x^0=ct$ で書き直した

$$\begin{aligned} \mathrm{d} s^2={}&\Bigl(1-\frac{2r_{\mathrm g}r}{\Sigma}\Bigr)(\mathrm{d} x^0)^2+\frac{4r_{\mathrm g}ar\sin^2\theta}{\Sigma}\,\mathrm{d} x^0\mathrm{d}\varphi -\frac{\Sigma}{\Delta(r)}\mathrm{d} r^2-\Sigma\,\mathrm{d}\theta^2\\ &-\Bigl(r^2+a^2+\frac{2r_{\mathrm g}a^2r\sin^2\theta}{\Sigma}\Bigr)\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2 \end{aligned}\tag{2.19.1}$$

を使う。ここで

$$r_{\mathrm g}=\frac{GM}{c^2},\qquad a=\frac{J}{Mc},\qquad \Sigma=r^2+a^2\cos^2\theta,\qquad \Delta(r)=r^2-2r_{\mathrm g}r+a^2\tag{2.19.2}$$

で、$M$ は質量、$J$ は角運動量である。$r_{\mathrm g}$ は質量を長さに直した量（重力半径）で、Schwarzschild 半径の半分 $r_{\mathrm s}/2$ にあたる。$a$ も長さの次元を持ち、無次元の比 $a_\ast=a/r_{\mathrm g}=Jc/(GM^2)$ をスピンと呼ぶ。$\Delta(r)$ は Kerr の論文以来の記号で、有限の差の $\Delta$ ではないことを示すため、この章では必ず引数を付けて書く。$a=0$ と置くと $\Sigma=r^2$、$\Delta(r)=r^2(1-r_{\mathrm s}/r)$ となり、式 (2.19.1) は Schwarzschild 計量に戻る。$a\neq0$ で新しく現れたのは $\mathrm{d} x^0\mathrm{d}\varphi$ の交差項で、これが回転を表す。式 (2.19.1) が $R_{\mu\nu}=0$ を満たすことの確かめは第2部第17章に任せ、この章では使う量だけを取り出す。

計量の成分は $x^0$ と $\varphi$ を含まない。したがって $\xi_{(t)}=\partial/\partial x^0$ と $\xi_{(\varphi)}=\partial/\partial\varphi$ の2つが Killing ベクトルである。前者が「時間をずらしても同じ」という定常性、後者が「軸のまわりに回しても同じ」という軸対称性を表す。

地平面・エルゴ面・角速度

$g_{rr}=-\Sigma/\Delta(r)$ は $\Delta(r)=0$ で発散する。その根は、第17章の式 (2.17.16) を $r_{\mathrm g}$ で書き直した

$$r_\pm=r_{\mathrm g}\pm\sqrt{r_{\mathrm g}^2-a^2}\tag{2.19.3}$$

のうち外側の $r_+$ が事象の地平面で、内側の $r_-$ は内部地平面と呼ばれる（この章では使わない）。実数の根があるのは $a\le r_{\mathrm g}$、つまり $a_\ast\le1$ のときに限る。$a_\ast>1$ では地平面がなく、特異点が外から見えてしまう。$a_\ast=1$ を極限 Kerrと呼ぶ。式 (2.19.3) から $r_+^2+a^2=2r_{\mathrm g}r_+$ が成り立つので、地平面（$r=r_+$ で $x^0$ 一定の面）の面積は、計量の $\theta,\varphi$ 部分から

$$A=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\pi\sqrt{\Sigma\cdot\Bigl(r_+^2+a^2+\frac{2r_{\mathrm g}a^2r_+\sin^2\theta}{\Sigma}\Bigr)}\,\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi =4\pi(r_+^2+a^2)=8\pi r_{\mathrm g}r_+\tag{2.19.4}$$

と求まる。根号の中は $r=r_+$ で $(r_+^2+a^2)^2$ に等しくなる（$\Sigma(r_+^2+a^2)+2r_{\mathrm g}a^2r_+\sin^2\theta=(r_+^2+a^2)(\Sigma+a^2\sin^2\theta)$ を使う）ので、被積分関数は $\theta$ によらない。

もう1つの特別な面は $g_{00}=0$ となる面で、第17章の式 (2.17.17) を書き直すと

$$r_{\mathrm E}(\theta)=r_{\mathrm g}+\sqrt{r_{\mathrm g}^2-a^2\cos^2\theta}\tag{2.19.5}$$

で、エルゴ面と呼ぶ。極（$\theta=0$）では $r_+$ に接し、赤道では $2r_{\mathrm g}$ まで張り出す。$r_+<r<r_{\mathrm E}(\theta)$ の領域（エルゴ領域）では $g_{00}<0$ となり、$\xi_{(t)}$ が空間的になる。そこでは遠方から見て静止したまま留まれず、どんな観測者も回転の向きに引きずられる（理由は第17章で光円錐の向きから見た）。

地平面そのものの上では、$\xi_{(t)}$ に $\xi_{(\varphi)}$ を一定の割合で足した

$$\chi=\xi_{(t)}+\frac{\Omega_{\mathrm H}}{c}\,\xi_{(\varphi)},\qquad \Omega_{\mathrm H}=c\Bigl(-\frac{g_{0\varphi}}{g_{\varphi\varphi}}\Bigr)\Bigr|_{r=r_+}=\frac{ca}{r_+^2+a^2}\tag{2.19.6}$$

が光的になる（$g_{\mu\nu}\chi^\mu\chi^\nu=0$ が $r=r_+$ ですべての $\theta$ について成り立つ）。$\chi$ は2つの Killing ベクトルの定数係数の和なので、それ自身も Killing ベクトルである。地平面を作る光線は $\chi$ に沿って進み、遠方から見ると角速度 $\Omega_{\mathrm H}$ で回っている。$\Omega_{\mathrm H}$ を地平面の角速度と呼ぶ。Killing ベクトルが光的になる面をKilling 地平面と呼び、定常なブラックホールの事象の地平面は Killing 地平面になる。

定常なブラックホールが何で決まるかについては、Carter（1971、Physical Review Letters 26、331）・Robinson（1975、Physical Review Letters 34、905）らの一意性定理がある。真空の Einstein 方程式の定常で漸近的に平坦なブラックホール解は Kerr 解に限り、電磁場があっても $(M,J,Q)$ の3つの数で決まる（Kerr–Newman 解）。この章では電荷を持たない場合に話を絞り、$(M,J)$ の2つで決まる Kerr 解を使う。落ちてきた物質の形や組成の情報は、地平面の外から見える量としては $M$ と $J$ の変化にしか残らない。熱力学で平衡状態が少数の状態量で決まるのとよく似た状況で、4法則の類似はここから始まる。