この章で選ぶ $L$：曲がった時空の固有時

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第12章 §2.12.1　★★★ 作用 $-mc\int\mathrm{d} s$ の $\eta_{\mu\nu}$ を $g_{\mu\nu}(x)$ に替える。時計の進みが場所と速さで変わることは、この1行に入っている

第2部第3章では、自由粒子の作用を世界線に沿った固有時に $-mc^2$ を掛けたもの

$$S=-mc\int\mathrm{d} s,\qquad \mathrm{d} s^2=\eta_{\mu\nu}\,\mathrm{d} x^\mu\mathrm{d} x^\nu$$

と選んだ（第2部第3章）。第2部第11章では、等価原理から、重力は時空の計量 $g_{\mu\nu}(x)$ の場所による違いとして書くしかないことを見た（第2部第11章）。この章で選ぶものは、この2つを合わせた1行である。

$$S[x]=-mc\int\sqrt{g_{\mu\nu}(x)\,\frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda}\frac{\mathrm{d} x^\nu}{\mathrm{d} \lambda}}\;\mathrm{d}\lambda .$$

重力の中の粒子は、力を受けて曲がるのではなく、この作用を停留させる世界線、つまり固有時を停留させる世界線を進む。この世界線を測地線と呼ぶ。

この作用に Euler–Lagrange 方程式を当てると、計量の1階微分の組み合わせとして Christoffel 記号 $\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}$ が現れ、測地線方程式が出る。平方根の付いた $L$ は第2部第3章で見たとおり径数の取り替えで変わらず、$H$ が恒等的に $0$ になる。径数を固有時に固定すると、平方根を外した $L=\frac12g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu$ に置き換えてよいことが分かり、光の世界線もこの形で扱える。計量を Newton のポテンシャル $\Phi$ で $g_{00}\approx1+2\Phi/c^2$ と書くと、測地線方程式の先頭の項は $\ddot{\bm{x}}=-\nabla\Phi$ で、$L$ を展開すると $-mc^2+\frac12mv^2-m\Phi$ が出る。計量が座標の取り替えで変わらないとき（Killing ベクトルがあるとき）には、第1部第10章の Noether の定理からエネルギーと角運動量の保存が出る。最後に、回転する座標系の Christoffel 記号が遠心力と Coriolis 力になることを確かめ、学部の授業で習う式と対応させる。

この章を通して計量の符号は $(+,-,-,-)$（Landau–Lifshitz と同じ。他の教科書との対応は第2部第11章の表）とし、上下に1回ずつ現れるギリシャ添字だけ和をとる。曲率（Riemann テンソル）はこの章には出てこない。測地線方程式は計量とその1階微分だけで書け、曲率は2階微分を含む量として第2部第14章で導入する。

計量と固有時

座標を $x^\mu=(x^0,x^1,x^2,x^3)$ と書く。近い2つの出来事の間の世界間隔を

$$\mathrm{d} s^2=g_{\mu\nu}(x)\,\mathrm{d} x^\mu\mathrm{d} x^\nu\tag{2.12.1}$$

で定める。$g_{\mu\nu}$ は場所によってよい $4\times4$ の対称行列で、各点で固有値の符号が $(+,-,-,-)$ になっているものとする。その行列式を $g=\det g_{\mu\nu}<0$ と書き、逆行列を $g^{\mu\nu}$（$g^{\mu\lambda}g_{\lambda\nu}=\delta^\mu{}_\nu$）と書く。添字の上げ下げは $g$ で行う（$u_\mu=g_{\mu\nu}u^\nu$）。平坦な時空を慣性系の座標で書いたときが $g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}$ である。

$\mathrm{d} s^2>0$ の向き（時間的な向き）に進む粒子について、固有時を

$$\mathrm{d}\tau=\frac{\mathrm{d} s}{c}=\frac1c\sqrt{g_{\mu\nu}\,\mathrm{d} x^\mu\mathrm{d} x^\nu}\tag{2.12.2}$$

で定める。第2部第3章と同じく、$\mathrm{d}\tau$ は粒子が持ち歩く時計の進みにあたる。$\eta$ を $g$ に替えても「世界線の長さを時計が測る」という意味は変わらず、変わるのは長さの測り方が場所によることだけである。4元速度は $u^\mu=\frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \tau}$ で、式 (2.12.2) を $\mathrm{d}\tau^2$ で割ると

$$g_{\mu\nu}u^\mu u^\nu=c^2\tag{2.12.3}$$

を満たす。

選ぶ作用

この作用を選ぶ理由は2つある。1つ目は、$g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}$ のとき第2部第3章の作用に戻ることである。2つ目は、$\int\mathrm{d}\tau$ がどの座標で計算しても同じ値になることで、そのため停留の条件も座標によらない。座標を $x\to x'$ と取り替えると $g_{\mu\nu}$ の成分は変わるが、$\mathrm{d} s^2$ が同じ値になるように変わる（成分の変わり方は第2部第13章で扱う）。この章で「重力」と呼んできたものは、すべて $g_{\mu\nu}(x)$ に入っている。$L$ には重力のポテンシャルを別に足す項が無い。

静的な弱い場の計量

具体的な計量として、この章では次のものを繰り返し使う。

$$\mathrm{d} s^2=\Bigl(1+\frac{2\Phi(\bm{x})}{c^2}\Bigr)c^2\mathrm{d} t^2-\Bigl(1-\frac{2\Phi(\bm{x})}{c^2}\Bigr)\mathrm{d}\bm{x}^2,\qquad x^0=ct .\tag{2.12.5}$$

$\Phi$ は Newton のポテンシャルで、質量 $M$ の球の外では $\Phi=-GM/r<0$ である。$g_{00}=1+2\Phi/c^2$ の部分は、第2部第11章の重力赤方偏移（高い所の時計が速く進む）を計量に書いたものになっている。$g_{ij}$ の部分は等価原理だけでは決まらず、Einstein 方程式を弱い場で解いて得る（第2部第15章）。この章ではこの計量を与えられたものとして使い、$\lvert \Phi\rvert /c^2$ の1次までを残す。地表では $GM/(Rc^2)=7\times10^{-10}$ 程度で、太陽の表面でも $2\times10^{-6}$ 程度なので、1次で十分よい。

この計量の中を速度 $\bm{v}=\frac{\mathrm{d} \bm{x}}{\mathrm{d} t}$ で動く時計の進みは、式 (2.12.2) に式 (2.12.5) を入れて

$$\frac{\mathrm{d} \tau}{\mathrm{d} t}=\sqrt{1+\frac{2\Phi}{c^2}-\Bigl(1-\frac{2\Phi}{c^2}\Bigr)\frac{v^2}{c^2}}=1+\frac{\Phi}{c^2}-\frac{v^2}{2c^2}+\mathcal{O}(c^{-4})\tag{2.12.6}$$

となる。第1項の補正 $\Phi/c^2$ は低い所ほど時計が遅れることを、第2項 $-v^2/(2c^2)$ は特殊相対論の時間の遅れを表す。2つの補正が同じ1行から出る。

円軌道を回る時計と地表の時計の比べ方（同じ速さになるのは $r=3R/2$）は、第2部第11章の式 (2.11.23) で扱った。ここでは自転する地球の表面に置いた時計どうしを比べる。

1　世界測地系 WGS84 の定数。National Imagery and Mapping Agency (2000), Department of Defense World Geodetic System 1984, Technical Report TR8350.2, 3rd ed.