授業で習った形との対応

(1) $\mathrm{d} X=\cos\Omega t\,\mathrm{d} x-\sin\Omega t\,\mathrm{d} y-\Omega Y\mathrm{d} t$、$\mathrm{d} Y=\sin\Omega t\,\mathrm{d} x+\cos\Omega t\,\mathrm{d} y+\Omega X\mathrm{d} t$ を2乗して足すと

$$\mathrm{d} X^2+\mathrm{d} Y^2=\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2+\Omega^2(x^2+y^2)\mathrm{d} t^2+2\Omega(x\,\mathrm{d} y-y\,\mathrm{d} x)\mathrm{d} t .$$

よって

$$\mathrm{d} s^2=\Bigl(1-\frac{\Omega^2\rho^2}{c^2}\Bigr)(\mathrm{d} x^0)^2-\frac{2\Omega}{c}(x\,\mathrm{d} y-y\,\mathrm{d} x)\mathrm{d} x^0-\mathrm{d} x^2-\mathrm{d} y^2-\mathrm{d} z^2$$

で、$g_{00}=1-\Omega^2\rho^2/c^2$、$g_{0x}=g_{x0}=\Omega y/c$、$g_{0y}=g_{y0}=-\Omega x/c$、$g_{ij}=-\delta_{ij}$ である。この座標系では計量が $t$ によらないが、$x^0$ と空間の座標が混じった成分を持つ。

(2) $\Omega\rho/c$ の1次までで $g^{xx}\approx g^{yy}\approx-1$ である。$\Gamma^x{}_{00}=\frac12g^{xx}(2\partial_0g_{x0}-\partial_xg_{00})=-\frac12\cdot\frac{2\Omega^2x}{c^2}=-\frac{\Omega^2x}{c^2}$。$\Gamma^x{}_{0y}=\frac12g^{xx}(\partial_0g_{xy}+\partial_yg_{x0}-\partial_xg_{0y})=-\frac12\Bigl(\frac{\Omega}{c}+\frac{\Omega}{c}\Bigr)=-\frac{\Omega}{c}$。$t$ を径数にした方程式の主要な項は $\ddot x=-c^2\Gamma^x{}_{00}-2c\,\Gamma^x{}_{0y}\dot y$ なので

$$\ddot x=\Omega^2x+2\Omega\dot y,\qquad \ddot y=\Omega^2y-2\Omega\dot x$$

となる（$y$ 成分も同じ計算）。第1項が遠心力 $m\Omega^2\bm{\rho}$、第2項が Coriolis 力 $-2m\bm{\Omega}\times\bm{v}$（$\bm{\Omega}=\Omega\bm{e}_z$ で $-2(\bm{\Omega}\times\bm{v})_x=2\Omega\dot y$）を $m$ で割ったものである。慣性系では直線を進む自由粒子が、回る座標で書くと曲がって見える（図 2.12.2）。$g_{00}$ の $-\Omega^2\rho^2/c^2$ は遠心力のポテンシャル $-\frac12\Omega^2\rho^2$ を $\Phi$ とみなしたもの（$g_{00}=1+2\Phi/c^2$）にあたる。