解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第12章 §2.12.5 ★★★ 計量が変えない座標の取り替え（Killing ベクトル）に第1部第10章の Noether の定理を当てると、エネルギー・角運動量の保存と重力赤方偏移が出る
計量の対称性
第1部第10章では、L L L δ q i = ϵ K i ( q ) \delta q_i=\epsilon K_i(q) δ q i = ϵ K i ( q ) Q = ∑ i p i K i Q=\sum_ip_iK_i Q = ∑ i p i K i 第1部第10章 ）。測地線の L 2 L_2 L 2 δ x μ = ϵ ξ μ ( x ) \delta x^\mu=\epsilon\,\xi^\mu(x) δ x μ = ϵ ξ μ ( x ) δ x ˙ μ = ϵ ∂ λ ξ μ x ˙ λ \delta\dot x^\mu=\epsilon\,\partial_\lambda\xi^\mu\,\dot x^\lambda δ x ˙ μ = ϵ ∂ λ ξ μ x ˙ λ
δ L 2 = ϵ 2 ( ξ λ ∂ λ g μ ν + g λ ν ∂ μ ξ λ + g μ λ ∂ ν ξ λ ) x ˙ μ x ˙ ν . \delta L_2=\frac{\epsilon}{2}\bigl(\xi^\lambda\partial_\lambda g_{\mu\nu}+g_{\lambda\nu}\partial_\mu\xi^\lambda+g_{\mu\lambda}\partial_\nu\xi^\lambda\bigr)\dot x^\mu\dot x^\nu . δ L 2 = 2 ϵ ( ξ λ ∂ λ g μν + g λ ν ∂ μ ξ λ + g μ λ ∂ ν ξ λ ) x ˙ μ x ˙ ν .
これがすべての世界線で 0 0 0 0 0 0
定義 2.12.3（Killing ベクトル）
ベクトル場 ξ μ ( x ) \xi^\mu(x) ξ μ ( x )
ξ λ ∂ λ g μ ν + g λ ν ∂ μ ξ λ + g μ λ ∂ ν ξ λ = 0 (2.12.20) \xi^\lambda\partial_\lambda g_{\mu\nu}+g_{\lambda\nu}\partial_\mu\xi^\lambda+g_{\mu\lambda}\partial_\nu\xi^\lambda=0\tag{2.12.20} ξ λ ∂ λ g μν + g λ ν ∂ μ ξ λ + g μ λ ∂ ν ξ λ = 0 ( 2.12.20 )
を満たすとき、ξ μ \xi^\mu ξ μ g μ ν g_{\mu\nu} g μν Killing ベクトル と呼ぶ。座標を ξ μ \xi^\mu ξ μ
式 (2.12.20) は、第2部第13章で導入する共変微分を使うと ∇ μ ξ ν + ∇ ν ξ μ = 0 \nabla_\mu\xi_\nu+\nabla_\nu\xi_\mu=0 ∇ μ ξ ν + ∇ ν ξ μ = 0 (2.12.20) だけを使う。
命題 2.12.4（Killing ベクトルの保存量 ★★★）
ξ μ \xi^\mu ξ μ
Q ξ = p μ ξ μ = g μ ν ξ μ x ˙ ν = ξ ν x ˙ ν (2.12.21) Q_\xi=p_\mu\xi^\mu=g_{\mu\nu}\xi^\mu\dot x^\nu=\xi_\nu\dot x^\nu\tag{2.12.21} Q ξ = p μ ξ μ = g μν ξ μ x ˙ ν = ξ ν x ˙ ν ( 2.12.21 )
が一定である。時間的な測地線で λ = τ \lambda=\tau λ = τ ξ μ u μ \xi_\mu u^\mu ξ μ u μ
証明 L 2 L_2 L 2 p μ = g μ ν x ˙ ν p_\mu=g_{\mu\nu}\dot x^\nu p μ = g μν x ˙ ν Λ = 0 \Lambda=0 Λ = 0 d d λ ( g μ ν ξ μ x ˙ ν ) = ξ μ d p μ d λ + p μ ∂ λ ξ μ x ˙ λ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \lambda}(g_{\mu\nu}\xi^\mu\dot x^\nu)=\xi^\mu\frac{\mathrm{d} p_\mu}{\mathrm{d} \lambda}+p_\mu\partial_\lambda\xi^\mu\dot x^\lambda d λ d ( g μν ξ μ x ˙ ν ) = ξ μ d λ d p μ + p μ ∂ λ ξ μ x ˙ λ d p μ d λ = 1 2 ∂ μ g α β x ˙ α x ˙ β \frac{\mathrm{d} p_\mu}{\mathrm{d} \lambda}=\frac12\partial_\mu g_{\alpha\beta}\dot x^\alpha\dot x^\beta d λ d p μ = 2 1 ∂ μ g α β x ˙ α x ˙ β 1 2 ( ξ μ ∂ μ g α β + 2 g μ β ∂ α ξ μ ) x ˙ α x ˙ β \frac12(\xi^\mu\partial_\mu g_{\alpha\beta}+2g_{\mu\beta}\partial_\alpha\xi^\mu)\dot x^\alpha\dot x^\beta 2 1 ( ξ μ ∂ μ g α β + 2 g μ β ∂ α ξ μ ) x ˙ α x ˙ β (2.12.20) の左辺を x ˙ α x ˙ β \dot x^\alpha\dot x^\beta x ˙ α x ˙ β 0 0 0
計量の成分がある座標 x k x^k x k ξ = ∂ k \xi=\partial_k ξ = ∂ k ξ μ = δ μ k \xi^\mu=\delta^\mu{}_k ξ μ = δ μ k Q ξ = p k Q_\xi=p_k Q ξ = p k ξ x \xi_x ξ x ξ y \xi_y ξ y
静的な計量のエネルギーと赤方偏移
計量 (2.12.5) のように g μ ν g_{\mu\nu} g μν x 0 = c t x^0=ct x 0 = c t ξ = ∂ 0 \xi=\partial_0 ξ = ∂ 0 ξ μ u μ = g 00 u 0 \xi_\mu u^\mu=g_{00}u^0 ξ μ u μ = g 00 u 0 m c u 0 = γ m c 2 mc\,u^0=\gamma mc^2 m c u 0 = γ m c 2
E = m c ξ μ u μ = m c 2 g 00 d t d τ (2.12.22) E=mc\,\xi_\mu u^\mu=mc^2g_{00}\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} \tau}\tag{2.12.22} E = m c ξ μ u μ = m c 2 g 00 d τ d t ( 2.12.22 )
を粒子のエネルギーと呼ぶ。弱い場で展開すると、式 (2.12.6) の逆数 d t d τ = 1 − Φ / c 2 + v 2 / ( 2 c 2 ) \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} \tau}=1-\Phi/c^2+v^2/(2c^2) d τ d t = 1 − Φ/ c 2 + v 2 / ( 2 c 2 )
E = m c 2 ( 1 + 2 Φ c 2 ) ( 1 − Φ c 2 + v 2 2 c 2 ) = m c 2 + 1 2 m v 2 + m Φ + O ( c − 2 ) E=mc^2\Bigl(1+\frac{2\Phi}{c^2}\Bigr)\Bigl(1-\frac{\Phi}{c^2}+\frac{v^2}{2c^2}\Bigr)=mc^2+\frac12mv^2+m\Phi+\mathcal{O}(c^{-2}) E = m c 2 ( 1 + c 2 2Φ ) ( 1 − c 2 Φ + 2 c 2 v 2 ) = m c 2 + 2 1 m v 2 + m Φ + O ( c − 2 )
で、静止エネルギーと Newton 力学のエネルギーの和になる。空間の回転で計量が変わらないなら、回転の Killing ベクトルから角運動量の保存が同じように出る。
光にも同じ保存量がある。光の4元波数を k μ k^\mu k μ d x μ / d λ \mathrm{d} x^\mu/\mathrm{d}\lambda d x μ / d λ ξ μ k μ = g 00 k 0 \xi_\mu k^\mu=g_{00}k^0 ξ μ k μ = g 00 k 0 u o b s μ = ( c / g 00 , 0 , 0 , 0 ) u^\mu_{\mathrm{obs}}=(c/\sqrt{g_{00}},0,0,0) u obs μ = ( c / g 00 , 0 , 0 , 0 ) ω = k μ u o b s μ = c ξ μ k μ / g 00 \omega=k_\mu u^\mu_{\mathrm{obs}}=c\,\xi_\mu k^\mu/\sqrt{g_{00}} ω = k μ u obs μ = c ξ μ k μ / g 00 k μ = ( ω / c , k ) k^\mu=(\omega/c,\bm{k}) k μ = ( ω / c , k ) ω g 00 \omega\sqrt{g_{00}} ω g 00 h h h ω 上 / ω 下 = g 00 ( 下 ) / g 00 ( 上 ) ≈ 1 − g h / c 2 \omega_{\text{上}}/\omega_{\text{下}}=\sqrt{g_{00}(\text{下})/g_{00}(\text{上})}\approx1-gh/c^2 ω 上 / ω 下 = g 00 ( 下 ) / g 00 ( 上 ) ≈ 1 − g h / c 2 第2部第11章 の式 (2.11.19) では、時刻の並進のエネルギー関数からこの式を出した。ここでは Killing ベクトルの保存量として同じ式が出る。
例題 2.12.6 球面の Killing ベクトルと大円 ★★
オリジナル 例題 2.12.2 の球面 d ℓ 2 = a 2 ( d θ 2 + sin 2 θ d φ 2 ) \mathrm{d}\ell^2=a^2(\mathrm{d}\theta^2+\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2) d ℓ 2 = a 2 ( d θ 2 + sin 2 θ d φ 2 ) g θ θ = a 2 g_{\theta\theta}=a^2 g θ θ = a 2 g φ φ = a 2 sin 2 θ g_{\varphi\varphi}=a^2\sin^2\theta g φφ = a 2 sin 2 θ L = m 2 g i j q ˙ i q ˙ j L=\frac m2g_{ij}\dot q^i\dot q^j L = 2 m g ij q ˙ i q ˙ j Q ξ = m g i j ξ i q ˙ j Q_\xi=m\,g_{ij}\xi^i\dot q^j Q ξ = m g ij ξ i q ˙ j
(1) ξ z = ∂ φ \xi_z=\partial_\varphi ξ z = ∂ φ ξ x = − sin φ ∂ θ − cot θ cos φ ∂ φ \xi_x=-\sin\varphi\,\partial_\theta-\cot\theta\cos\varphi\,\partial_\varphi ξ x = − sin φ ∂ θ − cot θ cos φ ∂ φ (2.12.20) を満たすことを確かめよ（ξ y = cos φ ∂ θ − cot θ sin φ ∂ φ \xi_y=\cos\varphi\,\partial_\theta-\cot\theta\sin\varphi\,\partial_\varphi ξ y = cos φ ∂ θ − cot θ sin φ ∂ φ ∂ θ \partial_\theta ∂ θ (2) Q ξ z Q_{\xi_z} Q ξ z Q ξ x Q_{\xi_x} Q ξ x r = a ( sin θ cos φ , sin θ sin φ , cos θ ) \bm{r}=a(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta) r = a ( sin θ cos φ , sin θ sin φ , cos θ ) L = m r × r ˙ \bm{L}=m\bm{r}\times\dot{\bm{r}} L = m r × r ˙ z z z x x x (3) 3つの保存量を使って、測地線が大円であることを示せ。
解答 (1) ξ z \xi_z ξ z φ \varphi φ (2.12.20) の3つの項はすべて 0 0 0 ξ x \xi_x ξ x ξ θ = − sin φ \xi^\theta=-\sin\varphi ξ θ = − sin φ ξ φ = − cot θ cos φ \xi^\varphi=-\cot\theta\cos\varphi ξ φ = − cot θ cos φ ( μ , ν ) = ( θ , θ ) (\mu,\nu)=(\theta,\theta) ( μ , ν ) = ( θ , θ ) 2 g θ θ ∂ θ ξ θ = 0 2g_{\theta\theta}\partial_\theta\xi^\theta=0 2 g θ θ ∂ θ ξ θ = 0 ( φ , φ ) (\varphi,\varphi) ( φ , φ ) ξ θ ∂ θ g φ φ + 2 g φ φ ∂ φ ξ φ = − sin φ ⋅ 2 a 2 sin θ cos θ + 2 a 2 sin 2 θ ⋅ cot θ sin φ = 0 \xi^\theta\partial_\theta g_{\varphi\varphi}+2g_{\varphi\varphi}\partial_\varphi\xi^\varphi=-\sin\varphi\cdot2a^2\sin\theta\cos\theta+2a^2\sin^2\theta\cdot\cot\theta\sin\varphi=0 ξ θ ∂ θ g φφ + 2 g φφ ∂ φ ξ φ = − sin φ ⋅ 2 a 2 sin θ cos θ + 2 a 2 sin 2 θ ⋅ cot θ sin φ = 0 ( θ , φ ) (\theta,\varphi) ( θ , φ ) g θ θ ∂ φ ξ θ + g φ φ ∂ θ ξ φ = − a 2 cos φ + a 2 sin 2 θ ⋅ cos φ / sin 2 θ = 0 g_{\theta\theta}\partial_\varphi\xi^\theta+g_{\varphi\varphi}\partial_\theta\xi^\varphi=-a^2\cos\varphi+a^2\sin^2\theta\cdot\cos\varphi/\sin^2\theta=0 g θ θ ∂ φ ξ θ + g φφ ∂ θ ξ φ = − a 2 cos φ + a 2 sin 2 θ ⋅ cos φ / sin 2 θ = 0 ∂ θ \partial_\theta ∂ θ ( φ , φ ) (\varphi,\varphi) ( φ , φ ) ∂ θ g φ φ = 2 a 2 sin θ cos θ ≠ 0 \partial_\theta g_{\varphi\varphi}=2a^2\sin\theta\cos\theta\neq0 ∂ θ g φφ = 2 a 2 sin θ cos θ = 0
(2) Q ξ z = m a 2 sin 2 θ φ ˙ Q_{\xi_z}=ma^2\sin^2\theta\,\dot\varphi Q ξ z = m a 2 sin 2 θ φ ˙ Q ξ x = − m a 2 ( sin φ θ ˙ + sin θ cos θ cos φ φ ˙ ) Q_{\xi_x}=-ma^2(\sin\varphi\,\dot\theta+\sin\theta\cos\theta\cos\varphi\,\dot\varphi) Q ξ x = − m a 2 ( sin φ θ ˙ + sin θ cos θ cos φ φ ˙ ) L z = m ( x y ˙ − y x ˙ ) = m a 2 sin 2 θ φ ˙ L_z=m(x\dot y-y\dot x)=ma^2\sin^2\theta\,\dot\varphi L z = m ( x y ˙ − y x ˙ ) = m a 2 sin 2 θ φ ˙ L x = m ( y z ˙ − z y ˙ ) L_x=m(y\dot z-z\dot y) L x = m ( y z ˙ − z y ˙ ) y = a sin θ sin φ y=a\sin\theta\sin\varphi y = a sin θ sin φ z = a cos θ z=a\cos\theta z = a cos θ − m a 2 ( sin φ θ ˙ + sin θ cos θ cos φ φ ˙ ) -ma^2(\sin\varphi\,\dot\theta+\sin\theta\cos\theta\cos\varphi\,\dot\varphi) − m a 2 ( sin φ θ ˙ + sin θ cos θ cos φ φ ˙ ) Q ξ y = L y Q_{\xi_y}=L_y Q ξ y = L y
(3) 3つの保存量から、ベクトル L \bm{L} L r ⋅ L = m r ⋅ ( r × r ˙ ) = 0 \bm{r}\cdot\bm{L}=m\,\bm{r}\cdot(\bm{r}\times\dot{\bm{r}})=0 r ⋅ L = m r ⋅ ( r × r ˙ ) = 0 L \bm{L} L
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
