出てくるもの2：弱い場で Newton の運動方程式

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第12章 §2.12.4　★★★ $g_{00}\approx1+2\Phi/c^2$ の測地線方程式の先頭の項は $\ddot{\bm{x}}=-\nabla\Phi$。$L$ の展開では $-mc^2+\frac12mv^2-m\Phi$ が出る

$L$ を展開する

最も短い道は、測地線方程式を経ずに $L$ そのものを展開することである。時刻 $t$ を径数に選ぶと、作用 (2.12.4) は $S=-mc^2\int\frac{\mathrm{d} \tau}{\mathrm{d} t}\mathrm{d} t$ で、式 (2.12.6) から

$$L=-mc^2\frac{\mathrm{d} \tau}{\mathrm{d} t}=-mc^2+\frac12mv^2-m\Phi(\bm{x})+\mathcal{O}(c^{-2})\tag{2.12.16}$$

となる。定数 $-mc^2$ は運動に関係しないので、残りは Newton 力学の $L=T-V$ で、ポテンシャルエネルギーが $V=m\Phi$ である。計量の $g_{00}$ にあった $2\Phi/c^2$ が、展開の中で $-m\Phi$ に変わった。$g_{ij}$ にある $-2\Phi/c^2$ の項は $v^2/c^2$ と掛かって $\mathcal{O}(c^{-2})$ になるので、この次数には現れない。

この式は「時計が速く進む場所を通ると作用が小さくなる」と読める。Newton 力学の最小作用の原理は、一般相対論では固有時を停留させる原理の遅い極限である。地上で物を投げ上げると放物線を描くのは、高い所（時計が速い）へ行く得と、速く動く（時計が遅れる）損の兼ね合いで固有時が最大になる世界線がそれだからである。次の例題で数値を確かめる。

測地線方程式から

同じことを測地線方程式 (2.12.11) から確かめる。計量 (2.12.5) は $t$ によらず対角なので、0 でない Christoffel 記号は

$$\Gamma^i{}_{00}=\frac{\partial_i\Phi}{c^2(1-2\Phi/c^2)},\quad \Gamma^0{}_{0i}=\frac{\partial_i\Phi}{c^2(1+2\Phi/c^2)},\quad \Gamma^i{}_{jk}=-\frac{\delta_{ij}\partial_k\Phi+\delta_{ik}\partial_j\Phi-\delta_{jk}\partial_i\Phi}{c^2(1-2\Phi/c^2)}\tag{2.12.17}$$

である（$i,j,k=1,2,3$、$\partial_i=\partial/\partial x^i$）。

径数を $\tau$ から $t$ に替える。式 (2.12.12) の考え方で、$\frac{\mathrm{d} x^0}{\mathrm{d} t}=c$ を保つように $\tau$ 微分を $t$ 微分に直すと

$$\frac{\mathrm{d}^2x^i}{\mathrm{d} t^2}=-\Gamma^i{}_{\alpha\beta}\frac{\mathrm{d} x^\alpha}{\mathrm{d} t}\frac{\mathrm{d} x^\beta}{\mathrm{d} t}+\frac1c\,\Gamma^0{}_{\alpha\beta}\frac{\mathrm{d} x^\alpha}{\mathrm{d} t}\frac{\mathrm{d} x^\beta}{\mathrm{d} t}\,\frac{\mathrm{d} x^i}{\mathrm{d} t}$$

となる（第2項は $x^0$ の方程式から $\mathrm{d}^2t/\mathrm{d}\tau^2$ を消した残り）。$\frac{\mathrm{d} x^\alpha}{\mathrm{d} t}=(c,\bm{v})$ を入れ、式 (2.12.17) を使うと

$$\frac{\mathrm{d}^2\bm{x}}{\mathrm{d} t^2}=-\frac{\nabla\Phi}{1-2\Phi/c^2}+\frac{1}{c^2}\Bigl[\Bigl(\frac{2}{1-2\Phi/c^2}+\frac{2}{1+2\Phi/c^2}\Bigr)\bm{v}\,(\bm{v}\cdot\nabla\Phi)-\frac{v^2\nabla\Phi}{1-2\Phi/c^2}\Bigr]\tag{2.12.18}$$

を得る。$c\to\infty$ で右辺は $-\nabla\Phi$ になり、Newton の運動方程式 $\ddot{\bm{x}}=-\nabla\Phi$ に戻る。先頭の項を出したのは $c^2\Gamma^i{}_{00}\approx\partial_i\Phi$ で、計量の $g_{00}$ の空間微分である。

式 (2.12.18) の $1/c^2$ の補正は、この計量の中での正しい補正であるが、太陽系の惑星の運動の補正としては完全でない。$1/c^2$ の補正を正しく出すには $g_{00}$ を $\Phi^2/c^4$ の次数まで知る必要があり、それは Schwarzschild 解から得る（第2部第16章）。

光の座標速度と実効的な屈折率

光的な測地線 (2.12.15) の条件 $\mathrm{d} s^2=0$ を計量 (2.12.5) に入れると、光の座標速度は

$$\Bigl\lvert\frac{\mathrm{d} \bm{x}}{\mathrm{d} t}\Bigr\rvert=c\sqrt{\frac{1+2\Phi/c^2}{1-2\Phi/c^2}}=\frac cn,\qquad n=1-\frac{2\Phi}{c^2}+\mathcal{O}(c^{-4})\tag{2.12.19}$$

になる。$\Phi<0$ なので $n>1$ で、重力源の近くは屈折率の大きい媒質のようにふるまう。第2部第10章の光線の解析力学（Fermat の原理）に $n(\bm{x})$ を入れると光の曲がりが出る（第2部第10章）。$n-1$ のうち半分は $g_{00}$ から、残りの半分は $g_{ij}$ から来る。遅い粒子では $g_{ij}$ の寄与が $v^2/c^2$ 倍に小さくなって見えなかったが、光では $v=c$ なので $g_{00}$ と同じ大きさで現れる。太陽のそばを通る光の曲がりの角は、この2倍のために、$g_{00}$ だけから出る値（光を Newton 力学の粒子とみなした値）の2倍になる。角の計算と観測は第2部第16章で扱う。

1　太陽の $GM$ と半径の公称値は IAU 2015 Resolution B3（Prša, A. et al. (2016), Astron. J. 152, 41）による。