出てくるもの1：測地線方程式と Christoffel 記号

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第12章 §2.12.3　★★★ Euler–Lagrange 方程式から測地線方程式と Christoffel 記号が出る。固有時を径数にすると平方根を外した $L=\frac12g\dot x\dot x$ に置き換えられる

Euler–Lagrange 方程式を計算する

$w=g_{\alpha\beta}(x)\dot x^\alpha\dot x^\beta$ とおくと $L=-mc\sqrt w$ で、

$$\frac{\partial L}{\partial \dot x^\mu}=-\frac{mc}{\sqrt w}\,g_{\mu\nu}\dot x^\nu,\qquad \frac{\partial L}{\partial x^\mu}=-\frac{mc}{2\sqrt w}\,\partial_\mu g_{\alpha\beta}\,\dot x^\alpha\dot x^\beta$$

である（$\partial_\mu=\partial/\partial x^\mu$）。Euler–Lagrange 方程式 (2.12.7) を $-mc$ で割ると

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \lambda}\Bigl(\frac{g_{\mu\nu}\dot x^\nu}{\sqrt w}\Bigr)-\frac{1}{2\sqrt w}\,\partial_\mu g_{\alpha\beta}\,\dot x^\alpha\dot x^\beta=0 .\tag{2.12.9}$$

ここで 2.12.2節の順序どおり、方程式を書いたあとで $\lambda=\tau$ と置く。式 (2.12.3) から $\sqrt w=c$ は定数になり、$\dot x^\mu=u^\mu$ として

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \tau}\bigl(g_{\mu\nu}u^\nu\bigr)-\frac12\partial_\mu g_{\alpha\beta}\,u^\alpha u^\beta=0 .$$

第1項は $g_{\mu\nu}$ が世界線に沿って変わる分を含み、$\frac{\mathrm{d} g_{\mu\nu}}{\mathrm{d} \tau}=\partial_\alpha g_{\mu\nu}u^\alpha$ なので

$$g_{\mu\nu}\frac{\mathrm{d} u^\nu}{\mathrm{d} \tau}+\partial_\alpha g_{\mu\beta}\,u^\alpha u^\beta-\frac12\partial_\mu g_{\alpha\beta}\,u^\alpha u^\beta=0 .$$

$\partial_\alpha g_{\mu\beta}u^\alpha u^\beta$ は $\alpha$ と $\beta$ を入れ替えても同じなので $\frac12(\partial_\alpha g_{\mu\beta}+\partial_\beta g_{\mu\alpha})u^\alpha u^\beta$ と書け、まとめると

$$g_{\mu\nu}\frac{\mathrm{d} u^\nu}{\mathrm{d} \tau}+\Gamma_{\mu\alpha\beta}\,u^\alpha u^\beta=0,\qquad \Gamma_{\mu\alpha\beta}=\frac12\bigl(\partial_\alpha g_{\mu\beta}+\partial_\beta g_{\mu\alpha}-\partial_\mu g_{\alpha\beta}\bigr)\tag{2.12.10}$$

となる。両辺に $g^{\rho\mu}$ を掛ける。

測地線方程式の第2項は、Newton の運動方程式で「力 $/m$」があった場所にある。ただし $\Gamma$ は質量 $m$ を含まないので、どの粒子も同じ世界線を進む。これは第2部第11章の等価原理（重力による加速度は質量によらない）を式にしたものである。$m$ は作用 (2.12.4) の全体に掛かる定数にすぎず、停留の条件から消える。

径数を固有時に選ばなかったとき

式 (2.12.9) を $\lambda=\tau$ と置かずに計算すると、$s(\lambda)=\sqrt w=c\,\frac{\mathrm{d} \tau}{\mathrm{d} \lambda}$ として

$$\ddot x^\rho+\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu=\frac{\dot s}{s}\,\dot x^\rho\tag{2.12.12}$$

になる（ドットは $\lambda$ 微分）。右辺は世界線に沿った向き $\dot x^\rho$ への加速度で、径数の進み方の不揃いを表しているだけである。同じ世界線を径数だけ取り替えた解なので、世界線の形は変わらない。右辺が $0$ になるのは $\dot s=0$、つまり $\lambda=a\tau+b$（$a,b$ は定数）のときに限る。このように測地線方程式を右辺 $0$ の形にする径数をアフィン径数と呼ぶ。

平方根を外した $L_2=\frac12g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu$

アフィン径数だけを使うなら、平方根の付いた $L$ の代わりに

$$L_2=\frac12g_{\mu\nu}(x)\,\dot x^\mu\dot x^\nu\tag{2.12.13}$$

を使ってよい。$L_2$ の Euler–Lagrange 方程式は、$\frac{\partial L_2}{\partial \dot x^\mu}=g_{\mu\nu}\dot x^\nu$ と $\frac{\partial L_2}{\partial x^\mu}=\frac12\partial_\mu g_{\alpha\beta}\dot x^\alpha\dot x^\beta$ から、上と同じ計算で

$$g_{\mu\nu}\bigl(\ddot x^\nu+\Gamma^\nu{}_{\alpha\beta}\dot x^\alpha\dot x^\beta\bigr)=0$$

となり、径数を固有時に選んだ式 (2.12.11) がそのまま出る。

右辺に $\dot s/s$ の項が出ないのは、$L_2$ が径数の取り替えで変わらないという性質を持たないからである。$L_2$ は $\lambda$ をあらわに含まないので、第1部第10章の Noether の定理（時刻の並進）から $H_2=\dot x^\mu\frac{\partial L_2}{\partial \dot x^\mu}-L_2$ が保存し、$L_2$ は $\dot x$ の2次の同次関数なので $H_2=L_2$ である（第1部第10章）。つまり $L_2$ の解では $w=2L_2$ が自動的に一定で、径数は自動的にアフィン径数になる。逆に、$L$ の解のうちアフィン径数で書いたものは $L_2$ の方程式を満たす。2つの $L$ は同じ世界線を与え、違うのは径数の選び方の自由度だけである。

$L_2$ には $L$ に無い利点が2つある。1つ目は、Hessian が $g_{\mu\nu}$ そのもので逆行列を持つことである。第1部第7章の Legendre 変換がそのまま使え、$p_\mu=g_{\mu\nu}\dot x^\nu$ から

$$H_2=\frac12g^{\mu\nu}(x)\,p_\mu p_\nu\tag{2.12.14}$$

を得る（第1部第7章）。$\lambda=\tau$ のとき $H_2=c^2/2$ で、これは第2部第3章の質量殻の拘束 $p_\mu p^\mu=m^2c^2$ を $m^2$ で割ったものにあたる。平方根の付いた $L$ では $H$ が恒等的に $0$ で拘束が別に残ったが、$L_2$ ではその拘束が保存する $H_2$ の値になっている。2つ目は、$m=0$ の粒子（光）を扱えることである。光の世界線は $\mathrm{d} s=0$ なので $L$ は使えないが、$L_2$ では $w=0$ の解として

$$\ddot x^\rho+\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu=0,\qquad g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu=0\tag{2.12.15}$$

を満たす世界線（光的な測地線）を考えることができる。光の場合は固有時が無いので、径数はアフィン径数としか言えない。

平坦な時空でも $\Gamma$ は 0 でない

$\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}$ は計量の1階微分で書けているので、平坦な時空でも曲がった座標を使えば $0$ でない。次の例題がその例である。重力の無い時空で $\Gamma\neq0$ になり、重力のある時空でも1点では $\Gamma=0$ にできる（自由落下する系を選ぶ。第2部第11章）ので、$\Gamma$ そのものは「重力があるかどうか」を判定する量ではない。判定する量は計量の2階微分を含む曲率で、第2部第14章で扱う。$\Gamma$ がある座標系で $0$ で別の座標系で $0$ でないことは、$\Gamma$ が座標変換でテンソルのように変換しないことを意味し、そのことは第2部第13章で式で確かめる。