球対称の真空解を $R_{\mu\nu}=0$ から解く

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第16章 §2.16.1　★★★ 球対称の仮定で未知関数を2つに減らし、Ricci テンソルの3成分から Schwarzschild 計量を出す。積分定数は Newton 極限で決める

第2部第15章では、重力場そのものの作用として Einstein–Hilbert 作用を選び、物質の作用と合わせて変分すると Einstein 方程式$G_{\mu\nu}-\Lambda g_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$ が出ることを示した。この章では、その方程式を初めて具体的に解く。選ぶ状況は「物質が無く（$T_{\mu\nu}=0$）、球対称で、宇宙項を無視できる」領域、つまり太陽の外側の空間である。このとき方程式は $R_{\mu\nu}=0$ という10本の偏微分方程式になるが、球対称を課すと未知関数は2つに減り、常微分方程式を2回積分するだけで Schwarzschild 計量

$$\mathrm{d} s^2=\Bigl(1-\frac{r_{\mathrm s}}{r}\Bigr)c^2\mathrm{d} t^2-\frac{\mathrm{d} r^2}{1-r_{\mathrm s}/r}-r^2(\mathrm{d}\theta^2+\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2),\qquad r_{\mathrm s}=\frac{2GM}{c^2}$$

が出る。積分定数 $r_{\mathrm s}$ は Newton 極限との比較で決まる。さらに Birkhoff の定理により、球対称でありさえすれば、星が脈動していても外側の計量はこれ以外にない。

計量が決まれば、あとは第2部第12章の手順そのものである。粒子は Lagrangian $L=\frac12g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu$ を選んで動き、計量が $t$ と $\varphi$ によらないことから、第1部第10章の Noether の定理でエネルギーと角運動量の2つの保存量が出る。これを使って $\dot t$ と $\dot\varphi$ を消すと、動径方向の運動は第2部第1章の Kepler 問題とまったく同じ形の「1次元の運動＋有効ポテンシャル」になり、違いは有効ポテンシャルに $1/r^3$ の項が1つ足されることだけである。この1項から、水星の近日点が 1 世紀に $43''$ 進むことが出る。光（質量 0）の場合には同じ項が光の進路を曲げ、太陽の縁をかすめる星の光は $1.75''$ 曲がる。光の曲がりは、第2部第10章の Fermat の原理を「屈折率 $n=1+2GM/(c^2r)$ の媒質」に当てても出る。同じ屈折率からは、光が太陽の近くを通ると到着が遅れる Shapiro 遅延と、遠くの天体の像が複数に分かれる重力レンズも出る。

観測値は原論文の値を引き、計算した数は scripts/verify_ch2-16.py で検算した。この章を通して計量の符号は $(+,-,-,-)$、上下に1回ずつ現れるギリシャ添字について和をとり、$x^0=ct$ とする。

この章で選ぶもの

第2部第15章の Einstein 方程式で、物質の無い領域では $T_{\mu\nu}=0$ である。宇宙項は太陽系の大きさでは無視できる（$\Lambda$ を 0 とおく。宇宙論の値 $\Lambda\sim10^{-52}\,\mathrm{m^{-2}}$ に太陽系の大きさ $10^{13}\,\mathrm m$ の2乗を掛けても $10^{-26}$ の程度で、$r_{\mathrm s}/r\sim10^{-8}$ と比べて問題にならない）。このとき方程式は $G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac12g_{\mu\nu}R=0$ となる。両辺に $g^{\mu\nu}$ を掛けて縮約すると、4次元では $g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}=4$ なので $R-2R=-R=0$、つまり $R=0$ であり、それを戻すと

$$R_{\mu\nu}=0\tag{2.16.1}$$

を得る。真空の Einstein 方程式は Ricci テンソルが 0 という条件と同じである。Riemann テンソルまで 0 である必要はない。Riemann テンソルの20個の独立成分のうち、Ricci テンソルが決めるのは10個だけで、残りの10個（Weyl テンソル）は真空でも 0 でなくてよい。真空中の潮汐力（第2部第14章）は、その残りの部分で表される。

球対称で静的な計量の形

空間が球対称であれば、計量は角度の部分を $r^2(\mathrm{d}\theta^2+\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2)$ の形に書ける。ここで $r$ は「その球面の面積が $4\pi r^2$ になる」ように定めた動径座標で、中心からの距離ではない（中心からの距離は $g_{rr}$ を積分して初めて決まる）。さらに計量が時間によらず、$t\to-t$ で変わらない（静的）と仮定すると、残る自由度は $g_{00}$ と $g_{rr}$ の2つの関数だけになる。どちらも符号が決まっているので、指数関数で書いておくと計算が見やすい。

$$\mathrm{d} s^2=\mathrm{e}^{2\alpha(r)}(\mathrm{d} x^0)^2-\mathrm{e}^{2\beta(r)}\mathrm{d} r^2-r^2(\mathrm{d}\theta^2+\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2).\tag{2.16.2}$$

静的という仮定はあとで外す（Birkhoff の定理）。

Christoffel 記号と Ricci テンソル

記法の正本どおり $\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}=\frac12g^{\rho\sigma}(\partial_\mu g_{\sigma\nu}+\partial_\nu g_{\sigma\mu}-\partial_\sigma g_{\mu\nu})$ を計算する。計量が対角なので、$g^{\rho\rho}=1/g_{\rho\rho}$ を使えば1成分ずつ求まる。0 でないものは（下の2つの添字の入れ替えを除いて）次の9個である。$'$ は $r$ での微分を表す。

$$\begin{gathered} \Gamma^0{}_{0r}=\alpha',\qquad \Gamma^r{}_{00}=\mathrm{e}^{2(\alpha-\beta)}\alpha',\qquad \Gamma^r{}_{rr}=\beta',\\ \Gamma^r{}_{\theta\theta}=-r\mathrm{e}^{-2\beta},\qquad \Gamma^r{}_{\varphi\varphi}=-r\mathrm{e}^{-2\beta}\sin^2\theta,\qquad \Gamma^\theta{}_{r\theta}=\Gamma^\varphi{}_{r\varphi}=\frac1r,\\ \Gamma^\theta{}_{\varphi\varphi}=-\sin\theta\cos\theta,\qquad \Gamma^\varphi{}_{\theta\varphi}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}. \end{gathered}\tag{2.16.3}$$

たとえば $\Gamma^r{}_{\theta\theta}=\frac12g^{rr}(-\partial_rg_{\theta\theta})=\frac12(-\mathrm{e}^{-2\beta})(2r)$ である。これを記法の正本の Riemann テンソルの式に入れ、$R_{\mu\nu}=R^\rho{}_{\mu\rho\nu}$ と縮約すると、0 でない成分は

$$\begin{align*}R_{00}&=\mathrm{e}^{2(\alpha-\beta)}\Bigl(\alpha''+\alpha'^2-\alpha'\beta'+\frac{2\alpha'}{r}\Bigr),\tag{2.16.4}\\R_{rr}&=-\alpha''-\alpha'^2+\alpha'\beta'+\frac{2\beta'}{r},\tag{2.16.5}\\R_{\theta\theta}&=\mathrm{e}^{-2\beta}\bigl[r(\beta'-\alpha')-1\bigr]+1,\qquad R_{\varphi\varphi}=\sin^2\theta\,R_{\theta\theta}\tag{2.16.6}\end{align*}$$

の4つになる（sympy で検算した）。第2部第11章の対応表のとおり、Christoffel 記号と Ricci テンソルは計量の符号の流儀によらないので、$(-,+,+,+)$ の教科書と成分まで同じ式になる。

2回の積分

3つの式を 0 とおく。まず $\mathrm{e}^{2(\beta-\alpha)}R_{00}+R_{rr}$ をとると、2階微分と $\alpha'^2$・$\alpha'\beta'$ の項が打ち消し合い、

$$\mathrm{e}^{2(\beta-\alpha)}R_{00}+R_{rr}=\frac2r(\alpha'+\beta')=0$$

が残る。よって $\alpha+\beta$ は定数である。無限遠で計量が平坦な $\eta_{\mu\nu}$ に近づく（$\alpha,\beta\to0$）と要請すれば、その定数は 0 で、

$$\alpha(r)=-\beta(r).\tag{2.16.7}$$

これを $R_{\theta\theta}=0$ に入れると、$\beta'-\alpha'=2\beta'$ なので $\mathrm{e}^{-2\beta}(2r\beta'-1)+1=0$ となる。整理すると

$$\mathrm{e}^{-2\beta}(1-2r\beta')=1\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} r}\bigl(r\mathrm{e}^{-2\beta}\bigr)=1$$

であり、1回積分して $r\mathrm{e}^{-2\beta}=r-r_{\mathrm s}$（$r_{\mathrm s}$ は積分定数）、すなわち

$$\mathrm{e}^{2\alpha}=\mathrm{e}^{-2\beta}=1-\frac{r_{\mathrm s}}{r}\tag{2.16.8}$$

を得る。この解が $R_{00}=R_{rr}=0$ も満たすことは、代入すれば確かめられる（$R_{00}$ と $R_{rr}$ は上の組み合わせと $R_{\theta\theta}$ の微分から従う。検算では3成分とも 0 になることを sympy で確かめた）。

積分定数を Newton 極限で決める

$r_{\mathrm s}$ を決めるのは、遠くで Newton の重力に戻るという要請である。記法の正本の弱い場の式によれば、ゆっくり動く粒子の運動がNewton のポテンシャル $\Phi$ の中の運動 $\ddot{\bm{x}}=-\nabla\Phi$ になるのは $g_{00}\approx1+2\Phi/c^2$ のときである（第2部第12章）。質量 $M$ の球の外では $\Phi=-GM/r$ なので、$g_{00}=1-r_{\mathrm s}/r$ と比べて

$$r_{\mathrm s}=\frac{2GM}{c^2}\tag{2.16.9}$$

と決まる。まとめると次の定理になる。

$r=r_{\mathrm s}$ で $g_{rr}$ が発散するが、太陽の $r_{\mathrm s}$ は約 $3\,\mathrm{km}$ で太陽の半径 $7\times10^5\,\mathrm{km}$ よりずっと内側にあり、そこは物質の中なので (2.16.10) を使うことはできない。この発散が座標の選び方によるもので、時空そのものの特異点ではないことは第2部第17章で扱う。

1　K. Schwarzschild (1916), Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften, 189–196.