選ぶもの：Einstein–Hilbert 作用と物質の作用

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第15章 §2.15.1　★★★ 計量から作れる最も簡単なスカラー $R$ を、不変な体積要素 $\sqrt{-g}\,\mathrm{d}^4x$ で積分したものを重力場の作用に選ぶ

一般相対論の授業では、Einstein 方程式 $G_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$ を「曲率がエネルギーと運動量で決まる」という主張として、ほぼ天下りに書くことが多い。左辺がなぜ Ricci テンソルそのものでなく $R_{\mu\nu}-\frac12g_{\mu\nu}R$ という組み合わせなのか、右辺の係数 $8\pi G/c^4$ はどこで決まるのか、宇宙項 $\Lambda$ の符号はどちら向きか。この3つは、方程式を作用の停留条件として出すと、それぞれ1か所の計算に対応する。

この章で選ぶものは、重力場（計量 $g_{\mu\nu}$）の作用としての Einstein–Hilbert 作用と、物質の作用の和である。

$$S[g,\psi]=S_{\mathrm g}[g]+S_{\mathrm m}[g,\psi],\qquad S_{\mathrm g}=-\frac{c^3}{16\pi G}\int(R+2\Lambda)\sqrt{-g}\,\mathrm{d}^4x .\tag{2.15.1}$$

$\psi$ は物質の場をまとめて表す。当てる道具は、場の Euler–Lagrange 方程式（第2部第5章）を計量という10本の場に当てることと、場の Noether の定理（第2部第7章）を「座標の取り替え」という任意関数をパラメータに持つ変換に当てることの2つである。出てくるものは3つある。①計量の変分から Einstein 方程式と、物質の作用の計量微分としてのエネルギー運動量テンソル、②座標の取り替えに対する不変性から、縮約した Bianchi 恒等式 $\nabla^\mu G_{\mu\nu}=0$ と物質の保存則 $\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$、③Newton 極限で係数 $8\pi G/c^4$ と作用の前の符号が決まること、宇宙項の意味である。最後に、授業で習う Newton の重力の Lagrangian 密度 $-\frac{1}{8\pi G}(\nabla\Phi)^2-\rho\Phi$ が、$S_{\mathrm g}$ の弱い場での2次の項であることを確かめる。

単位は SI、計量は (+,−,−,−)、$x^\mu=(ct,\bm{x})$、$\mathrm{d}^4x=c\,\mathrm{d} t\,\mathrm{d}^3x$ とする（記法の正本 §3・§4。この本の流儀）。曲率の定義は 第2部第14章と同じで、$R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}=\partial_\mu\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma}-\partial_\nu\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}+\Gamma^\rho{}_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\nu\sigma}-\Gamma^\rho{}_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\mu\sigma}$、$R_{\mu\nu}=R^\rho{}_{\mu\rho\nu}$、$R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$、$G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac12g_{\mu\nu}R$ である。添字の付かない $G$ は重力定数で、添字の付いた $G_{\mu\nu}$ は Einstein テンソルである。

作用に求める条件

第2部第12章では、粒子の作用に固有時 $L=-mc\sqrt{g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu}$ を選び、計量 $g_{\mu\nu}(x)$ は外から与えた。この章では計量そのものを、場の値として動かす変数に格上げする。そのためには計量の作用を選ばなければならない。電磁場の作用 $-\frac{1}{4\mu_0}\int F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$（第2部第6章）を選んだときと同じく、次の3つを課す。

第一に、作用はどの座標で計算しても同じ値でなければならない。一般相対論ではどの座標も特別でないので、作用はスカラーを不変な体積要素で積分した形をとる。座標を $x\to x'$ と取り替えると $\mathrm{d}^4x'=\lvert \det(\partial x'/\partial x)\rvert \mathrm{d}^4x$、計量の行列式は $g'=g\,[\det(\partial x/\partial x')]^2$ と変わるので、$\sqrt{-g}\,\mathrm{d}^4x$ は取り替えで変わらない（$g=\det g_{\mu\nu}<0$）。これが不変な体積要素である。第二に、作用は局所的で、計量とその微分の多項式で書けるものに限る。第三に、場の方程式は計量の2階微分までを含むものにする。Newton の重力の Poisson 方程式 $\nabla^2\Phi=4\pi G\rho$ が2階であり、初期値を与えれば解が決まる形にしたいからである。

計量の1階微分だけからはスカラーを作ることはできない。どの点でも座標をうまく選べば $\partial_\lambda g_{\mu\nu}=0$（したがって $\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}=0$）にできる（第2部第13章）ので、1階微分だけのスカラーはその座標で値が決まってしまい、計量の情報を持たない。2階微分まで使うと、最も簡単なスカラーはスカラー曲率 $R$ である。$R$ は2階微分を1次でしか含まないので、2階微分の部分は部分積分で全微分と1階微分の2次式に分けられ、場の方程式は2階にとどまる。逆に、4次元でこの3つの条件を満たし、発散が恒等的に $0$ になる対称テンソル（場の方程式の左辺になれるもの）は $aG_{\mu\nu}+bg_{\mu\nu}$ に限られることが知られている（Lovelock の定理。D. Lovelock (1972), J. Math. Phys. 13, 874）。$G_{\mu\nu}$ が $R$ から、$g_{\mu\nu}$ が定数 $\Lambda$ から出る。

作用の形と前の符号

以上から、重力場の作用を

$$S_{\mathrm g}[g]=-\frac{c^3}{16\pi G}\int(R+2\Lambda)\sqrt{-g}\,\mathrm{d}^4x\tag{2.15.2}$$

と選ぶ。$\Lambda=0$ の部分を Einstein–Hilbert 作用と呼ぶ。D. Hilbert がこの作用から場の方程式を出し（D. Hilbert (1915), Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-Phys. Kl. 1915, 395）、同じ月に A. Einstein が別の道筋で同じ方程式を発表した（A. Einstein (1915), Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. 1915, 844）。$\Lambda$ は宇宙項で、2.15.5節で意味を調べる。

前の係数の大きさは次元で決まる。$R$ は長さの $-2$ 乗、$\sqrt{-g}\,\mathrm{d}^4x$ は長さの4乗（$x^0=ct$）なので、積分は長さの2乗を持つ。作用は $\mathrm{J\,s}$ の次元を持つので、係数は $\mathrm{kg\,s^{-1}}$ の次元を持たなければならず、$c^3/G$ がちょうどその次元を持つ。$16\pi$ と前の符号 $-$ は、2.15.5節で Newton の重力が出るように決める。この符号は計量の流儀で変わる（この本の流儀）。(+,−,−,−) では $R$ の符号が (−,+,+,+) の教科書と逆になるので（記法の正本 §4、第2部第11章の対応表）、Carroll・Wald・MTW の $+\frac{c^3}{16\pi G}\int R\sqrt{-g}$ と同じ物理を表すには前に $-$ が要る。Landau–Lifshitz 第2巻はこの本と同じ流儀で、前の符号も $-$ である。

物質の作用とエネルギー運動量テンソル

物質の作用は、平坦な時空で選んだ Lagrangian 密度 $\mathcal L_{\mathrm m}$ の $\eta_{\mu\nu}$ を $g_{\mu\nu}$ に、$\partial_\mu$ を共変微分 $\nabla_\mu$ に、$\mathrm{d}^4x$ を $\sqrt{-g}\,\mathrm{d}^4x$ に置き換えて作る。

$$S_{\mathrm m}[g,\psi]=\frac1c\int\mathcal L_{\mathrm m}(\psi,\nabla\psi,g)\sqrt{-g}\,\mathrm{d}^4x .\tag{2.15.3}$$

こうして物質の作用は計量にも依存する。その依存の仕方を表す量として、

$$T_{\mu\nu}\coloneqq\frac{2c}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S_{\mathrm m}}{\delta g^{\mu\nu}} =\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\partial (\sqrt{-g}\,\mathcal L_{\mathrm m})}{\partial g^{\mu\nu}}\tag{2.15.4}$$

を定義する（右の等号は $\mathcal L_{\mathrm m}$ が計量の微分を含まない場合）。これがエネルギー運動量テンソルであることは 2.15.3節で確かめる。実スカラー場 $\mathcal L_{\mathrm m}=\frac12g^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\,\partial_\nu\phi-V(\phi)$ では、平坦な時空で $T_{00}=\frac12\dot\phi^2/c^2+\frac12(\nabla\phi)^2+V$ となり正である（記法の正本 §4 で確かめた）。前の係数 $2c$ の符号は、$T_{00}$ がエネルギー密度として正になるように選んである。