出てくるもの（1）：Einstein 方程式

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第15章 §2.15.3　★★★ 作用の計量微分を $0$ と置くと $G_{\mu\nu}-\Lambda g_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$ が出る

重力場の作用の変分

前節の3つの公式を $\sqrt{-g}\,(R+2\Lambda)$ に当てる。

$$\delta\bigl[\sqrt{-g}\,(R+2\Lambda)\bigr] =\sqrt{-g}\,\bigl(R_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}+\nabla_\sigma W^\sigma\bigr)-\frac12\sqrt{-g}\,g_{\mu\nu}(R+2\Lambda)\,\delta g^{\mu\nu}.$$

境界の項を落とすと（前節の Gibbons–Hawking の項で打ち消す）、

$$\delta S_{\mathrm g}=-\frac{c^3}{16\pi G}\int\sqrt{-g}\,\bigl(G_{\mu\nu}-\Lambda g_{\mu\nu}\bigr)\,\delta g^{\mu\nu}\,\mathrm{d}^4x\tag{2.15.10}$$

となる。$R$ の変分から $R_{\mu\nu}$ が、$\sqrt{-g}$ の変分から $-\frac12g_{\mu\nu}R$ が出て、組み合わさって Einstein テンソルになる。左辺が $R_{\mu\nu}$ だけでないのは、体積要素 $\sqrt{-g}$ も計量に依存するからである。宇宙項の $2\Lambda$ は $\sqrt{-g}$ の変分だけを通じて $-\frac12g_{\mu\nu}\cdot2\Lambda=-\Lambda g_{\mu\nu}$ を出す。

物質の作用の変分と Einstein 方程式

物質の作用の変分は、定義 (2.15.4) から $\delta S_{\mathrm m}=\frac1{2c}\int\sqrt{-g}\,T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}\,\mathrm{d}^4x$ である。全体の作用が任意の $\delta g^{\mu\nu}$ で停留する条件は、$-\frac{c^3}{16\pi G}(G_{\mu\nu}-\Lambda g_{\mu\nu})+\frac1{2c}T_{\mu\nu}=0$ で、

$$G_{\mu\nu}-\Lambda g_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}\tag{2.15.11}$$

を得る。これが Einstein 方程式である（右辺は +。宇宙項は $-\Lambda g_{\mu\nu}$。この本の流儀）。係数は $\frac{1}{2c}\big/\frac{c^3}{16\pi G}=\frac{8\pi G}{c^4}$ で、作用の前の $-\frac{c^3}{16\pi G}$ と $T_{\mu\nu}$ の定義の $+2c$ の2つの約束から決まる（記法の正本 §4 で確かめた）。以下 $\kappa\coloneqq8\pi G/c^4$ と書く。

両辺のトレースを取ると、$g^{\mu\nu}G_{\mu\nu}=-R$ なので $-R-4\Lambda=\kappa T$（$T\coloneqq g^{\mu\nu}T_{\mu\nu}$）である。これで $R$ を消すと

$$R_{\mu\nu}=\kappa\Bigl(T_{\mu\nu}-\frac12g_{\mu\nu}T\Bigr)-\Lambda g_{\mu\nu}\tag{2.15.12}$$

と書き直せる。物質のない真空で $\Lambda=0$ なら $R_{\mu\nu}=0$ である。Riemann テンソルが $0$ でなくても Ricci テンソルは $0$ になりうる。その代表が 第2部第16章の Schwarzschild 解である。物質も $\Lambda$ もない真空で $R_{\mu\nu}=0$ になるのは、真空でも潮汐力（Riemann テンソルの残りの成分）は残るが、体積の縮み方を表す Ricci テンソルは物質がない所で $0$ になる、という意味である（第2部第14章の測地線偏差）。

計量の微分としての $T_{\mu\nu}$

定義 (2.15.4) が 第2部第7章のエネルギー運動量テンソルと同じものであることを、電磁場で確かめる。$\mathcal L_{\mathrm m}=-\frac{1}{4\mu_0}g^{\alpha\gamma}g^{\beta\delta}F_{\alpha\beta}F_{\gamma\delta}$ で、$F_{\alpha\beta}=\partial_\alpha A_\beta-\partial_\beta A_\alpha$ は計量を含まない（$\nabla_\alpha A_\beta-\nabla_\beta A_\alpha$ でも $\Gamma$ が対称なので同じ）。逆計量は2か所にあるので、$\frac{\partial \mathcal L_{\mathrm m}}{\partial g^{\mu\nu}}=-\frac{1}{2\mu_0}F_{\mu\beta}F_\nu{}^\beta$。式 (2.15.6) と合わせて

$$T_{\mu\nu}=2\frac{\partial \mathcal L_{\mathrm m}}{\partial g^{\mu\nu}}-g_{\mu\nu}\mathcal L_{\mathrm m} =\frac1{\mu_0}\Bigl(-F_{\mu\beta}F_\nu{}^\beta+\frac14g_{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}\Bigr)\tag{2.15.13}$$

となる。$F_{\mu\beta}F_\nu{}^\beta=-F_{\mu}{}^{\beta}F_{\beta\nu}$ なので、これは第2部第7章で正準テンソルに $B^{\mu\nu}$ の発散を足して直した対称・ゲージ不変な $T^{\mu\nu}$ と添字の上下を除いて一致する。第2部第7章では、Noether の定理から出た正準テンソルが対称でもゲージ不変でもなく、手で直す必要があった。計量の微分として定義すると、$g^{\mu\nu}$ が対称なので $T_{\mu\nu}$ は初めから対称で、$F_{\alpha\beta}$ だけで書けるので初めからゲージ不変である。トレースは $g^{\mu\nu}T_{\mu\nu}=\frac1{\mu_0}(-F^2+F^2)=0$ になる。