この章で作る量：ループに沿った平行移動のずれ

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第14章 §2.14.1　★★★ 共変微分の交換子として Riemann テンソルを定義し、小さなループに沿って一周させたベクトルの回転がこのテンソルで書けることを示す

第2部第12章では、平坦な時空でも極座標で書けば Christoffel 記号 $\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}$ が $0$ でないことを見た（第2部第12章）。$\Gamma$ は座標の選び方で値が変わり、1点でなら必ず $0$ にすることができる。第2部第11章では、自由落下するエレベーターの中で重力が消えることを等価原理と呼んだが、エレベーターの床と天井での落ち方のわずかな違い、つまり潮汐力だけは座標の取り替えで消せなかった（第2部第11章）。潮汐力は、近くを並んで自由落下する2つの粒子の相対加速度である。Newton の重力ではポテンシャル $\Phi$ の2階微分 $\partial_i\partial_j\Phi$ で表される。この章では、計量の2階微分から作られて座標によらない意味をもつ量（Riemann テンソル）を1つ作り、それが潮汐力の相対論の形であることを示す。

作る量を先に書いておく。第2部第13章で導入した共変微分 $\nabla_\mu$ について（第2部第13章）、2回の微分の順番を入れ替えた差

$$[\nabla_\mu,\nabla_\nu]V^\rho=R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}V^\sigma$$

で Riemann テンソル $R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}$ を定める。図形としての意味は「小さなループに沿ってベクトルを平行移動して一周させたときの向きのずれ」である（2.14.1節）。このテンソルは添字の入れ替えについていくつかの対称性をもち、4次元では独立な成分が 20 個になる。微分についての Bianchi 恒等式も満たす（2.14.2節）。近くを並んで進む2本の測地線の間隔 $\xi^\rho$ は測地線偏差の方程式 $\frac{D^2\xi^\rho}{\mathrm{d}\tau^2}=R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}u^\sigma u^\mu\xi^\nu$ に従い、弱い場ではこれが Newton の潮汐力 $-\partial_i\partial_j\Phi\,\xi^j$ に一致する（2.14.3節）。Riemann テンソルを縮約した Ricci テンソルは、自由落下する粒子の小さな雲の体積が縮む速さを表し、物質の無い所では $0$ になる（2.14.4節）。2次元・3次元の球面や双曲面の曲率を sympy で計算し（2.14.5節）、学部で習う曲面の Gauss 曲率と Newton の潮汐力の式に対応させる（2.14.6節）。

この章も計量の符号は $(+,-,-,-)$（Landau–Lifshitz と同じ）で、曲率の定義は MTW・Carroll と同じ式である。そのため Riemann テンソルと Ricci テンソルの成分はそれらの教科書と一致し、スカラー曲率 $R$ の符号だけが違う（第2部第11章の対応表）。上下に1回ずつ現れるギリシャ添字だけ和をとる。曲面の例（正定値の計量）でも同じ定義式を使う。

平行移動と共変微分（第2部第13章から）

平行移動と共変微分は、第2部第13章の定義 2.13.6 と式 (2.13.14) で定めた。この章の計算に使う形で再掲する。曲線 $x^\mu(\lambda)$ に沿って平行移動されたベクトル $V^\rho(\lambda)$ は、第13章の $DV^\rho/\mathrm{d}\lambda=0$ を成分で書いた

$$\frac{\mathrm{d} V^\rho}{\mathrm{d} \lambda}+\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}\frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda}V^\sigma=0\tag{2.14.1}$$

を満たす。ベクトル場 $V^\rho(x)$ の共変微分は

$$\nabla_\mu V^\rho=\partial_\mu V^\rho+\Gamma^\rho{}_{\mu\lambda}V^\lambda\tag{2.14.2}$$

で、これは添字を1つ増やしたテンソルになる。$\Gamma$ は下の2つの添字について対称で（捩れが無い）、$\nabla_\mu g_{\nu\lambda}=0$ を満たす（計量と両立する）。1点 $P$ を選ぶと、$P$ で $\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}(P)=0$ かつ $\partial_\lambda g_{\mu\nu}(P)=0$ となる座標（局所慣性系の座標）を必ずとることができる（第13章の式 (2.13.20)）。

式 (2.14.1) は行列で書くと見通しがよい。$\mu$ ごとに $(\Gamma_\mu)^\rho{}_\sigma\coloneqq\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}$ という行列を作ると、平行移動は $\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} \lambda}=-\dot x^\mu\,\Gamma_\mu V$ と書くことができる。電磁場の中の荷電粒子の波動関数の位相が $\mathrm{e}^{\mathrm{i} qA_\mu\mathrm{d} x^\mu/\hbar}$ で変わるのと同じ形で、$\Gamma_\mu$ はベクトルの成分を隣の点へ運ぶときの変換を表す。ただし $\Gamma_\mu$ は数でなく行列で、異なる $\mu$ の行列は交換しない。

共変微分の交換子

関数 $f$ では $\partial_\mu\partial_\nu f=\partial_\nu\partial_\mu f$ だが、ベクトルの共変微分は2回続けると順番によって値が変わる。$\nabla_\nu V^\rho$ は添字 $\nu$（下）と $\rho$（上）をもつテンソルなので、もう1回の共変微分は

$$\nabla_\mu\nabla_\nu V^\rho=\partial_\mu(\nabla_\nu V^\rho)-\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu}\nabla_\lambda V^\rho+\Gamma^\rho{}_{\mu\lambda}\nabla_\nu V^\lambda$$

である。$\mu$ と $\nu$ を入れ替えて引くと、第2項は $\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu}$ の対称性で消える。$\partial_\mu\partial_\nu V^\rho$ も打ち消し合う。残りに $\nabla_\nu V^\rho=\partial_\nu V^\rho+\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma}V^\sigma$ を入れると、$V$ の1階微分を含む項は

$$\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma}\partial_\mu V^\sigma-\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}\partial_\nu V^\sigma+\Gamma^\rho{}_{\mu\lambda}\partial_\nu V^\lambda-\Gamma^\rho{}_{\nu\lambda}\partial_\mu V^\lambda=0$$

と打ち消し合い、$V$ そのものに比例する項だけが残る。

左辺 $[\nabla_\mu,\nabla_\nu]V^\rho$ はテンソルの共変微分の差なのでテンソルであり、$V$ は任意なので $R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}$ もテンソルになる。$\Gamma$ そのものはテンソルでないが、この組み合わせでは座標変換の余分な項が打ち消し合う。したがって、ある座標で1点の $R$ がすべて $0$ なら、どの座標でもその点の $R$ は $0$ である。$\Gamma$ と違い、$R$ は座標の取り替えで消すことができない。

行列の式 $\partial_\mu\Gamma_\nu-\partial_\nu\Gamma_\mu+[\Gamma_\mu,\Gamma_\nu]$ は、電磁場テンソル $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$（第2部第8章）に行列の交換子を足した形をしている。$A_\mu$ が数なら交換子は $0$ で、$F_{\mu\nu}$ に戻る。$A_\mu$ が行列になるゲージ場（非可換ゲージ場）の場の強さも同じ形をしている。

小さなループに沿って一周させる

式 (2.14.4) の図形としての意味を、平行移動で確かめる。点 $P$ から座標 $x^\mu$ の方向に $\delta a$、続いて $x^\nu$ の方向に $\delta b$ 進んで点 $Q$ へ行く経路を経路1、先に $x^\nu$ の方向、次に $x^\mu$ の方向へ進んで同じ $Q$ へ行く経路を経路2とする（$\mu\neq\nu$ は固定し、和はとらない）。

証明

$x^\mu$ の方向に長さ $\epsilon$ だけ平行移動する。式 (2.14.1) を $\epsilon$ について2次まで解くと、始点の値を使って

$$V(\epsilon)=\Bigl[1-\epsilon\,\Gamma_\mu-\frac{\epsilon^2}{2}\bigl(\partial_\mu\Gamma_\mu-\Gamma_\mu\Gamma_\mu\bigr)\Bigr]V+\mathcal{O}(\epsilon^3)$$

となる（$\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} \epsilon}=-\Gamma_\mu V$ をもう1回微分すると $\frac{\mathrm{d}^2V}{\mathrm{d}\epsilon^2}=-(\partial_\mu\Gamma_\mu)V+\Gamma_\mu\Gamma_\mu V$）。経路1では、2本目の辺の始点が $P$ から $\delta a$ ずれているので、そこでの行列は $\Gamma_\nu+\delta a\,\partial_\mu\Gamma_\nu$ である。2本の辺を続けた結果のうち $\delta a\,\delta b$ に比例する項は

$$\bigl(-\partial_\mu\Gamma_\nu+\Gamma_\nu\Gamma_\mu\bigr)V\,\delta a\,\delta b$$

で、$\delta a^2$・$\delta b^2$ の項と1次の項は経路2と同じになる。経路2の $\delta a\,\delta b$ の項は $\mu$ と $\nu$ を入れ替えた $(-\partial_\nu\Gamma_\mu+\Gamma_\mu\Gamma_\nu)V\,\delta a\,\delta b$ なので、差は

$$-\bigl(\partial_\mu\Gamma_\nu-\partial_\nu\Gamma_\mu+\Gamma_\mu\Gamma_\nu-\Gamma_\nu\Gamma_\mu\bigr)V\,\delta a\,\delta b=-R_{\mu\nu}V\,\delta a\,\delta b$$

である。成分では $(\Gamma_\mu\Gamma_\nu)^\rho{}_\sigma=\Gamma^\rho{}_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\nu\sigma}$ なので、これは式 (2.14.5) の右辺になる。四角形の一周は、経路1のあと経路2を逆にたどることに当たる。経路2を逆にたどる平行移動は、差の $\mathcal{O}(\delta a\,\delta b)$ の量を最低次では変えずに $P$ へ戻す。

平坦な時空を慣性系の座標で書けば $\Gamma=0$ なので、一周させたベクトルは元に戻る。極座標で書いた平面では $\Gamma\neq0$ だが、平面の上のベクトルは極座標で計算しても一周して元に戻るので、$R=0$ である（2.14.2節の例題で計算する）。逆に、どこかで $R\neq0$ なら、その近くにはどのような座標をとっても $\Gamma$ を $0$ にできない領域がある。$R=0$ が時空が平坦であるための条件になる。