共変微分と Christoffel 記号

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第13章 §2.13.4　★★★ ベクトルの成分の偏微分はテンソルにならない。Christoffel 記号を足した共変微分がテンソルになり、Christoffel 記号そのものはテンソルでないので、1点で0にできる

偏微分はテンソルにならない

スカラー $f$ の偏微分 $\partial_\mu f$ は余接ベクトルだった。ベクトル場 $V^\nu$ の成分を偏微分した $\partial_\mu V^\nu$ はどうか。式 (2.13.3) を新しい座標で微分すると、積の微分で

$$\partial'_\mu V'^\nu=\frac{\partial x^\alpha}{\partial x'^\mu}\frac{\partial x'^\nu}{\partial x^\beta}\,\partial_\alpha V^\beta +\frac{\partial x^\alpha}{\partial x'^\mu}\frac{\partial^2x'^\nu}{\partial x^\alpha\partial x^\beta}\,V^\beta\tag{2.13.13}$$

となる。1項目は $(1,1)$ 型のテンソルの変換則だが、2項目が余分である。2項目は Jacobi 行列そのものの場所による変化から出る。理由は 2.13.2節で述べたとおりで、$\partial_\mu V^\nu$ は隣り合う2点の接ベクトルの成分の差であり、別の接空間の成分をそのまま引き算している。直交座標から直交座標への取り替えでは Jacobi 行列が定数なので2項目は消えるが、極座標では消えない。

共変微分

余接ベクトルの符号は、スカラー $\omega_\nu V^\nu$ の微分に積の微分の規則 $\nabla_\mu(\omega_\nu V^\nu)=(\nabla_\mu\omega_\nu)V^\nu+\omega_\nu\nabla_\mu V^\nu$ を要求すると決まる。左辺は $\partial_\mu(\omega_\nu V^\nu)$ なので、右辺の $\Gamma$ の項が打ち消し合う必要があり、余接ベクトルでは $-\Gamma$ になる。

$\nabla_\mu V^\nu$ が $(1,1)$ 型のテンソルになるように $\Gamma$ の変換則を決める。式 (2.13.13) の余分な項を $\Gamma'$ の項が打ち消せばよいので、

$$\Gamma'^\rho{}_{\mu\nu} =\frac{\partial x'^\rho}{\partial x^\alpha}\frac{\partial x^\beta}{\partial x'^\mu}\frac{\partial x^\gamma}{\partial x'^\nu}\,\Gamma^\alpha{}_{\beta\gamma} -\frac{\partial x^\alpha}{\partial x'^\mu}\frac{\partial x^\beta}{\partial x'^\nu}\,\frac{\partial^2x'^\rho}{\partial x^\alpha\partial x^\beta}\tag{2.13.15}$$

である。式 (2.13.1) の2つ目の式を微分すると2項目は $+\frac{\partial x'^\rho}{\partial x^\alpha}\dfrac{\partial^2x^\alpha}{\partial x'^\mu\partial x'^\nu}$ とも書くことができる。1項目は $(1,2)$ 型のテンソルの変換則だが、2項目があるため $\Gamma$ はテンソルでない。直交座標で $\Gamma=0$ でも、取り替えが1次でなければ新しい座標で $\Gamma'\neq0$ になる。一方、2つの接続の差 $\Gamma-\tilde\Gamma$ では2項目が打ち消し合うのでテンソルになる。2項目は下の2添字 $\mu,\nu$ について対称なので、反対称な部分 $\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}-\Gamma^\rho{}_{\nu\mu}$（ねじれ）もテンソルである。

平面の直交座標で $\Gamma=0$ と置き、式 (2.13.15) の2つ目の書き方で極座標へ写すと、$\Gamma'^\rho{}_{\mu\nu}=\frac{\partial x'^\rho}{\partial X^a}\dfrac{\partial^2X^a}{\partial x'^\mu\partial x'^\nu}$ だけが残る。$\partial_\theta^2(X,Y)=(-r\cos\theta,-r\sin\theta)$、$\partial_r\partial_\theta(X,Y)=(-\sin\theta,\cos\theta)$ と式 (2.13.2) の右の行列から

$$\Gamma^r{}_{\theta\theta}=\cos\theta(-r\cos\theta)+\sin\theta(-r\sin\theta)=-r,\qquad \Gamma^\theta{}_{r\theta}=\Gamma^\theta{}_{\theta r}=\frac{-\sin\theta(-\sin\theta)+\cos\theta\cos\theta}{r}=\frac1r\tag{2.13.16}$$

で、ほかの成分は0である。これは第2部第12章で $L_2$ の Euler–Lagrange 方程式から読み取った極座標の Christoffel 記号と一致する。平面に $\Gamma\neq0$ が現れたのは、平面が曲がっているからでなく、座標が曲がっているからである。

計量と両立し、ねじれの無い接続はただ1つ

接続 $\Gamma$ は、変換則 (2.13.15) を満たしさえすれば何でもよい。計量があるときは、次の2つの条件で1つに決まる。

証明

下付き3つの $\Gamma_{\sigma\mu\nu}\coloneqq g_{\sigma\rho}\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}$ を使う。式 (2.13.14) の下付き添字の規則から$\nabla_\lambda g_{\mu\nu}=\partial_\lambda g_{\mu\nu}-\Gamma_{\nu\lambda\mu}-\Gamma_{\mu\lambda\nu}$ なので、計量と両立する条件は

$$\partial_\lambda g_{\mu\nu}=\Gamma_{\nu\lambda\mu}+\Gamma_{\mu\lambda\nu}$$

である。添字を回して $\partial_\mu g_{\nu\lambda}=\Gamma_{\lambda\mu\nu}+\Gamma_{\nu\mu\lambda}$、$\partial_\nu g_{\mu\lambda}=\Gamma_{\lambda\nu\mu}+\Gamma_{\mu\nu\lambda}$ も成り立つ。この2つを足して最初の式を引き、ねじれが無いこと（後ろ2添字の対称性）を使うと、$\Gamma_{\nu\mu\lambda}-\Gamma_{\nu\lambda\mu}$ と $\Gamma_{\mu\nu\lambda}-\Gamma_{\mu\lambda\nu}$ が消えて

$$\partial_\mu g_{\nu\lambda}+\partial_\nu g_{\mu\lambda}-\partial_\lambda g_{\mu\nu}=2\Gamma_{\lambda\mu\nu}$$

が残る。$g^{\rho\lambda}$ を掛けて式 (2.13.17) を得る。逆に式 (2.13.17) の $\Gamma$ は2つの条件を満たす。式 (2.13.17) の $\Gamma$ が変換則 (2.13.15) を満たすことは、$g_{\mu\nu}$ の変換則 (2.13.9) を微分して確かめることができる。

第2部第12章では、作用 $\int\mathrm{d}\tau$ の Euler–Lagrange 方程式の中に式 (2.13.17) の組み合わせが現れた。ここでは同じ式が、「微分しても長さと角度を変えない」という幾何の条件から出た。2つの条件から同じ $\Gamma$ が決まることが、2.13.5節で「長さを停留させる曲線」と「最もまっすぐな曲線」が一致する理由になる。以後、この巻では接続はすべて Levi-Civita 接続とする。この接続の役に立つ性質を2つ挙げておく。行列式の微分 $\partial_\lambda\ln\lvert g\rvert =g^{\mu\sigma}\partial_\lambda g_{\mu\sigma}$ と式 (2.13.17) から

$$\Gamma^\mu{}_{\mu\lambda}=\partial_\lambda\ln\sqrt{\lvert g\rvert },\qquad \nabla_\mu V^\mu=\frac{1}{\sqrt{\lvert g\rvert }}\partial_\mu\bigl(\sqrt{\lvert g\rvert }\,V^\mu\bigr)\tag{2.13.18}$$

が成り立つ。発散は $\Gamma$ を個別に計算しなくても $\sqrt{\lvert g\rvert }$ だけで書くことができる。

もう1つは Killing ベクトルの条件である。第2部第12章で座標で書いた Killing 方程式 $\xi^\lambda\partial_\lambda g_{\mu\nu}+g_{\lambda\nu}\partial_\mu\xi^\lambda+g_{\mu\lambda}\partial_\nu\xi^\lambda=0$ は、$\xi_\nu=g_{\nu\lambda}\xi^\lambda$ として $\nabla_\mu\xi_\nu+\nabla_\nu\xi_\mu$ を式 (2.13.14) で展開し、$\partial_\mu\xi_\nu=\xi^\lambda\partial_\mu g_{\nu\lambda}+g_{\nu\lambda}\partial_\mu\xi^\lambda$ と式 (2.13.17) を代入すると左辺そのものになる。したがって

$$\nabla_\mu\xi_\nu+\nabla_\nu\xi_\mu=0\tag{2.13.19}$$

と書ける。左辺はテンソルなので、Killing ベクトルであるかどうかは座標によらない。

同じ計算を余接ベクトルにも当てられる。例題 2.13.2 の $\omega=\mathrm{d}(XY)$ では、式 (2.13.14) から $\nabla_r\omega_r=\sin2\theta$, $\nabla_r\omega_\theta=r\cos2\theta$, $\nabla_\theta\omega_\theta=\partial_\theta^2f-\Gamma^r{}_{\theta\theta}\partial_rf=-r^2\sin2\theta$ となり、直交座標の2階微分の行列 $\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}\bigr)$ を $(0,2)$ 型として写したものと一致する。

1点で Christoffel 記号を0にする座標

$\Gamma$ はテンソルでないので、1点 $p$ で $\Gamma=0$ となる座標を作ることができる。$p$ の座標を $x_p$ とし、$y^\mu=x^\mu-x_p^\mu$ として新しい座標を

$$x'^\rho=y^\rho+\frac12\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}(p)\,y^\mu y^\nu\tag{2.13.20}$$

と選ぶ。点 $p$ では $\partial x'/\partial x$ が単位行列で、$\partial^2x'^\rho/\partial x^\mu\partial x^\nu=\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}(p)$ なので、変換則 (2.13.15) の2項が打ち消し合って $\Gamma'^\rho{}_{\mu\nu}(p)=0$ になる。計量と両立する条件 $\partial_\lambda g_{\mu\nu}=\Gamma_{\nu\lambda\mu}+\Gamma_{\mu\lambda\nu}$ から、これは $\partial'_\lambda g'_{\mu\nu}(p)=0$ と同じことである。さらに1次の取り替えで $g'(p)=\eta$ にしておけば、点 $p$ で計量が $\eta$ になり、その1階微分も0になる座標ができる。時空ではこれが局所慣性系で、第2部第11章の等価原理が言う「自由落下する小さなエレベーターの中では重力が消える」ことの数学の形である（第2部第11章）。

2階微分まで消せるか数えてみる。$\partial_\alpha\partial_\beta g_{\mu\nu}(p)$ は、$(\mu\nu)$ と $(\alpha\beta)$ がそれぞれ対称なので $\bigl[n(n+1)/2\bigr]^2$ 個ある。式 (2.13.20) に3次の項 $\frac16C^\rho{}_{\mu\nu\lambda}y^\mu y^\nu y^\lambda$ を足して動かせる係数は、下3つが対称なので $n\cdot n(n+1)(n+2)/6$ 個である。差は

$$\frac{n^2(n+1)^2}{4}-\frac{n^2(n+1)(n+2)}{6}=\frac{n^2(n^2-1)}{12}$$

で、2次元で1個、4次元で20個が座標をどう選んでも消せずに残る。この残る2階微分の組み合わせが曲率で、第2部第14章の Riemann テンソルの独立な成分の数と一致する（第2部第14章）。