接ベクトルと余接ベクトル

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第13章 §2.13.2　★★★ 速度のように「向き」を持つ量（反変・上付き添字）と、勾配のように「傾き」を持つ量（共変・下付き添字）は、座標の取り替えで逆の行列で変わり、縮約すると座標によらない数になる

接ベクトル：曲線の速度

多様体には外の空間が無いので、「点 $p$ での矢印」を定義するには点 $p$ を通る曲線を使う。曲線を座標で $x^\mu(\lambda)$ と書くと、その速度の成分は $V^\mu=\frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda}$ である。同じ曲線を別の座標で書くと、連鎖律 (2.13.1) から

$$V'^\mu=\frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\nu}\,V^\nu\tag{2.13.3}$$

となる。点 $p$ ごとに、この変換則に従う $n$ 個の数の組を接ベクトル（反変ベクトル）と呼び、点 $p$ の接ベクトル全体を接空間 $T_pM$ と書く。$T_pM$ は $n$ 次元のベクトル空間である。点ごとに別の空間なので、異なる点の接ベクトルどうしは、このままでは足すことも比べることもできない。この「比べられない」ことが、2.13.4節で共変微分が必要になる理由である。

接ベクトルは、関数をその向きに微分する操作としても書くことができる。関数 $f$ を曲線に沿って微分すると $\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} \lambda}=V^\mu\partial_\mu f$ なので、$V$ を微分の操作 $V=V^\mu\partial_\mu$ と同一視する。この書き方では座標の基底が $\partial_\mu=\frac{\partial }{\partial x^\mu}$ で、成分 $V^\mu$ と基底 $\partial_\mu$ が逆に変わるので組み合わせ $V^\mu\partial_\mu$ は座標によらない：

$$\partial'_\mu=\frac{\partial x^\nu}{\partial x'^\mu}\,\partial_\nu,\qquad V'^\mu\partial'_\mu=\frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\alpha}V^\alpha\frac{\partial x^\nu}{\partial x'^\mu}\partial_\nu=V^\nu\partial_\nu .\tag{2.13.4}$$

余接ベクトル：関数の傾き

関数 $f$ の偏微分を並べた $\omega_\mu=\partial_\mu f$ は、連鎖律で

$$\omega'_\mu=\frac{\partial x^\nu}{\partial x'^\mu}\,\omega_\nu\tag{2.13.5}$$

と変わる。式 (2.13.3) と比べると、使う Jacobi 行列が逆行列（の転置）になっている。この変換則に従う組を余接ベクトル（共変ベクトル、1形式）と呼び、点 $p$ の余接ベクトル全体を $T^*_pM$ と書く。$f$ から作った余接ベクトルを $\mathrm{d} f$ と書き、座標の微分 $\mathrm{d} x^\mu$ を基底にとって $\mathrm{d} f=\partial_\mu f\,\mathrm{d} x^\mu$ と書く。

余接ベクトルは接ベクトルを入れると数を返す線形の写像で、$\omega(V)=\omega_\mu V^\mu$ と定める。基底どうしは $\mathrm{d} x^\mu(\partial_\nu)=\delta^\mu{}_\nu$ を満たす。このため $T^*_pM$ は $T_pM$ の双対空間である。縮約 $\omega_\mu V^\mu$ は式 (2.13.3) と式 (2.13.5) の行列が打ち消し合うので座標によらない：

$$\omega'_\mu V'^\mu=\frac{\partial x^\alpha}{\partial x'^\mu}\frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\beta}\,\omega_\alpha V^\beta=\delta^\alpha{}_\beta\,\omega_\alpha V^\beta=\omega_\alpha V^\alpha .\tag{2.13.6}$$

$\mathrm{d} f(V)=V^\mu\partial_\mu f$ は「$f$ を $V$ の向きに微分した値」で、どの座標で計算しても同じ数になる。上付き添字と下付き添字を1つずつ縮約すると座標によらない量ができる、という規則がこの章の計算の基本になる。