テンソルと計量

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第13章 §2.13.3　★★★ 接ベクトルと余接ベクトルを何個か組み合わせた変換則を持つ量がテンソルで、計量は下付き2つの対称テンソル。長さ・角度・体積・添字の上げ下げはすべて計量から作る

テンソルの変換則

スカラー（関数）は $(0,0)$ 型、接ベクトルは $(1,0)$ 型、余接ベクトルは $(0,1)$ 型である。テンソルの積はテンソルで、上と下の添字を1組縮約すると、式 (2.13.6) と同じ打ち消しが起きて型が $(k-1,l-1)$ のテンソルになる。Kronecker のデルタ $\delta^\mu{}_\nu$ は $(1,1)$ 型のテンソルで、どの座標でも同じ成分を持つ（$\frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\alpha}\frac{\partial x^\beta}{\partial x'^\nu}\delta^\alpha{}_\beta=\delta^\mu{}_\nu$）。その縮約は次元 $\delta^\mu{}_\mu=n$ である。

テンソルが物理で大事なのは、「ある座標で成分がすべて0なら、どの座標でもすべて0」になるからである。式 (2.13.7) の右辺は $T$ の成分の線形結合なので、$T=0$ なら $T'=0$ である。したがって、テンソルどうしの等式 $A=B$ は1つの座標で示せばすべての座標で成り立つ。物理法則をテンソルの等式で書けば、座標の選び方によらない法則になる。逆に言えば、テンソルでない量（2.13.4節の $\Gamma$）は、ある座標で0でも別の座標で0とは限らない。

計量

$\mathrm{d} s^2$ が座標によらないためには、$g_{\mu\nu}$ が式 (2.13.7) の $(0,2)$ 型で変わればよい。行列で書くと、$J=\partial x/\partial x'$ を古い座標を新しい座標で微分した Jacobi 行列として

$$g'_{\mu\nu}=\frac{\partial x^\alpha}{\partial x'^\mu}\frac{\partial x^\beta}{\partial x'^\nu}\,g_{\alpha\beta},\qquad g'=J^{\mathsf T}g\,J\tag{2.13.9}$$

である。第2部第12章で予告した計量の成分の変わり方はこの式である。平面の直交座標の計量 $g=\mathrm{diag}(1,1)$ に式 (2.13.2) の左の行列を当てると $g'=\mathrm{diag}(1,r^2)$、つまり $\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2$ を得る。球面の計量は、3次元空間の点 $(a\sin\theta\cos\varphi,a\sin\theta\sin\varphi,a\cos\theta)$ の $\mathrm{d} X^2+\mathrm{d} Y^2+\mathrm{d} Z^2$ を計算すれば

$$\mathrm{d} s^2=a^2\bigl(\mathrm{d}\theta^2+\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2\bigr)\tag{2.13.10}$$

である。この計算は外の空間を使ったが、出てきた $g_{\mu\nu}$ はそれ以後 $(\theta,\varphi)$ だけで使うことができる。

計量は次のものをすべて決める。接ベクトルの内積 $g_{\mu\nu}V^\mu W^\nu$ と長さ $\sqrt{g_{\mu\nu}V^\mu V^\nu}$、曲線の長さ $\int\sqrt{g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu}\,\mathrm{d}\lambda$、そして接ベクトルと余接ベクトルの対応である。逆行列を $g^{\mu\nu}$（$g^{\mu\lambda}g_{\lambda\nu}=\delta^\mu{}_\nu$）と書くと、$g^{\mu\nu}$ は $(2,0)$ 型のテンソルで、

$$V_\mu=g_{\mu\nu}V^\nu,\qquad \omega^\mu=g^{\mu\nu}\omega_\nu\tag{2.13.11}$$

で添字を下げ・上げる。計量が与えられると、$T_pM$ と $T^*_pM$ が1対1に対応し、同じ量の上付きの成分と下付きの成分として扱えるようになる。特殊相対論の $A^\mu=(\phi/c,\bm{A})$ と $A_\mu=(\phi/c,-\bm{A})$、$u_\mu u^\mu=c^2$ は、$g=\eta=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$ の場合のこの操作である（第2部第3章）。

体積要素と、各点で計量を標準形にすること

$\mathrm{d}^nx$ は座標の取り替えで Jacobi 行列式倍になる。一方、式 (2.13.9) の行列式をとると $\det g'=(\det J)^2\det g$ なので、$\lvert g\rvert =\lvert \det g_{\mu\nu}\rvert$ として

$$\sqrt{\lvert g'\rvert }\,\mathrm{d}^nx'=\lvert \det J\rvert \sqrt{\lvert g\rvert }\;\lvert \det J\rvert ^{-1}\mathrm{d}^nx=\sqrt{\lvert g\rvert }\,\mathrm{d}^nx\tag{2.13.12}$$

は座標によらない。これが積分に使う体積要素で、極座標では $\sqrt{g}=r$ から $r\,\mathrm{d} r\,\mathrm{d}\theta$、時空では $\sqrt{-g}\,\mathrm{d}^4x$ になる。

1点 $p$ だけに注目すると、計量 $g_{\mu\nu}(p)$ は数の対称行列である。線形代数の Sylvester の慣性法則により、座標の1次の取り替え $x'^\mu=A^\mu{}_\nu x^\nu$ を選べば、$g'(p)=A^{-\mathsf T}g(p)A^{-1}$ を $\mathrm{diag}(\pm1,\dots,\pm1)$ にでき、$+1$ と $-1$ の個数は取り替えによらない。したがって Lorentz 計量なら、どの点でも $g'_{\mu\nu}(p)=\eta_{\mu\nu}$ となる座標がある。これは点 $p$ だけの話で、まわりの点まで $\eta$ にできるかどうかは計量の微分が決める。1階微分までは消せることを 2.13.4節で示す。