この章で選ぶ作用：世界線の固有時

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第3章 §2.3.1　★★★ 作用 $S=-mc^2\int\mathrm{d}\tau$ を書き、それがどの慣性系でも同じ値になる理由と、負号を付ける理由を確かめる

第1部第5章では、自由粒子の Lagrangian $L=\frac12mv^2$ を、空間と時間の一様性・空間の等方性・Galilei 変換で運動方程式が変わらないこと、という3つの要請から決めた。この章では最後の要請を Lorentz 変換に取り替える。同じ手順を踏むと、答えは

$$L=-mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}},\qquad S[\bm{r}]=\int L\,\mathrm{d} t=-mc^2\int\mathrm{d}\tau$$

に変わる。作用は粒子の世界線に沿って測った固有時 $\tau$ に $-mc^2$ を掛けたものになり、どの慣性系で計算しても同じ値をとる。この1行を選べば、あとは第1部の道具を順に当てるだけである。Euler–Lagrange 方程式から運動量 $\bm{p}=\gamma m\bm{v}$ が、Legendre 変換からエネルギー $E=\gamma mc^2$ と静止エネルギー $mc^2$ が、Noether の定理から時空の並進に対するエネルギーと運動量の保存が出る。Lorentz 変換（ブースト）に対する Noether の保存量は、エネルギーで重みを付けた重心が等速で動くことを表す。

作用を時刻 $t$ でなく世界線の任意の径数 $\lambda$ で書き直すと、時間と空間が同じ形で並び、運動量とエネルギーは4元運動量 $p^\mu=(E/c,\bm{p})$ という1つの量にまとまる。この書き方では Legendre 変換がそのままでは働かず、$H$ は恒等的に $0$ になり、代わりに拘束 $p_\mu p^\mu=m^2c^2$ が残る。この拘束は後で量子力学の Klein–Gordon 方程式へ、径数の選び方の自由度は一般相対論の測地線へつながる。最後に、力が働く場合（一様な力と電磁場）を扱い、学部の特殊相対論の授業で習う式と1つずつ対応させる。この章を通して計量は $\eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$ とし、上下に1回ずつ現れるギリシャ添字だけ和をとる。

世界間隔と固有時

時刻 $t$ と位置 $\bm{x}$ をまとめて $x^\mu=(ct,\bm{x})$ と書く（$\mu=0,1,2,3$）。近い2つの出来事の間の世界間隔を

$$\mathrm{d} s^2=\eta_{\mu\nu}\,\mathrm{d} x^\mu\mathrm{d} x^\nu=c^2\mathrm{d} t^2-\mathrm{d}\bm{x}^2\tag{2.3.1}$$

と定める。$x$ 方向に速さ $u$ で動く慣性系への Lorentz 変換

$$ct'=\gamma_u\Bigl(ct-\frac{u}{c}x\Bigr),\qquad x'=\gamma_u(x-ut),\qquad y'=y,\quad z'=z,\qquad \gamma_u=\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}\tag{2.3.2}$$

で $\mathrm{d} s^2$ は変わらない。$u/c=\tanh\alpha$ とおくと、式 (2.3.2) は $(ct,x)$ 平面で $\cosh\alpha$・$\sinh\alpha$ を成分にもつ行列を掛ける変換になり、$c^2t^2-x^2$ を保つことは第1部第9章の例題で双曲線の回転として確かめた（第1部第9章）。$\alpha$ を rapidity と呼ぶ。

粒子が速度 $\bm{v}=\frac{\mathrm{d} \bm{x}}{\mathrm{d} t}$（$\lvert \bm{v}\rvert <c$）で動くとき、世界線に沿って $\mathrm{d} s^2=c^2\mathrm{d} t^2(1-v^2/c^2)>0$ である。そこで

$$\mathrm{d}\tau=\frac{\mathrm{d} s}{c}=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\,\mathrm{d} t=\frac{\mathrm{d} t}{\gamma},\qquad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\tag{2.3.3}$$

を固有時と呼ぶ。$\mathrm{d} s$ がどの慣性系でも同じなので、$\mathrm{d}\tau$ も同じである。粒子と一緒に動く時計は、その瞬間の静止系で測った時刻を刻むので、$\mathrm{d}\tau$ は粒子が持ち歩く時計の進みにあたる。世界線の始点と終点を決めれば、$\tau=\int\mathrm{d}\tau$ は世界線という曲線の「長さ」のような量で、観測者の選び方によらない。

選ぶ作用

この作用を選ぶ理由は2つある。1つ目は、$S$ がどの慣性系で計算しても同じ値になることで、そのため Euler–Lagrange 方程式もどの慣性系で同じ形になる。この性質は相対性原理の要請そのものであり、2.3.2節では逆に、この要請から $L$ の形が決まることを示す。2つ目は、遅い粒子で第1部第5章の $L$ に戻ることである。$v\ll c$ で展開すると

$$L=-mc^2+\frac12mv^2+\frac{mv^4}{8c^2}+\cdots\tag{2.3.5}$$

となり、定数 $-mc^2$ は運動に関係しない（第1部第5章）。$v^2$ の係数を $\frac12m$ にそろえるには前の係数が $-mc^2$ でなければならず、$+mc^2$ を選ぶと運動エネルギーの符号が逆になる。前の係数の大きさと符号は、遅い極限で Newton 力学に戻すという条件で決まっている。

作用の停留は固有時の最大

$S=-mc^2\tau$ なので、作用が最小になる世界線は固有時が最大になる世界線である。端の出来事を2つ固定したとき、まっすぐな世界線（等速直線運動）が固有時を最大にすることは2.3.3節で一般に示す。ここでは例で確かめる。