この章のまとめ

(1) $x\dot y-y\dot x=r^2\dot\theta$, $\dot x^2+\dot y^2=\dot r^2+r^2\dot\theta^2$ なので

$$L=\frac12m(\dot r^2+r^2\dot\theta^2)+\frac{qB}{2}r^2\dot\theta-\frac12m\omega_0^2r^2 .$$

$p_r=m\dot r$、$p_\theta=mr^2\dot\theta+\frac{qB}2r^2=mr^2(\dot\theta+\omega_{\mathrm L})$。

(2) $\dot\theta=p_\theta/(mr^2)-\omega_{\mathrm L}$ を使う。$p_\theta\dot\theta-\frac{qB}2r^2\dot\theta-\frac12mr^2\dot\theta^2=mr^2(\dot\theta+\omega_{\mathrm L})\dot\theta-m\omega_{\mathrm L}r^2\dot\theta-\frac12mr^2\dot\theta^2=\frac12mr^2\dot\theta^2$ なので

$$H=\frac{p_r^2}{2m}+\frac12mr^2\Bigl(\frac{p_\theta}{mr^2}-\omega_{\mathrm L}\Bigr)^2+\frac12m\omega_0^2r^2 =\frac{p_r^2}{2m}+\frac{p_\theta^2}{2mr^2}-\omega_{\mathrm L}p_\theta+\frac12m(\omega_0^2+\omega_{\mathrm L}^2)r^2 .$$

$H$ は時刻も $\theta$ も含まないので、$H$ と $p_\theta$ が保存する。$-\omega_{\mathrm L}p_\theta$ の項は、時計回りに角速度 $\omega_{\mathrm L}$ で回る座標系から見ると磁場が消え、閉じ込めが $\omega_1$ に強まることを表している。

(3) 動径の有効ポテンシャル $\frac{p_\theta^2}{2mr^2}+\frac12m\omega_1^2r^2$ の最小から、$\partial H/\partial r=-\frac{p_\theta^2}{mr^3}+m\omega_1^2r=0$、

$$r_0^2=\frac{\lvert p_\theta\rvert }{m\omega_1}.$$

角速度は $\dot\theta=\partial H/\partial p_\theta=\frac{p_\theta}{mr_0^2}-\omega_{\mathrm L}=\pm\omega_1-\omega_{\mathrm L}$（$p_\theta\gtrless0$）。$p_\theta>0$ では反時計回りに $\omega_1-\omega_{\mathrm L}=\omega_-$、$p_\theta<0$ では時計回りに $\omega_1+\omega_{\mathrm L}=\omega_+$。一方、運動方程式は $m\ddot x=-m\omega_0^2x+qB\dot y$, $m\ddot y=-m\omega_0^2y-qB\dot x$ で、$w=x+\mathrm{i} y$ について $\ddot w=-\omega_0^2w-\mathrm{i}\omega_{\mathrm c}\dot w$。$w=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$ を入れると $\omega^2-\omega_{\mathrm c}\omega-\omega_0^2=0$、$\omega=\omega_{\mathrm L}\pm\omega_1$。$\omega=\omega_{\mathrm L}+\omega_1=\omega_+$ は時計回り、$\omega=\omega_{\mathrm L}-\omega_1=-\omega_-$ は反時計回りの回転で、円軌道の結果と一致する。

(4) Landau ゲージでは $L=\frac12m(\dot x^2+\dot y^2)+qBx\dot y-\frac12m\omega_0^2(x^2+y^2)$。回転で運動エネルギーと $V$ は変わらず、

$$\delta L=qB(\delta x\,\dot y+x\,\delta\dot y)=qB\epsilon(-y\dot y+x\dot x)=\epsilon\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\Bigl[\frac{qB}2(x^2-y^2)\Bigr]$$

なので $\Lambda_{\mathrm N}=\frac{qB}2(x^2-y^2)$。$K_x=-y$, $K_y=x$, $p_x=m\dot x$, $p_y=m\dot y+qBx$ から

$$\begin{aligned}p_xK_x+p_yK_y-\Lambda_{\mathrm N}&=m(x\dot y-y\dot x)+qBx^2-\frac{qB}2(x^2-y^2)\\ &=m(x\dot y-y\dot x)+\frac{qB}2(x^2+y^2)=mr^2\dot\theta+\frac{qB}2r^2\end{aligned}$$

で、(1) の $p_\theta$ に等しい。ゲージを替えると回転は対称性から準対称性に変わるが、保存量は同じ量になる。

(5) 単位を $2\pi\times1\,\mathrm{MHz}$ とすると $\omega_{\mathrm L}=0.500$, $\omega_1=\sqrt{0.0100+0.250}=0.50990$ で、$\omega_+/(2\pi)=1.0099\,\mathrm{MHz}$, $\omega_-/(2\pi)=0.0099\,\mathrm{MHz}$。$\omega_0\ll\omega_{\mathrm c}$ では $\omega_1=\omega_{\mathrm L}\sqrt{1+\omega_0^2/\omega_{\mathrm L}^2}\approx\omega_{\mathrm L}+\omega_0^2/(2\omega_{\mathrm L})=\omega_{\mathrm L}+\omega_0^2/\omega_{\mathrm c}$ なので$\omega_+\approx\omega_{\mathrm c}+\omega_0^2/\omega_{\mathrm c}$（数値では $1.0100\,\mathrm{MHz}$）、$\omega_-\approx\omega_0^2/\omega_{\mathrm c}$（$0.0100\,\mathrm{MHz}$）。速い方は磁場によるサイクロトロン運動で、遅い方は円運動の中心が原点のまわりをゆっくり回る運動である。中心の位置 $\bm{r}_{\mathrm g}$ では閉じ込めの力 $-m\omega_0^2\bm{r}_{\mathrm g}$ が電場 $-m\omega_0^2\bm{r}_{\mathrm g}/q$ の役をし、2.2.5節のドリフトの速さ $E/B=m\omega_0^2r_{\mathrm g}/(qB)=\omega_0^2r_{\mathrm g}/\omega_{\mathrm c}$ で接線方向に動くので、角速度は $\omega_0^2/\omega_{\mathrm c}$ になる。$\omega_0\to0$ で $\omega_-\to0$ となり、中心は止まって例題 2.2.3 の保存する $(x_{\mathrm g},y_{\mathrm g})$ に戻る。