出てくるもの (1)：正準運動量と Hamiltonian

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第2章 §2.2.3　★★★ $\bm{p}=m\dot{\bm{r}}+q\bm{A}$、$H=(\bm{p}-q\bm{A})^2/(2m)+q\phi$。$H$ の値に $\bm{A}$ は入らず、速度の成分どうしの Poisson 括弧は磁場になる

正準運動量

正準運動量は式 (2.2.5) そのもので、

$$\bm{p}=m\dot{\bm{r}}+q\bm{A}(\bm{r},t)\tag{2.2.10}$$

である。$\bm{p}$ は $m\dot{\bm{r}}$ と $q\bm{A}$ の和で、速度に質量を掛けた量（運動学的な運動量）とは一致しない。第1部第7章の例題（第1部第7章の「速度の1次の項は運動量を変えるがエネルギーを変えない」）で、速度の1次の項 $b(q)\dot q$ が運動量を $b$ だけずらすことを見た。ここではその $b$ が $q\bm{A}$ である。

Hamiltonian

$L$ の速度についての2階微分は $m$ 倍の単位行列で正則なので、式 (2.2.10) は $\dot{\bm{r}}=(\bm{p}-q\bm{A})/m$ と解ける。これを $H=\bm{p}\cdot\dot{\bm{r}}-L$ に入れる（第1部第8章）。$\bm{p}\cdot\dot{\bm{r}}-q\dot{\bm{r}}\cdot\bm{A}=(\bm{p}-q\bm{A})\cdot\dot{\bm{r}}=(\bm{p}-q\bm{A})^2/m$ を使うと

$$H(\bm{r},\bm{p},t)=\frac{\bigl(\bm{p}-q\bm{A}(\bm{r},t)\bigr)^2}{2m}+q\phi(\bm{r},t)\tag{2.2.11}$$

を得る。$\bm{p}-q\bm{A}=m\dot{\bm{r}}$ を入れると、$H$ の値は

$$H=\frac12m\dot{\bm{r}}^2+q\phi\tag{2.2.12}$$

で、$\bm{A}$ を含まない。磁場は $H$ の関数の形（$\bm{p}$ を $\bm{p}-q\bm{A}$ にずらすこと）には入るが、エネルギーの値には入らない。自由粒子の Hamiltonian $\bm{p}^2/(2m)$ の $\bm{p}$ を $\bm{p}-q\bm{A}$ に置き換え、$q\phi$ を足したものになっている。この置き換えを最小結合と呼ぶ。

Hamilton 方程式を書くと、

$$\dot{\bm{r}}=\frac{\partial H}{\partial \bm{p}}=\frac{\bm{p}-q\bm{A}}{m},\qquad \dot p_i=-\frac{\partial H}{\partial x_i}=q\sum_j\frac{p_j-qA_j}{m}\frac{\partial A_j}{\partial x_i}-q\frac{\partial \phi}{\partial x_i}=q\sum_j\dot x_j\frac{\partial A_j}{\partial x_i}-q\frac{\partial \phi}{\partial x_i}.$$

第1式は式 (2.2.10) の書き直しである。第2式の右辺は $\partial L/\partial x_i$（式 (2.2.7)）に等しく、$\dot p_i=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(m\dot x_i+qA_i)$ と組み合わせると式 (2.2.9) が再び出る。

エネルギーと時間による変化

第1部第8章の $\mathrm{d} H/\mathrm{d} t=\partial H/\partial t$ を当てると、

$$\frac{\mathrm{d} H}{\mathrm{d} t}=\frac{\partial H}{\partial t}=q\frac{\partial \phi}{\partial t}-q\,\dot{\bm{r}}\cdot\frac{\partial \bm{A}}{\partial t}.\tag{2.2.13}$$

$\phi$ と $\bm{A}$ が時刻によらなければ、$H=\frac12m\dot{\bm{r}}^2+q\phi$ が保存する。磁場がどれだけ強くても、静的な場の中の粒子のエネルギーは運動エネルギーと静電的なエネルギーの和で、磁場はそれを変えない。$\bm{A}$ が時刻とともに変わると、$-q\dot{\bm{r}}\cdot\partial\bm{A}/\partial t$ の分だけエネルギーが変わる。これは電場のうち $-\partial\bm{A}/\partial t$ の部分（電磁誘導の電場）が粒子にする仕事率である（2.2.6節）。

速度の成分どうしの Poisson 括弧

相空間の関数としての運動学的な運動量 $m\dot x_i=p_i-qA_i(\bm{r},t)$ の Poisson 括弧（第1部第11章）を計算する。$\{p_i,A_j(\bm{r})\}=-\partial A_j/\partial x_i$ を使うと

$$\{p_x-qA_x,\ p_y-qA_y\}=-q\{p_x,A_y\}-q\{A_x,p_y\}=q\Bigl(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\Bigr)=qB_z\tag{2.2.14}$$

となり、ほかの組も同じ計算で $\{m\dot x_i,m\dot x_j\}=q\sum_k\epsilon_{ijk}B_k$ になる。正準運動量の成分どうしは $\{p_x,p_y\}=0$ だが、速度の成分どうしは磁場があると Poisson 括弧が $0$ にならない。一方、位置と速度の組は $\{x_i,m\dot x_j\}=\{x_i,p_j\}=\delta_{ij}$ のまま変わらない。

式 (2.2.14) の右辺は磁場だけで書けている。$\bm{A}$ を取り替えても変わらない量どうしの括弧が、同じく変わらない量になった。量子力学では Poisson 括弧が交換子 $[\cdot,\cdot]/(\mathrm{i}\hbar)$ に置き換わるので、磁場の中では速度の $x$ 成分と $y$ 成分を同時に確定させることができない。この事実が一様な磁場の中のエネルギー準位（Landau 準位）の出発点になる（第4部第6章）。