この章で選ぶ $H$：最小結合の Hamiltonian を演算子にする

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第6章 §4.6.1　★★★ $\hat H=(\hat{\bm{p}}-q\bm{A})^2/(2m)+q\phi$。$\hat{\bm{p}}=-\mathrm{i}\hbar\nabla$ は正準運動量で、速度の演算子は $(\hat{\bm{p}}-q\bm{A})/m$

第2部第2章では、荷電粒子の Lagrangian $L=\frac12m\dot{\bm{r}}^2-q\phi+q\dot{\bm{r}}\cdot\bm{A}$ を選び、Legendre 変換で Hamiltonian $H=(\bm{p}-q\bm{A})^2/(2m)+q\phi$ を得た。そこで強調したのは、正準運動量 $\bm{p}=m\dot{\bm{r}}+q\bm{A}$ が運動学的な運動量 $m\dot{\bm{r}}$ と一致しないこと、ゲージ変換で $\bm{p}$ の値が変わること、速度の成分どうしの Poisson 括弧が$\{m\dot x,m\dot y\}=qB_z$ と $0$ にならないことの3つだった。この章では、この $H$ に第4部第1章の正準量子化を当てる。量子化の規則 $\{\cdot,\cdot\}\to[\cdot,\cdot]/(\mathrm{i}\hbar)$ が当たるのは正準変数の組 $(\bm{r},\bm{p})$ なので、$\hat{\bm{p}}=-\mathrm{i}\hbar\nabla$ は$m\dot{\bm{r}}$ でなく正準運動量の演算子になる。この1点から、この章の結果はすべて出てくる。

出てくるものは4つある。1つ目はゲージ変換の量子版で、ポテンシャルの取り替え $\bm{A}\to\bm{A}+\nabla\Lambda$ は波動関数の位相の取り替え $\psi\to\mathrm{e}^{\mathrm{i} q\Lambda/\hbar}\psi$ と組になり、Schrödinger 方程式の形を保つ。2つ目は Landau 準位で、速度の2成分の交換子が $0$ でないことから、一様な磁場の中の電子のエネルギーが $\hbar\omega_{\mathrm c}(n+\frac12)$ に量子化され、各準位が試料の面積に比例するだけ縮退する。3つ目は Aharonov–Bohm 効果で、磁場の無い場所しか通らない電子のエネルギー準位が、囲んだ磁束によって周期 $h/\lvert q\rvert$ で変わる。4つ目はスピンで、$H$ の運動エネルギーを Pauli 行列で $(\bm{\sigma}\cdot(\hat{\bm{p}}-q\bm{A}))^2/(2m)$ と書き直すと、電子の磁気モーメントの係数 $g=2$ が出る。最後に、授業で習う「運動量を $\hat{\bm{p}}-q\bm{A}$ に置き換える」規則と Zeeman 効果の書き方を、この章の形と並べる。

この章では電荷を $q$ と書き、電子のときは $q=-e$（$e>0$）とする。量子の演算子には帽子を付ける。$\phi$ と $\bm{A}$ は外から決めた場で、演算子でなく位置と時刻の関数である（場そのものの量子化は第5部第2章で扱う）。

古典の $H$ から演算子へ

第2部第2章の Hamiltonian は

$$H(\bm{r},\bm{p},t)=\frac{1}{2m}\bigl(\bm{p}-q\bm{A}(\bm{r},t)\bigr)^2+q\phi(\bm{r},t)$$

である。これは $L$ の Legendre 変換として決まった関数で、ここに勝手な選択は入っていない。第4部第1章の正準量子化は、正準変数の組 $(x_i,p_i)$ の Poisson 括弧 $\{x_i,p_j\}=\delta_{ij}$ を交換関係 $\left[\hat x_i,\,\hat p_j\right]=\mathrm{i}\hbar\delta_{ij}$ に置き換え、位置表示で $\hat p_j=-\mathrm{i}\hbar\,\partial/\partial x_j$ とする規則だった。電磁場があっても $(\bm{r},\bm{p})$ が正準変数の組であることは変わらないので、規則はそのまま当てはまる。したがって、この章で選ぶ Hamiltonian は

$$\hat H=\frac{1}{2m}\bigl(\hat{\bm{p}}-q\bm{A}(\hat{\bm{r}},t)\bigr)^2+q\phi(\hat{\bm{r}},t),\qquad\hat{\bm{p}}=-\mathrm{i}\hbar\nabla\tag{4.6.1}$$

である。この形の結合を最小結合と呼ぶ。Schrödinger 方程式は $\mathrm{i}\hbar\,\partial_t\psi=\hat H\psi$ で（第4部第2章）、$\bm{A}$ と $\phi$ は時刻によってよいので、$\hat H$ も一般には時刻による。

$\hat{\bm{p}}$ を $m\dot{\bm{r}}$ の演算子と考えてはいけない。$\hat{\bm{p}}$ の固有値は正準運動量 $m\dot{\bm{r}}+q\bm{A}$ の値で、同じ運動をしていても $\bm{A}$ の選び方で変わる。速度に対応する演算子は

$$\hat{\bm{v}}\coloneqq\frac{1}{m}\bigl(\hat{\bm{p}}-q\bm{A}(\hat{\bm{r}},t)\bigr)\tag{4.6.2}$$

で、これを使うと $\hat H=\frac12m\hat{\bm{v}}^2+q\phi$ と書くことができる。$\hat H$ の値が運動エネルギーと静電エネルギーの和で、磁場は値に直接入らないことは古典の場合（第2部第2章）と同じである。次の節で、$\hat{\bm{v}}$ が Heisenberg 描像で $\frac{\mathrm{d} \hat{\bm{r}}}{\mathrm{d} t}$ に等しいことを確かめる。

演算子の並べ方

古典の $H$ を演算子にするとき、$p_iA_i$ と $A_ip_i$ のどちらを書くかが問題になることがある。古典では同じ関数だが、$\hat p_i$ と $A_i(\hat{\bm{r}})$ は交換しないので演算子としては違うものになる（第4部第1章で見た、正準量子化が一意に決まらない例）。式 (4.6.1) は「エルミートな演算子 $\hat p_i-qA_i$ の2乗の和」という形で書いてあり、展開すると

$$\bigl(\hat{\bm{p}}-q\bm{A}\bigr)^2=\hat{\bm{p}}^2-q\bigl(\hat{\bm{p}}\cdot\bm{A}+\bm{A}\cdot\hat{\bm{p}}\bigr)+q^2\bm{A}^2\tag{4.6.3}$$

になって、2つの並べ方の平均が自動的に選ばれる。2つの並べ方の差は、任意の波動関数 $\psi$ に作用させて積の微分を使うと

$$\hat{\bm{p}}\cdot(\bm{A}\psi)-\bm{A}\cdot\hat{\bm{p}}\psi=-\mathrm{i}\hbar\,(\nabla\cdot\bm{A})\,\psi\tag{4.6.4}$$

である。$\nabla\cdot\bm{A}=0$ を満たすようにゲージを選べば（Coulomb ゲージ）、2つの並べ方は一致し、交差項は $-2q\bm{A}\cdot\hat{\bm{p}}$ と書くことができる。一般のゲージでは、片方だけを使うと $\hat H$ がエルミートでなくなる。$\bm{A}\cdot\hat{\bm{p}}$ のエルミート共役は $\hat{\bm{p}}\cdot\bm{A}$ で、その差が式 (4.6.4) の虚数の項だからである。エルミートな演算子の2乗という形を保つことが、並べ方を決める条件になっている。