この章で選ぶ $\mathcal L$：Klein–Gordon 場

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第2章 §5.2.1　★★★ 実スカラー場の $\mathcal L=\frac12\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi-\frac12m^2\phi^2$ を選ぶ。各点の $\phi(\bm{x})$ が一般化座標、$\pi(\bm{x})=\partial_t\phi$ が共役な運動量になる

第2部第5章（第2部第5章）では、場 $\phi(t,\bm{x})$ を「空間の点 $\bm{x}$ を番号とする一般化座標」とみなし、各点で Legendre 変換して正準運動量の密度 $\pi(\bm{x})$ と Hamiltonian 密度 $\mathcal H$ を作った。その結果、場の Poisson 括弧は $\{\phi(\bm{x}),\pi(\bm{y})\}=\delta^{(3)}(\bm{x}-\bm{y})$ という、粒子の $\{q_i,p_j\}=\delta_{ij}$ と同じ形になった。第4部第1章（第4部第1章）では、粒子の Poisson 括弧を交換子 $[\cdot,\cdot]/(\mathrm{i}\hbar)$ に置き換える規則が、2次以下の Hamiltonian では矛盾なく成り立つことを確かめた。この章は、この2つを組み合わせる。

選ぶのは、いちばん簡単な相対論的な場である実スカラー場（Klein–Gordon 場）の Lagrangian 密度である。この $\mathcal L$ は $\phi$ について2次なので、空間の Fourier 成分ごとに独立な調和振動子に分かれる。そこで、第4部第4章（第4部第4章）で古典の複素振幅から作った生成消滅演算子を、Fourier 成分の1つ1つに当てる。出てくるものは3つある。1つ目は、Hamiltonian が「エネルギー $\omega_{\bm{k}}$ の量子の個数」で書けることと、そのときに現れる零点エネルギーの和の発散である。2つ目は、その量子が質量 $m$ の粒子として振る舞い、しかも自動的に Bose 統計に従うこと、そして自由度が無限にあるために、有限自由度では一意だった交換関係の表示が一意でなくなることである。3つ目は、異なる時刻の場の交換子が数になり、空間的に離れた2点では $0$ になること（因果律）である。

5.2.1節で選ぶ $\mathcal L$ と単位の約束を述べ、5.2.2節で箱の中の Fourier 成分に正準量子化を当てる。5.2.3節から5.2.5節が「出てくるもの」で、5.2.6節では、量子光学や固体物理の授業で見る「箱で量子化する式」と、多体の量子力学の「第二量子化」をこの章の式と並べる。

単位と記号の約束

この章では $\hbar=c=1$ とする。$\hbar=1$ によって作用・角運動量は無次元になり、エネルギーと角振動数、運動量と波数が同じものになる。$c=1$ によって時間と長さが同じ単位になる。結果として、質量・エネルギー・運動量・波数・長さの逆数はすべて同じ次元を持ち、長さと時間はその逆数の次元を持つ。SI に戻すときは、質量 $m$ を長さの逆数として読むなら $mc/\hbar$（換算 Compton 波長の逆数）、角振動数として読むなら $mc^2/\hbar$ に置き換える。数値を出すときは $\hbar c=197.3269804\,\mathrm{MeV\,fm}$ を使う（CODATA 2018 の定義値から決まる値）。

また、この章では演算子の帽子を省く。場の量子論では、場 $\phi(x)$ も生成消滅演算子 $a_{\bm{k}}$ も演算子で、数（c 数）との区別は文脈で明らかなためである。

4元の記法は第2部と同じで、計量は $\eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$（この本の流儀）、$x^\mu=(t,\bm{x})$ である。4元波数 $k^\mu=(\omega,\bm{k})$ と $x^\mu$ の内積を

$$k\cdot x=k_\mu x^\mu=\omega t-\bm{k}\cdot\bm{x}$$

と書く。$\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k\cdot x}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\bm{k}\cdot\bm{x}-\omega t)}$ は正の振動数の平面波で、量子力学の $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} Et/\hbar}$ と同じ向きに回る。

選ぶ Lagrangian 密度

この章で選ぶのは

$$\mathcal L=\frac12\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi-\frac12m^2\phi^2=\frac12(\partial_t\phi)^2-\frac12(\nabla\phi)^2-\frac12m^2\phi^2\tag{5.2.1}$$

である。$\phi(x)$ は実数の値をとる場で、$m>0$ は場の質量である。これは第2部第5章で $\kappa=mc/\hbar$ として選んだ Klein–Gordon 場の $\mathcal L$ を、$\hbar=c=1$ で書いたものにほかならない。場の Euler–Lagrange 方程式は Klein–Gordon 方程式

$$(\partial_\mu\partial^\mu+m^2)\phi=\partial_t^2\phi-\nabla^2\phi+m^2\phi=0\tag{5.2.2}$$

で、平面波 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k\cdot x}$ を入れると角振動数と波数の関係

$$\omega_{\bm{k}}=\sqrt{\lvert \bm{k}\rvert ^2+m^2}\tag{5.2.3}$$

が出る。これは静止質量 $m$ の粒子のエネルギーと運動量の関係 $E^2=\lvert \bm{p}\rvert ^2+m^2$ と同じ形である。古典の場ではこの一致は形の上の一致にすぎないが、5.2.4節で場を量子化すると、角振動数 $\omega_{\bm{k}}$ の量子がエネルギー $\omega_{\bm{k}}$ と運動量 $\bm{k}$ を持つ粒子そのものになる。

作用 $S=\int\mathcal L\,\mathrm{d}^4x$ は無次元なので、$\mathrm{d}^4x$ が質量の $-4$ 乗の次元を持つことから $\mathcal L$ は質量の4乗、$\partial_\mu$ は質量の1乗の次元を持ち、したがって場 $\phi$ は質量の1乗の次元を持つ。

正準運動量と Hamiltonian 密度

第2部第5章の定義どおり、正準運動量の密度は

$$\pi(\bm{x})=\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_t\phi)}=\partial_t\phi(\bm{x})\tag{5.2.4}$$

である。各点で Legendre 変換すると

$$\mathcal H=\pi\,\partial_t\phi-\mathcal L=\frac12\pi^2+\frac12(\nabla\phi)^2+\frac12m^2\phi^2,\qquad H=\int\mathrm{d}^3x\,\mathcal H\tag{5.2.5}$$

を得る。3つの項はどれも負にならないので $H\ge0$ で、$H=0$ になるのは $\phi=\pi=0$ のときだけである。量子化したときにエネルギーの最も低い状態（真空）が存在するのは、古典の $H$ が下に有界であるこの性質による。

粒子の力学との対応を書いておく。点 $\bm{x}$ ごとに一般化座標 $q_{\bm{x}}=\phi(\bm{x})$ が1つあり、その共役な運動量が $\pi(\bm{x})$ である。第2部第4章（第2部第4章）の原子の列では、番号 $j$ の原子のずれ $u_j$ が一般化座標で、間隔 $a\to0$ の極限で番号 $j$ が連続な位置 $x$ に変わった。場の量子化は、この「無限個の自由度を持つ力学系」を量子化することである。有限個の自由度の量子力学から新しく問題になるのは、無限個の振動子の零点エネルギーの和（5.2.3節）、交換関係の表示が1つでないこと（5.2.4節）、空間の点の間の因果律（5.2.5節）の3つで、どれも有限自由度では起きない。

1　R. L. Workman et al. (Particle Data Group) (2022), Prog. Theor. Exp. Phys. 2022, 083C01.