出てくるもの1：生成消滅演算子と Hamiltonian

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第2章 §5.2.3　★★★ $H=\sum_{\bm{k}}\omega_{\bm{k}}(a^\dagger_{\bm{k}}a_{\bm{k}}+\frac12)$。零点エネルギーの和は発散し、正規順序で差し引く。運動量も $\sum\bm{k}\,a^\dagger a$

Hamiltonian と時間発展

式 (5.2.11) を Hamiltonian (5.2.9) に入れる。$\phi_{\bm{k}}^\dagger=(a^{(V)\dagger}_{\bm{k}}+a^{(V)}_{-\bm{k}})/\sqrt{2\omega_{\bm{k}}}$、$\pi_{\bm{k}}^\dagger=\mathrm{i}\sqrt{\omega_{\bm{k}}/2}\,(a^{(V)\dagger}_{\bm{k}}-a^{(V)}_{-\bm{k}})$ だから（添字 $(V)$ を省いて書く）

$$\frac12\bigl(\pi_{\bm{k}}^\dagger\pi_{\bm{k}}+\omega_{\bm{k}}^2\phi_{\bm{k}}^\dagger\phi_{\bm{k}}\bigr) =\frac{\omega_{\bm{k}}}{4}\Bigl[(a^\dagger_{\bm{k}}-a_{-\bm{k}})(a_{\bm{k}}-a^\dagger_{-\bm{k}})+(a^\dagger_{\bm{k}}+a_{-\bm{k}})(a_{\bm{k}}+a^\dagger_{-\bm{k}})\Bigr] =\frac{\omega_{\bm{k}}}{2}\Bigl(a^\dagger_{\bm{k}}a_{\bm{k}}+a_{-\bm{k}}a^\dagger_{-\bm{k}}\Bigr).$$

括弧の中で $a^\dagger_{\bm{k}}a^\dagger_{-\bm{k}}$ と $a_{-\bm{k}}a_{\bm{k}}$ の項は、$\pi$ の項と $\phi$ の項で符号が逆になって打ち消した。$\bm{k}$ について和をとり、第2項の番号を $-\bm{k}\to\bm{k}$ と付け替えると

$$H=\sum_{\bm{k}}\frac{\omega_{\bm{k}}}{2}\Bigl(a^{(V)}_{\bm{k}}a^{(V)\dagger}_{\bm{k}}+a^{(V)\dagger}_{\bm{k}}a^{(V)}_{\bm{k}}\Bigr) =\sum_{\bm{k}}\omega_{\bm{k}}\Bigl(a^{(V)\dagger}_{\bm{k}}a^{(V)}_{\bm{k}}+\frac12\Bigr)\tag{5.2.13}$$

である。2つ目の等号で $\left[a,\,a^\dagger\right]=1$ を使った。場の Hamiltonian は、角振動数 $\omega_{\bm{k}}$ の独立な調和振動子の和になった。

Heisenberg 描像では、$\left[H,\,a^{(V)}_{\bm{k}}\right]=-\omega_{\bm{k}}a^{(V)}_{\bm{k}}$ から $a^{(V)}_{\bm{k}}(t)=a^{(V)}_{\bm{k}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_{\bm{k}}t}$ となる（第4部第4章の $\hat a_{\mathrm H}(t)=\hat a\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$ と同じ）。式 (5.2.12) に入れると、$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{x}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_{\bm{k}}t}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k\cdot x}$ なので

$$\phi(x)=\sum_{\bm{k}}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bm{k}}V}}\Bigl(a^{(V)}_{\bm{k}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k\cdot x}+a^{(V)\dagger}_{\bm{k}}\mathrm{e}^{\mathrm{i} k\cdot x}\Bigr),\qquad k^0=\omega_{\bm{k}}\tag{5.2.14}$$

を得る。消滅演算子には正の振動数の平面波、生成演算子には負の振動数の平面波が掛かる。古典の Klein–Gordon 方程式の一般解の係数を、演算子に置き換えた形である。

箱を外す

体積 $V\to\infty$ では、波数の格子の間隔 $2\pi/\ell$ が $0$ になり、和が積分になる。波数空間の体積 $(2\pi)^3/V$ に1つのモードがあるので

$$\sum_{\bm{k}}\;\longrightarrow\;V\int\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3},\qquad V\delta_{\bm{k}\bm{k}'}\;\longrightarrow\;(2\pi)^3\delta^{(3)}(\bm{k}-\bm{k}'),\qquad a_{\bm{k}}=\sqrt V\,a^{(V)}_{\bm{k}}\tag{5.2.15}$$

と置き換える。3つ目の置き換えは、交換関係 $\left[a_{\bm{k}},\,a^\dagger_{\bm{k}'}\right]=V\delta_{\bm{k}\bm{k}'}$ が $V\to\infty$ で有限の極限を持つように選んだ。すると

$$\phi(x)=\int\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bm{k}}}}\Bigl(a_{\bm{k}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k\cdot x}+a^\dagger_{\bm{k}}\mathrm{e}^{\mathrm{i} k\cdot x}\Bigr),\qquad \left[a_{\bm{k}},\,a^\dagger_{\bm{k}'}\right]=(2\pi)^3\delta^{(3)}(\bm{k}-\bm{k}')\tag{5.2.16}$$

となる。これがこの巻で使う場の展開の形である。Hamiltonian は

$$H=\int\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3}\,\omega_{\bm{k}}\,a^\dagger_{\bm{k}}a_{\bm{k}}+E_0,\qquad E_0=V\int\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3}\,\frac{\omega_{\bm{k}}}{2}\tag{5.2.17}$$

になる。$E_0$ は式 (5.2.13) の $\frac12$ の和で、各モードの零点エネルギー $\omega_{\bm{k}}/2$ を全モードについて足したものである（$\left[a_{\bm{k}},\,a^\dagger_{\bm{k}}\right]=(2\pi)^3\delta^{(3)}(0)$ が $V$ に当たることからも同じ式が出る）。

零点エネルギーと正規順序

$E_0$ には2つの意味で無限大が入っている。1つは体積 $V$ に比例することで、これはエネルギーが示量的であることの表れにすぎず、密度 $\varepsilon _0=E_0/V$ を考えればよい。もう1つは、密度 $\varepsilon _0=\int\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3}\frac{\omega_{\bm{k}}}{2}$ そのものが大きな $\lvert \bm{k}\rvert$ で $\lvert \bm{k}\rvert ^3$ のように増える被積分関数を持ち、発散することである。自由度が有限の振動子では零点エネルギーは有限だったが、無限個の振動子の零点エネルギーを足すと発散する。

重力を考えない限り、測れるのはエネルギーの差だけなので、全体に足された定数 $E_0$ は物理に現れない。そこで、演算子の積を「消滅演算子をすべて右に、生成演算子をすべて左に」並べ替える操作を正規順序と呼び、コロンで囲んで ${:}\,\cdot\,{:}$ と書く。例えば ${:}\,a_{\bm{k}}a^\dagger_{\bm{k}}\,{:}=a^\dagger_{\bm{k}}a_{\bm{k}}$ である。正規順序をとった Hamiltonian

$${:}\,H\,{:}=\int\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3}\,\omega_{\bm{k}}\,a^\dagger_{\bm{k}}a_{\bm{k}}\tag{5.2.18}$$

を改めて $H$ とする。これは勝手な引き算に見えるが、第4部第1章で見たとおり、古典の関数を演算子に移す規則には積の順序の任意性があった。古典の $\frac{\omega}{2}(z^*z+zz^*)$ と $\omega z^*z$ は同じ関数なので、どちらを量子化してもよい。正規順序は、その任意性の中から真空のエネルギーが $0$ になるものを選ぶことに当たる。ただし、境界条件を変えたときの $E_0$ の差（Casimir 効果）や、重力の源としての真空のエネルギーは、この選び方では消えない。前者は第5部第3章と第5部第9章（正則化）で、発散する積分から有限の差を取り出す手続きとして扱う。

運動量

第2部第7章（第2部第7章）で、空間の並進に対する Noether の保存量として場の運動量 $\bm{P}=-\int\pi\nabla\phi\,\mathrm{d}^3x$ を得た。Fourier 成分では $\nabla\to\mathrm{i}\bm{k}$ なので $\bm{P}=-\sum_{\bm{k}}\pi_{-\bm{k}}(\mathrm{i}\bm{k})\phi_{\bm{k}}$ で、式 (5.2.11) を入れると

$$\bm{P}=-\sum_{\bm{k}}\frac{\bm{k}}{2}\Bigl(a^{(V)}_{-\bm{k}}a^{(V)}_{\bm{k}}+a^{(V)}_{-\bm{k}}a^{(V)\dagger}_{-\bm{k}}-a^{(V)\dagger}_{\bm{k}}a^{(V)}_{\bm{k}}-a^{(V)\dagger}_{\bm{k}}a^{(V)\dagger}_{-\bm{k}}\Bigr).$$

$\bm{k}\,a_{-\bm{k}}a_{\bm{k}}$ は $\bm{k}\to-\bm{k}$ で符号を変える（2つの消滅演算子は交換する）ので、和をとると $0$ になる。$a^\dagger a^\dagger$ の項も同じである。第2項は番号を $\bm{k}\to-\bm{k}$ と付け替えると $+\bm{k}\,a_{\bm{k}}a^\dagger_{\bm{k}}$ になり、

$$\bm{P}=\sum_{\bm{k}}\bm{k}\Bigl(a^{(V)\dagger}_{\bm{k}}a^{(V)}_{\bm{k}}+\frac12\Bigr)=\sum_{\bm{k}}\bm{k}\,a^{(V)\dagger}_{\bm{k}}a^{(V)}_{\bm{k}}=\int\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3}\,\bm{k}\,a^\dagger_{\bm{k}}a_{\bm{k}}\tag{5.2.19}$$

を得る。零点の $\frac12\sum\bm{k}$ は $\bm{k}$ と $-\bm{k}$ が打ち消すので、運動量には正規順序をとらなくても零点の項が残らない。エネルギーの零点の項が残るのは、$\omega_{\bm{k}}$ が $\bm{k}\to-\bm{k}$ で符号を変えないためである。