この章で選ぶ $\mathcal L$：$\phi^4$ 理論と、線・頂点・ループの数

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第8章 §5.8.1　★★★ $\phi^4$ 理論の図は外線 $E$・内線 $I$・頂点 $V$・ループ $\ell$ の4つの数で特徴づけられ、$4V=E+2I$ と $\ell=I-V+1$ から $V=\ell+E/2-1$。外線の数を決めればループの数と結合定数の次数は同じものになる

第5部第7章では、経路積分 $\int\mathcal D\phi\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} S[\phi]}$ の相互作用の部分を展開し、展開の各項を Feynman 図と Feynman 則で書いた。図のうち、線が輪になって閉じていないもの（木）は運動量の保存則だけで内線の運動量が決まるが、輪（ループ）を含む図では内線の運動量が1つ決まらずに残り、それについて積分しなければならない。この章では、この積分が運動量の大きいところで発散することを確かめ、その発散の強さを、積分を実行する前に数える方法を作る。

この章で選ぶものは $\phi^4$ 理論の Lagrangian 密度で、後半では比較のために QED と Yukawa 理論の Lagrangian 密度も使う。当てる道具は2つある。1つ目は、経路積分を作用の停留点のまわりで展開すると、ループの数がそのまま $\hbar$ の次数になるという事実である。ループが1つもない図（木）は古典的な Euler–Lagrange 方程式の解を表し、ループは量子揺らぎの補正になる。2つ目は次元解析で、場と結合定数の質量次元を数えるだけで、どの図がどれだけ強く発散しうるかが決まる。出てくるものは、ループ積分の具体的な発散（$\Lambda^2$ と $\ln\Lambda$）、表面的発散次数 $D=4-E$ による発散する振幅の分類、そして QED で対称性が発散を弱める仕組みである。最後に、零点エネルギーの和と点電荷の自己エネルギーという、授業で出会う2つの無限大と並べる。

発散をどう処理するか（正則化とくりこみ）はこの章では扱わない。積分を有限にするために運動量の上限 $\Lambda$（カットオフ）を一時的に置くが、これは発散の強さを測るための物差しにすぎない。正しい扱いは第5部第9章と第5部第10章に送る。

この章では $\hbar=c=1$ とする（5.8.2節だけは $\hbar$ を戻して数え、5.8.6節の数値は SI に戻す）。この章では演算子の帽子を省く。計量は $\eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$ である。

選ぶ Lagrangian 密度と Feynman 則

この章を通して使うのは、実数のスカラー場1つの Lagrangian 密度

$$\mathcal L=\frac12\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi-\frac12m^2\phi^2-\frac{\lambda}{4!}\phi^4\tag{5.8.1}$$

である。$\lambda>0$ は結合定数で、$\hbar=c=1$ では無次元の数になる（5.8.4節で確かめる）。$\phi^4$ の前の $1/4!$ は、4本の同じ足を入れ替える数え方を打ち消すために付けた。第5部第7章の結果だけを引くと、この $\mathcal L$ の Feynman 則は次のとおりである。

• 運動量 $k$ を運ぶ内線1本ごとに伝播関数 $\dfrac{\mathrm{i}}{k^2-m^2+\mathrm{i}\epsilon}$。
• 頂点1つごとに $-\mathrm{i}\lambda$。各頂点で4元運動量が保存する。
• 保存則で決まらない運動量 $k$ ごとに $\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}^4k}{(2\pi)^4}$。
• 図の対称因子 $s$ で割る（図の線を入れ替えても同じ図になる入れ替えの数）。

外線に付く伝播関数を切り落としたもの（切断した振幅）を $\mathrm{i}\mathcal M$ と書く。4点の振幅の最低次は $\mathrm{i}\mathcal M=-\mathrm{i}\lambda$ である。

4つの数とその間の関係

連結な Feynman 図を1つ取り、外線の数を $E$、内線の数を $I$、頂点の数を $V$ とする。$\phi^4$ の頂点からは足がちょうど4本出ていて、足は外線になるか、2本ずつ組になって内線になるかのどちらかなので、

$$4V=E+2I\tag{5.8.2}$$

が成り立つ。次に、内線の運動量のうち保存則で決まらないものの数を数える。内線1本ごとに運動量の変数が1つあり、頂点1つごとに保存則が1つある。ただし保存則のうち1つは図全体の運動量保存（外線の運動量の和が $0$）になって内線を縛らないので、決まらずに残る運動量の数は

$$\ell=I-V+1\tag{5.8.3}$$

になる。この $\ell$ をループの数と呼ぶ。図を平面に描いたときに線で囲まれた輪の数と一致する（グラフ理論の Euler の公式）。(5.8.2) と (5.8.3) から $I$ を消すと

$$V=\ell+\frac E2-1,\qquad I=2\ell+\frac E2-2\tag{5.8.4}$$

を得る。外線の数 $E$ を決めると、結合定数 $\lambda$ の次数 $V$ とループの数 $\ell$ は1ずつ一緒に増える。したがって $\phi^4$ 理論では、「$\lambda$ の何次まで計算するか」と「何ループまで計算するか」は同じことを言っている。

図 5.8.1 に、この章で使う3つの図を描いた。(a) は2点関数の1ループの図で、頂点1つから出た2本の足が輪になっている。形からタッドポール（おたまじゃくし）と呼ばれる。(b) は4点関数の1ループの図で、泡と呼ぶ。(c) は2点関数の2ループの図である。

1ループの2つの振幅

図 5.8.1(a) と (b) を Feynman 則で式にしておく。タッドポールの対称因子は $s=2$（輪の2本の足を入れ替えても同じ図）なので、2点関数への1ループの寄与（自己エネルギー）を $-\mathrm{i}\Sigma_1$ と書くと

$$-\mathrm{i}\Sigma_1=\frac{-\mathrm{i}\lambda}{2}\int\frac{\mathrm{d}^4k}{(2\pi)^4}\,\frac{\mathrm{i}}{k^2-m^2+\mathrm{i}\epsilon}\tag{5.8.5}$$

である。外線の運動量 $p$ は頂点を素通りするだけで積分の中に入らないので、$\Sigma_1$ は $p$ によらない定数になる。泡の対称因子も $2$（2本の内線の入れ替え）で、外線の組み方が3通り（$s$・$t$・$u$ の3つのチャネル）あるので、4点の振幅は1ループまでで

$$\mathrm{i}\mathcal M=-\mathrm{i}\lambda+\frac{(-\mathrm{i}\lambda)^2}{2}\sum_{P=p_1+p_2,\,p_1-p_3,\,p_1-p_4}\int\frac{\mathrm{d}^4k}{(2\pi)^4}\,\frac{\mathrm{i}}{k^2-m^2+\mathrm{i}\epsilon}\,\frac{\mathrm{i}}{(k+P)^2-m^2+\mathrm{i}\epsilon}\tag{5.8.6}$$

になる（$p_1,p_2$ が入る運動量、$p_3,p_4$ が出る運動量）。

被積分関数が $\lvert k\rvert$ の大きいところでどう振る舞うかを見ると、(5.8.5) は $1/k^2$、(5.8.6) は $1/k^4$ で減る。4次元の積分 $\int\mathrm{d}^4k$ は動径方向に $k^3\,\mathrm{d} k$ を含むので、上限を $\Lambda$ とすると前者は $\int^\Lambda k\,\mathrm{d} k\sim\Lambda^2$、後者は $\int^\Lambda\mathrm{d} k/k\sim\ln\Lambda$ で、どちらも $\Lambda\to\infty$ で発散する。木の図には積分が無いので、この発散はループの図に固有のものである。発散の強さは「積分の次元 $4\ell$ から、伝播関数1本あたりの $k^{-2}$ を差し引いたもの」で決まりそうに見える。この見込みを5.8.4節で一般の形にする。