当てる道具：ループの数は $\hbar$ の次数、木は古典解

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第8章 §5.8.2　★★★ $\hbar$ を戻すと伝播関数は $\hbar$、頂点は $1/\hbar$ を運び、切断した図は $\hbar^{\ell-1}$。木の図の和は古典的な Euler–Lagrange 方程式を逐次に解いたもので、ループは停留点のまわりの量子揺らぎの補正になる

この節では $\hbar$ を戻す（$c=1$ のまま）。第4部第8章の経路積分では、経路の重みは $\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$ だった。場の理論でも同じで、生成汎関数は源 $J(x)$ を足した作用で

$$Z[J]=\int\mathcal D\phi\,\exp\Bigl\{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\Bigl(S[\phi]+\int J\phi\,\mathrm{d}^4x\Bigr)\Bigr\}\tag{5.8.7}$$

と書ける。

$\hbar$ の数え方

第5部第7章の式 (5.7.17) で、ループの数を $n_L$ と書いて同じことを示した。この章では $\ell$ と書く。要点は、伝播関数が2次形式の逆なので $\hbar$ を1つ（$\dfrac{\mathrm{i}\hbar}{k^2-m^2+\mathrm{i}\epsilon}$）、頂点が $-\mathrm{i}\lambda/\hbar$ を運ぶことで、外線を切り落とした図は

$$\hbar^{I}\cdot\hbar^{-V}=\hbar^{I-V}=\hbar^{\ell-1}\tag{5.8.8}$$

に比例する（最後の等号は (5.8.3)）。木の図（$\ell=0$）は $\hbar^{-1}$、1ループは $\hbar^0$、2ループは $\hbar^1$ で、ループが1つ増えるごとに $\hbar$ が1つ掛かる。(5.8.4) と合わせると、$E$ を固定してループを1つ増やすと $\hbar\lambda$ が1つ掛かる。ループ展開は $\hbar$ による展開であり、$\phi^4$ 理論では $\lambda$ による展開でもある。

この数え方は、経路積分を作用の停留点のまわりで評価する方法（停留位相法、Euclid 化すれば Laplace 法）と同じものである。第4部第7章の WKB では、$\hbar\to0$ の極限で $\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$ の積分が古典軌道（作用の停留点）に集中し、次の次数ではその周りの2次の揺らぎの Gauss 積分から前因子が出た。場の理論でも、$\hbar$ の最低次は停留点での作用の値、次の次数は2次の揺らぎの Gauss 積分になる。

木の図は古典解

(5.8.7) の指数の停留点は、源のある Euler–Lagrange 方程式

$$(\Box+m^2)\phi+\frac{\lambda}{3!}\phi^3=J\tag{5.8.9}$$

の解 $\phi_{\mathrm c}[J]$ である。$(\Box+m^2)G(x-y)=\delta^{(4)}(x-y)$ を満たす Green 関数 $G$ を使って書き直すと

$$\phi_{\mathrm c}(x)=\int G(x-y)J(y)\,\mathrm{d}^4y-\frac{\lambda}{3!}\int G(x-y)\,\phi_{\mathrm c}(y)^3\,\mathrm{d}^4y$$

となり、右辺の $\phi_{\mathrm c}$ に左辺を繰り返し代入すると $\lambda$ の級数が得られる。1回代入するごとに、1本の線の先に3本の線が出る頂点が1つ付く。代入で作られる図はどれも輪を含まない木であり、$\lambda$ の各次数の木をすべて正しい重みで足したものが古典解になる。

時空の自由度をすべて落とした「0次元の場の理論」で、この重みを確かめておく。(5.8.9) に当たる式は $\phi+\frac{g}{6}\phi^3=J$ で、繰り返し代入すると

$$\phi_{\mathrm c}=J-\frac{g}{6}J^3+\frac{g^2}{12}J^5-\frac{g^3}{18}J^7+\mathcal{O}(g^4)\tag{5.8.10}$$

になる。$g^2$ の係数 $\frac{1}{12}=3\times\bigl(\frac16\bigr)^2$ の $3$ は、1つ目の頂点の3本の足のどれに2つ目の頂点を付けるかの数で、木の図を数えたものになっている。

$\hbar$ の最低次は Legendre 変換

0次元の Euclid 版で、$\hbar$ の展開を最後まで書いておく。$S(\phi)=\frac12\phi^2+\frac{g}{24}\phi^4-J\phi$ として

$$Z(J)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}\phi}{\sqrt{2\pi\hbar}}\,\mathrm{e}^{-S(\phi)/\hbar},\qquad W(J)\coloneqq\hbar\ln Z(J)\tag{5.8.11}$$

とおく。$\hbar\to0$ で積分は $S$ の最小点 $\phi_{\mathrm c}$（$S'(\phi_{\mathrm c})=0$、すなわち $\phi_{\mathrm c}+\frac g6\phi_{\mathrm c}^3=J$）に集中する。$S$ を $\phi_{\mathrm c}$ のまわりで2次まで展開して Gauss 積分をすると

$$W(J)=-S(\phi_{\mathrm c})-\frac{\hbar}{2}\ln S''(\phi_{\mathrm c})+\mathcal{O}(\hbar^2),\qquad S''(\phi_{\mathrm c})=1+\frac g2\phi_{\mathrm c}^2\tag{5.8.12}$$

になる。最低次 $-S(\phi_{\mathrm c})=J\phi_{\mathrm c}-\bigl(\frac12\phi_{\mathrm c}^2+\frac g{24}\phi_{\mathrm c}^4\bigr)$ は、源を除いた作用 $S_{\mathrm{cl}}(\phi)=\frac12\phi^2+\frac g{24}\phi^4$ の Legendre 変換 $\max_\phi[J\phi-S_{\mathrm{cl}}(\phi)]$ そのものである（$S_{\mathrm{cl}}$ は凸なので最大点はただ1つ）。第1部第7章の Legendre 変換が、木の図の和として現れている。逆に $W$ を $J$ について Legendre 変換し直すと、$\hbar$ の最低次では作用 $S_{\mathrm{cl}}$ に戻り、$\hbar$ の補正が付いたものを有効作用と呼ぶ。有効作用は第5部第10章で使う。