出てくるもの3：ループの数は $\hbar$ の次数で、級数は収束しない

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第7章 §5.7.5　★★ $\hbar$ を戻すと $L$ ループの図は $\hbar^{L-1}$。ループの無い図は古典の場の方程式の解で、ループが量子の補正になる。$\lambda$ の級数は収束半径 $0$ の漸近級数

$\hbar$ を数える

この小節だけ $\hbar$ を戻す（$c=1$ のまま）。重みは $\mathrm{e}^{\mathrm{i}(S[\phi]+\int J\phi)/\hbar}$ で、2次の部分の係数が $1/\hbar$ 倍になるので、その逆である伝播関数は $\hbar D_{\mathrm F}$ になる。相互作用の頂点は $-\mathrm{i}\lambda/\hbar$、源は $\mathrm{i} J/\hbar$ を運ぶ。$\ln Z[J]$ に入る連結な図で、内側の線が $n_I$ 本、相互作用の頂点が $n_V$ 個、源の点が $n_J$ 個なら、その図は $\hbar^{\,n_I-n_V-n_J}$ に比例する。一方、連結なグラフの独立な輪の数（ループの数）$n_L$ は、辺の数から点の数を引いて $1$ を足したもの

$$n_L=n_I-(n_V+n_J)+1$$

である（Euler の公式。木の形の連結なグラフでは辺が点より1本少ない）。したがって

$$({n_L}\text{ ループの図})\propto\hbar^{\,n_L-1}\tag{5.7.17}$$

になる。$\lambda$ の展開と $\hbar$ の展開は別物で、$\hbar$ の展開では、同じ $\lambda$ の次数の中でもループの少ない図ほど低い次数に入る。

ループの無い図（木の図）は $\hbar^{-1}$ で、$\ln Z$ の中で $\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\times(\hbar\text{によらない量})$ の形をしている。これは第4部第7章の停留位相の最低次$\mathrm{e}^{\mathrm{i} S_{\mathrm{cl}}/\hbar}$ と同じ形で、実際に木の図の和は $\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\bigl(S[\phi_{\mathrm{cl}}]+\int J\phi_{\mathrm{cl}}\bigr)$、すなわち古典の場の方程式 (5.7.2) の解での作用の値に等しい。方程式 (5.7.2) を $\lambda$ について逐次に解くと

$$\phi_{\mathrm{cl}}=\phi_0-\frac{\lambda}{6}\int\mathrm{d}^4z\;\mathrm{i} D_{\mathrm F}(x-z)\,\phi_0(z)^3+\cdots,\qquad \phi_0(x)=\int\mathrm{d}^4y\;\mathrm{i} D_{\mathrm F}(x-y)J(y)$$

となり（$\mathrm{i} D_{\mathrm F}$ が $(\partial^2+m^2)$ の逆）、$\phi_0$ を源から伸びる線、$\phi_0^3$ を3本の線が1つの頂点に集まるところと読むと、各項がそのまま木の図になる。1ループの図は $\hbar^0$ で、停留点のまわりの Gauss 積分の揺らぎの因子（第4部第8章の Van Vleck の行列式にあたる $\det A^{-1/2}$）に当たる。こうして、経路積分の $\hbar$ による展開（半古典展開）と、図をループの数で並べることが同じものになる。

級数は収束しない

$\lambda$ の級数に戻る（$\hbar=1$）。0次元の場の係数は

$$Z(\lambda,0)=\sum_{n=0}^\infty c_n\lambda^n,\qquad c_n=\frac{1}{n!}\Bigl(-\frac{1}{24}\Bigr)^n(4n-1)!!,\qquad \frac{c_{n+1}}{c_n}=-\frac{(4n+1)(4n+3)}{24(n+1)}\approx-\frac23n$$

で、隣の係数の比が $n$ に比例して大きくなる。係数の大きさは $\lvert c_n\rvert \approx\frac{1}{\pi\sqrt2}\bigl(\frac23\bigr)^n(n-1)!$ で、階乗で増える。どんなに小さい $\lambda$ でも $\lvert c_n\rvert \lambda^n$ はいずれ増え始めるので、この級数の収束半径は $0$ である。

Dyson はこれを、$\lambda$ を負にした理論を考えて説明した¹1F. J. Dyson (1952), Phys. Rev. 85, 631。議論は QED の結合 $e^2$ を $-e^2$ にした場合について述べられた。下の脚注へ閉じる。$\lambda<0$ ではポテンシャル $\frac12m^2\phi^2-\frac{\lvert \lambda\rvert }{4!}\phi^4$ が大きな $\lvert \phi\rvert$ で下に開き、真空は安定でなくなる。0次元では積分 $\int\mathrm{e}^{-\phi^2/2+\lvert \lambda\rvert \phi^4/24}\mathrm{d}\phi$ そのものが存在しない。収束半径が正なら、級数は $\lambda=0$ のまわりの円板の中で解析的な関数を表し、小さい負の $\lambda$ でも意味を持つはずである。負の側で理論が存在しないのだから、収束半径は正でありえない。量子力学の非調和振動子でも、基底エネルギーの摂動級数の係数が階乗で増えることを Bender と Wu が示した²2C. M. Bender and T. T. Wu (1969), Phys. Rev. 184, 1231。下の脚注へ閉じる。

収束しない級数でも、$\lambda\to0$ の漸近級数としては意味を持つ。図 5.7.3 は、0次元の場で $N$ 次までの部分和と厳密値の差を描いたものである。差は $N\approx3/(2\lambda)$ まで小さくなり、その先で増える。$\lambda=0.3$ では $N=5$ で差 $7.96\times10^{-4}$、$\lambda=0.15$ では $N=10$ で $3.91\times10^{-6}$ が最小で、小さい $\lambda$ ほど到達できる精度が上がる。打ち切りの最適な次数は、項の大きさ $\lvert c_n\rvert \lambda^n$ が最小になる次数とほぼ同じである（$\lvert c_{n+1}/c_n\rvert \lambda\approx1$ から $n\approx3/(2\lambda)$）。近似の数理 第1章（近似の数理 第1章）で、非調和振動子の摂動級数が2〜3次で誤差最小になったのと同じ現象である。

図 5.7.3　0次元の場 $Z(\lambda,0)$ の $N$ 次までの部分和 $Z_N$ と厳密値 $Z$（Bessel 関数の式）の差。丸は $\lambda=0.3$、四角は $\lambda=0.15$。差はそれぞれ $N=5$、$N=10$ で最小になり、その先は係数の階乗の増加によって大きくなる（検算 scripts/verify_ch5-07.py）