出てくるもの2：Feynman 則

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第7章 §5.7.4　★★★ $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\int\mathcal L_{\mathrm{int}}}$ を展開し、各項を Wick の定理で組にして線で結ぶ。図1枚が式1つに対応し、係数は図の対称性だけで決まる

相互作用を源の微分で書く

式 (5.7.3) の重みを $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\int(\mathcal L_0+J\phi)}\cdot\mathrm{e}^{\mathrm{i}\int\mathcal L_{\mathrm{int}}}$ と分ける。後ろの因子の中の $\phi(z)$ は、前の因子に$-\mathrm{i}\,\delta/\delta J(z)$ を当てたものに置き換えてよい。したがって

$$Z[J]=\exp\Bigl[-\mathrm{i}\frac{\lambda}{4!}\int\mathrm{d}^4z\Bigl(-\mathrm{i}\frac{\delta}{\delta J(z)}\Bigr)^4\Bigr]\;Z_0[J]\tag{5.7.14}$$

である。指数関数を $\lambda$ のべきに展開すると、各項は $Z_0[J]=Z_0[0]\mathrm{e}^{-\frac12JD_{\mathrm F}J}$ を何回か微分したものになり、それは5.7.2節の Wick の定理で計算できる。言い換えると、$\lambda^V$ の項は自由な場の Gauss 分布の下での$\frac{1}{V!}\bigl(-\mathrm{i}\frac{\lambda}{4!}\bigr)^V\int\mathrm{d}^4z_1\cdots\mathrm{d}^4z_V\,\phi(z_1)^4\cdots\phi(z_V)^4$ と外の点の場の積の平均である。

2点関数の1次

$\langle 0 | T\phi(x)\phi(y) | 0 \rangle$ を $\lambda$ の1次まで計算する。分子は

$$\Bigl\langle\phi(x)\phi(y)\Bigl[1-\mathrm{i}\frac{\lambda}{4!}\int\mathrm{d}^4z\,\phi(z)^4\Bigr]\Bigr\rangle_0$$

で、1次の項の中の6個の場 $\phi(x)\phi(y)\phi(z)\phi(z)\phi(z)\phi(z)$ を組にする。組み方は $5!!=15$ 通りで、形で分けると2種類ある。

• $\phi(x)$ と $\phi(y)$ が組になり、$z$ の4つが互いに組になる：$3$ 通り。値は $D_{\mathrm F}(x-y)D_{\mathrm F}(0)^2$。
• $\phi(x)$ が $z$ の4つのどれかと（4通り）、$\phi(y)$ が残り3つのどれかと（3通り）組になり、$z$ の残り2つが組になる：$12$ 通り。値は $D_{\mathrm F}(x-z)D_{\mathrm F}(0)D_{\mathrm F}(z-y)$。

$3+12=15$ で全部である。$\frac{1}{4!}$ を掛けると係数は $\frac{3}{24}=\frac18$ と $\frac{12}{24}=\frac12$ になる。組にした2点を線で結び、$z$ を4本の線が集まる点（頂点）として描くと、前者は「$x$ と $y$ を結ぶ線」と「頂点に輪が2つついた8の字」の2つの離れた図、後者は「$x$ から $z$ へ、$z$ に輪を1つつけて、$z$ から $y$ へ」の1つにつながった図になる（図 5.7.2 の (b)(c)）。

ここで分母 $Z[0]$ を考える。分母の1次は $-\mathrm{i}\frac{\lambda}{4!}\int\mathrm{d}^4z\langle \phi(z)^4 \rangle _0=-\mathrm{i}\frac{\lambda}{8}\int\mathrm{d}^4z\,D_{\mathrm F}(0)^2$ で、8の字そのものである。分子の第1の形は「$D_{\mathrm F}(x-y)$ × 8の字」なので、$\lambda$ の1次までで分母で割ると打ち消し、

$$\langle 0 | T\phi(x)\phi(y) | 0 \rangle =D_{\mathrm F}(x-y)+\frac{-\mathrm{i}\lambda}{2}\int\mathrm{d}^4z\,D_{\mathrm F}(x-z)\,D_{\mathrm F}(0)\,D_{\mathrm F}(z-y)+\mathcal{O}(\lambda^2)\tag{5.7.15}$$

が残る。例題 5.7.1 の (3) で分母が分子の $-\frac58\lambda$ のうち $-\frac18\lambda$ を打ち消して $-\frac12\lambda$ が残ったのは、0次元でのこの打ち消しである（0次元では $D_{\mathrm F}$ がすべて $1$ で、$-\mathrm{i}\lambda$ が $-\lambda$ に替わる）。

真空の泡と連結な図

外の点につながらない部分（真空の泡）は、どの次数でも分子の中で因子として分かれる。$V$ 個の頂点を「外の点につながる部分」と「泡」へ分ける仕方を数えると、分子は「泡を含まない図の和」×「泡だけの図の和」になり、後者は $Z[0]$ そのものである。したがって $n$ 点関数 (5.7.4) は泡を含まない図だけの和になる。さらに、図が泡でなくても2つ以上の離れた部分からできていることがある（4点関数で $x_1$–$x_2$ と $x_3$–$x_4$ が別々に伝わる図など）。$\ln Z[J]$ を源で微分すると、つながった図（連結な図）だけが出る。これは、離れた部分を持つ図の和が連結な図の和の指数関数になるという数え方の恒等式（同じ連結な部分が $k$ 個並ぶと $1/k!$ の重複がつく）による。0次元では $\ln Z(\lambda,0)$ が連結な真空の図の和で、

$$\ln Z(\lambda,0)=-\frac{\lambda}{8}+\frac{\lambda^2}{12}-\frac{11\lambda^3}{96}+\cdots\tag{5.7.16}$$

である。$-\frac{\lambda}{8}$ が8の字、$\frac{\lambda^2}{12}=\frac{\lambda^2}{48}+\frac{\lambda^2}{16}$ が2頂点の2つの連結な図（4本の線でつながるスイカの形と、両端に輪をつけた亜鈴の形。図 5.7.2 の (e)(f)）である。

規則としてまとめる

$\frac{1}{V!}$ と $\frac{1}{(4!)^V}$ は、頂点の名前の付け替え（$V!$）と各頂点の4本の線の付け替え（$4!$）で同じ図が繰り返し数えられる分を打ち消す。その打ち消しが完全でない分、つまり付け替えても同じ組み方になってしまう分が対称因子として残る。輪（同じ頂点の2本の線を結んだ線）は向きを入れ替えても同じなので $2$、同じ2つの頂点を結ぶ $k$ 本の線は並べ替えても同じなので 対称因子に $k!$ の因子が入る。たとえば式 (5.7.15) の図は輪が1つで $s=2$、8の字は輪が2つと2つの輪の入れ替えで $s=2\cdot2\cdot2=8$ である。$4$ 点関数の1次（4本の外の線が1つの頂点に集まる×印）は $4!$ 通りの組み方が $\frac{1}{4!}$ とちょうど打ち消し、$s=1$ で値 $-\mathrm{i}\lambda\int\mathrm{d}^4z\prod_{a=1}^4D_{\mathrm F}(x_a-z)$ になる。

並進不変な理論では運動量表示の方が計算しやすい。式 (5.7.11) を各線に入れて頂点の位置 $z$ で積分すると、$\int\mathrm{d}^4z\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(k_1+k_2+k_3+k_4)\cdot z}=(2\pi)^4\delta^{(4)}(k_1+\dots+k_4)$によって各頂点で4元運動量が保存する。残る規則は、内側の線1本ごとに $\frac{\mathrm{i}}{k^2-m^2+\mathrm{i}\epsilon}$、頂点1つごとに $-\mathrm{i}\lambda$、保存則で決まらずに残った運動量（ループ1つにつき1つ）ごとに $\int\frac{\mathrm{d}^4\ell}{(2\pi)^4}$ である。×印の図は外の線を除くと $-\mathrm{i}\lambda$ だけで、これが $2\to2$ の散乱の最低次の振幅になる。式 (5.7.15) の輪は $\frac{-\mathrm{i}\lambda}{2}\int\frac{\mathrm{d}^4\ell}{(2\pi)^4}\frac{\mathrm{i}}{\ell^2-m^2+\mathrm{i}\epsilon}$ で、$\ell$ の大きいところで $\int\ell^3\mathrm{d}\ell/\ell^2$ のように発散する。この発散の扱いが第5部第8章の主題になる。