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出てくるもの1：Feynman 伝播関数

2026年10月15日11分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第5部 第7章 経路積分から摂動展開と Feynman 則へ
目次
  1. 2点関数
  2. の積分と時間順序
  3. 虚時間の伝播関数
  4. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第7章 §5.7.3　★★★ DF=∫d4k(2π)4i e−ik⋅xk2−m2+iϵD_{\mathrm F}=\int\frac{\mathrm{d}^4k}{(2\pi)^4}\frac{\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k\cdot x}}{k^2-m^2+\mathrm{i}\epsilon} は第5部第2章の D(x)D(x) を時刻の順に並べ替えたもの。iϵ\mathrm{i}\epsilon が極の避け方を決める

2点関数

式 (5.7.9) を式 (5.7.4) に入れて2回微分すると、e−12JDFJ\mathrm{e}^{-\frac12JD_{\mathrm F}J} の2回微分は −DF-D_{\mathrm F} で、(−i)2=−1(-\mathrm{i})^2=-1 を掛けて

⟨0∣Tϕ(x)ϕ(y)∣0⟩λ=0=DF(x−y)(5.7.10)\langle 0 | T\phi(x)\phi(y) | 0 \rangle _{\lambda=0}=D_{\mathrm F}(x-y)\tag{5.7.10}

を得る。自由な場の時間順序積の真空期待値は、2次の作用の逆そのものである。これを Feynman 伝播関数と呼ぶ。

式 (5.7.8) を Fourier 変換で解く。∂2e−ik⋅x=−k2e−ik⋅x\partial^2\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k\cdot x}=-k^2\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k\cdot x} なので

DF(x)=∫d4k(2π)4  i e−ik⋅xk2−m2+iϵ(5.7.11)D_{\mathrm F}(x)=\int\frac{\mathrm{d}^4k}{(2\pi)^4}\;\frac{\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k\cdot x}}{k^2-m^2+\mathrm{i}\epsilon}\tag{5.7.11}

である（(−k2+m2−iϵ)⋅i/(k2−m2+iϵ)=−i(-k^2+m^2-\mathrm{i}\epsilon)\cdot\mathrm{i}/(k^2-m^2+\mathrm{i}\epsilon)=-\mathrm{i}）。k2=(k0)2−∣k∣2k^2=(k^0)^2-\lvert \bm{k}\rvert ^2 なので、被積分関数は k0k^0 の関数としてk0=±ωk2−iϵ≈±(ωk−iϵ′)k^0=\pm\sqrt{\omega_{\bm{k}}^2-\mathrm{i}\epsilon}\approx\pm(\omega_{\bm{k}}-\mathrm{i}\epsilon')（ωk=∣k∣2+m2\omega_{\bm{k}}=\sqrt{\lvert \bm{k}\rvert ^2+m^2}、ϵ′=ϵ/(2ωk)\epsilon'=\epsilon/(2\omega_{\bm{k}})）に極を持つ。正の極は実軸のわずかに下、負の極はわずかに上にある（図 5.7.1）。iϵ\mathrm{i}\epsilon が無ければ極が積分路の上に乗り、積分が定まらない。

図

図 5.7.1　DFD_{\mathrm F} の k0k^0 積分の複素平面。iϵ\mathrm{i}\epsilon によって正の振動数の極 ωk−iϵ′\omega_{\bm{k}}-\mathrm{i}\epsilon' は実軸の下に、負の振動数の極 −ωk+iϵ′-\omega_{\bm{k}}+\mathrm{i}\epsilon' は上に移る。x0>0x^0>0 では e−ik0x0\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k^0x^0} が下半面で小さくなるので下に閉じ（破線）、正の振動数の極だけを拾う。x0<0x^0<0 では上に閉じ（点線）、負の振動数の極だけを拾う

k0k^0 の積分と時間順序

x0>0x^0>0 のとき、e−ik0x0\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k^0x^0} は Im⁡k0<0\operatorname{Im} k^0<0 で小さくなるので、実軸の積分に下半面の大きな半円を足して閉じてよい。閉じた経路は時計回りなので、極 k0=ωkk^0=\omega_{\bm{k}} の留数に −2πi-2\pi\mathrm{i} を掛ける。

∫dk02πi e−ik0x0(k0−ωk)(k0+ωk)=−2πi2π⋅i e−iωkx02ωk=e−iωkx02ωk.\int\frac{\mathrm{d} k^0}{2\pi}\frac{\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k^0x^0}}{(k^0-\omega_{\bm{k}})(k^0+\omega_{\bm{k}})}=\frac{-2\pi\mathrm{i}}{2\pi}\cdot\frac{\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_{\bm{k}}x^0}}{2\omega_{\bm{k}}}=\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_{\bm{k}}x^0}}{2\omega_{\bm{k}}}.

残りの k\bm{k} の積分と合わせると、第5部第2章の真空の相関 D(x)=∫d3k(2π)312ωke−ik⋅xD(x)=\int\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega_{\bm{k}}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k\cdot x} そのものになる（k0=ωkk^0=\omega_{\bm{k}} とおいた k⋅xk\cdot x）。x0<0x^0<0 では上に閉じて極 k0=−ωkk^0=-\omega_{\bm{k}} を拾い、k→−k\bm{k}\to-\bm{k} と積分変数を替えると D(−x)D(-x) になる。まとめて

DF(x)=θ(x0) D(x)+θ(−x0) D(−x)=⟨0∣Tϕ(x)ϕ(0)∣0⟩(5.7.12)D_{\mathrm F}(x)=\theta(x^0)\,D(x)+\theta(-x^0)\,D(-x)=\langle 0 | T\phi(x)\phi(0) | 0 \rangle\tag{5.7.12}

を得る。第5部第2章では D(x)=⟨0∣ϕ(x)ϕ(0)∣0⟩D(x)=\langle 0 | \phi(x)\phi(0) | 0 \rangle だったので、右辺はまさに時刻の遅い方を左に置いた積の期待値である。経路積分から出した式 (5.7.10) と、演算子から出した式 (5.7.12) が一致した。

この式の読み方は Feynman による。x0>0x^0>0 では、正の振動数 e−iωt\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} の波が時刻 00 から x0x^0 へ未来向きに進む。x0<0x^0<0 では、負の振動数の部分が時刻 x0x^0 から 00 へ、やはり未来向きに進む。正の振動数を未来へ、負の振動数を過去へ運ぶという規則が、iϵ\mathrm{i}\epsilon による極の避け方に入っている1R. P. Feynman (1949), Phys. Rev. 76, 749 と 769。複素スカラー場では負の振動数の部分が反粒子を表す（第5部第4章）。下の脚注へ。式 (5.7.8) の右辺の δ(4)\delta^{(4)} は、x0=0x^0=0 で θ\theta 関数が切り替わるところの跳びから出る。

虚時間の伝播関数

第5部第1章と同じく時間を虚数にする（x0=−iτx^0=-\mathrm{i}\tau）。それに合わせて k0=ik4k^0=\mathrm{i} k_4 と積分路を 90∘90^\circ 回すと、回す向きは図 5.7.1 の2つの極を横切らない向き（第1象限と第3象限を通る向き）で、これが iϵ\mathrm{i}\epsilon の指定と同じ情報を持つ。dk0 i/(k2−m2)=i dk4⋅i/(−k42−∣k∣2−m2)=dk4/(kE2+m2)\mathrm{d} k^0\,\mathrm{i}/(k^2-m^2)=\mathrm{i}\,\mathrm{d} k_4\cdot\mathrm{i}/(-k_4^2-\lvert \bm{k}\rvert ^2-m^2)=\mathrm{d} k_4/(k_{\mathrm E}^2+m^2) なので

DE(xE)=∫d4kE(2π)4  eikE⋅xEkE2+m2,kE2=k42+∣k∣2(5.7.13)D_{\mathrm E}(x_{\mathrm E})=\int\frac{\mathrm{d}^4k_{\mathrm E}}{(2\pi)^4}\;\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_{\mathrm E}\cdot x_{\mathrm E}}}{k_{\mathrm E}^2+m^2},\qquad k_{\mathrm E}^2=k_4^2+\lvert \bm{k}\rvert ^2\tag{5.7.13}

となる。分母は正で極が無く、iϵ\mathrm{i}\epsilon は要らない。虚時間の重み e−SE\mathrm{e}^{-S_{\mathrm E}} は正なので、場は本物の確率分布に従う確率変数になり、DED_{\mathrm E} はその共分散である。5.7.6節の非調和振動子と、総合問題の静的な源の計算では、この形が便利である。

例題 5.7.3　0+1次元の伝播関数＝調和振動子 ★★

オリジナル時空を時間の1次元だけにすると、場 ϕ(t)\phi(t) は1つの粒子の座標 x(t)x(t) になり、式 (5.7.1) の自由な部分は質量 MM、角振動数 ω\omega の調和振動子L0=M2x˙2−M2ω2x2L_0=\frac M2\dot x^2-\frac M2\omega^2x^2 になる。

  1. (1) 式 (5.7.8) にあたる式を書き、虚時間の伝播関数 DE(τ)=∫dk2πeikτM(k2+ω2)D_{\mathrm E}(\tau)=\int\frac{\mathrm{d} k}{2\pi}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} k\tau}}{M(k^2+\omega^2)} を計算せよ。
  2. (2) 実時間の DF(t)=∫dk02πi e−ik0tM((k0)2−ω2+iϵ)D_{\mathrm F}(t)=\int\frac{\mathrm{d} k^0}{2\pi}\frac{\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k^0t}}{M((k^0)^2-\omega^2+\mathrm{i}\epsilon)} を計算せよ。
  3. (3) 第4部第4章の x(t)=(a e−iωt+a†eiωt)/2Mωx(t)=(a\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}+a^\dagger\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t})/\sqrt{2M\omega} を使って ⟨0∣Tx(t)x(0)∣0⟩\langle 0 | Tx(t)x(0) | 0 \rangle を計算し、(2) と比べよ。
解答

(1) 2次の作用は ∫dt M2x(−∂t2−ω2)x\int\mathrm{d} t\,\frac M2x(-\partial_t^2-\omega^2)x なので、M(∂t2+ω2−iϵ)DF(t)=−i δ(t)M(\partial_t^2+\omega^2-\mathrm{i}\epsilon)D_{\mathrm F}(t)=-\mathrm{i}\,\delta(t)。虚時間では τ>0\tau>0 のとき上半面で閉じて極 k=iωk=\mathrm{i}\omega を拾い、2πi⋅e−ωτ2πM⋅2iω=e−ωτ2Mω2\pi\mathrm{i}\cdot\frac{\mathrm{e}^{-\omega\tau}}{2\pi M\cdot2\mathrm{i}\omega}=\frac{\mathrm{e}^{-\omega\tau}}{2M\omega}。τ<0\tau<0 も同様で

DE(τ)=e−ω∣τ∣2Mω.D_{\mathrm E}(\tau)=\frac{\mathrm{e}^{-\omega\lvert \tau\rvert }}{2M\omega}.

(2) 図 5.7.1 と同じく、t>0t>0 では下に閉じて e−iωt2Mω\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}}{2M\omega}、t<0t<0 では上に閉じて eiωt2Mω\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}}{2M\omega}。まとめてDF(t)=e−iω∣t∣2MωD_{\mathrm F}(t)=\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\lvert t\rvert }}{2M\omega} で、t=−iτt=-\mathrm{i}\tau（τ>0\tau>0）を入れると (1) に戻る。

(3) t>0t>0 では ⟨0∣x(t)x(0)∣0⟩=12Mω⟨0∣a e−iωta†∣0⟩=e−iωt2Mω\langle 0 | x(t)x(0) | 0 \rangle =\frac{1}{2M\omega}\langle 0 | a\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}a^\dagger | 0 \rangle =\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}}{2M\omega}。t<0t<0 では順序を入れ替えた ⟨0∣x(0)x(t)∣0⟩=eiωt2Mω\langle 0 | x(0)x(t) | 0 \rangle =\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}}{2M\omega}。どちらも (2) と一致する。t=0t=0 では基底状態の揺らぎ ⟨x2⟩=12Mω\langle x^2 \rangle =\frac{1}{2M\omega} で、伝播関数の t=0t=0 の値は零点振動の大きさに等しい。数値例 M=1.3M=1.3、ω=0.7\omega=0.7 で (1) の積分と (2) の iϵ=10−3\mathrm{i}\epsilon=10^{-3} の積分を数値で計算し、閉じた式と一致することを確かめた（検算 scripts/verify_ch5-07.py）。

1　R. P. Feynman (1949), Phys. Rev. 76, 749 と 769。複素スカラー場では負の振動数の部分が反粒子を表す（第5部第4章）。

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