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授業で習った形との対応

2026年10月15日9分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第5部 第7章 経路積分から摂動展開と Feynman 則へ
目次
  1. 非調和振動子の基底エネルギー
  2. 相互作用描像と Dyson 級数
  3. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第7章 §5.7.6　★★ 量子力学の Rayleigh–Schrödinger の摂動論と、場の量子論の相互作用描像の Dyson 級数を、経路積分の図と項ごとに並べる

非調和振動子の基底エネルギー

量子力学の授業では、H=H0+VH=H_0+V の基底エネルギーを

E0=E0(0)+⟨0∣V∣0⟩−∑n≠0∣⟨n∣V∣0⟩∣2En(0)−E0(0)+⋯(5.7.18)E_0=E_0^{(0)}+\langle 0 | V | 0 \rangle -\sum_{n\neq0}\frac{\lvert \langle n | V | 0 \rangle \rvert ^2}{E_n^{(0)}-E_0^{(0)}}+\cdots\tag{5.7.18}

と展開する（Rayleigh–Schrödinger の摂動論）。非調和振動子 H=p22M+M2ω2x2+λ4!x4H=\frac{p^2}{2M}+\frac M2\omega^2x^2+\frac{\lambda}{4!}x^4 では、x=(a+a†)/2Mωx=(a+a^\dagger)/\sqrt{2M\omega} を使って行列要素を計算する。

経路積分では、同じ量を虚時間の分配関数から出す。第5部第1章のとおり、長さ TET_{\mathrm E} の虚時間の経路積分は TE→∞T_{\mathrm E}\to\infty で e−E0TE\mathrm{e}^{-E_0T_{\mathrm E}} に近づくので

E0=−lim⁡TE→∞1TEln⁡ZE,ZE=∫Dx  e−SE[x],SE=∫[M2x˙2+M2ω2x2+λ4!x4]dτ(5.7.19)E_0=-\lim_{T_{\mathrm E}\to\infty}\frac{1}{T_{\mathrm E}}\ln Z_{\mathrm E},\qquad Z_{\mathrm E}=\int\mathcal Dx\;\mathrm{e}^{-S_{\mathrm E}[x]},\quad S_{\mathrm E}=\int\Bigl[\frac M2\dot x^2+\frac M2\omega^2x^2+\frac{\lambda}{4!}x^4\Bigr]\mathrm{d}\tau\tag{5.7.19}

である。ln⁡ZE\ln Z_{\mathrm E} は連結な真空の図の和で、虚時間では頂点が −λ4!∫dτ-\frac{\lambda}{4!}\int\mathrm{d}\tau、線が例題 5.7.3 の DE(τ)=e−ω∣τ∣/(2Mω)D_{\mathrm E}(\tau)=\mathrm{e}^{-\omega\lvert \tau\rvert }/(2M\omega) になる。1次は8の字で、−λ8∫dτ DE(0)2=−λ8TE(2Mω)2-\frac{\lambda}{8}\int\mathrm{d}\tau\,D_{\mathrm E}(0)^2=-\frac{\lambda}{8}\frac{T_{\mathrm E}}{(2M\omega)^2} から

E0(1)=λ32M2ω2E_0^{(1)}=\frac{\lambda}{32M^2\omega^2}

となる。Rayleigh–Schrödinger の1次 λ4!⟨0∣x4∣0⟩=λ24⋅3(2Mω)2\frac{\lambda}{4!}\langle 0 | x^4 | 0 \rangle =\frac{\lambda}{24}\cdot\frac{3}{(2M\omega)^2} と同じ値で、⟨0∣x4∣0⟩=3⟨x2⟩2\langle 0 | x^4 | 0 \rangle =3\langle x^2 \rangle ^2 の 33 が8の字の組み方の数 33 に当たる。2次は例題 5.7.6 で比べる。

相互作用描像と Dyson 級数

場の量子論の授業の多くは、経路積分を使わずに演算子で摂動論を組み立てる。H=H0+HintH=H_0+H_{\mathrm{int}} と分け、H0H_0 で時間発展させた場 ϕI(x)\phi_{\mathrm I}(x)（相互作用描像）を使うと、相互作用を含む真空 ∣Ω⟩| \Omega \rangle での時間順序積が

⟨Ω∣Tϕ(x)ϕ(y)∣Ω⟩=⟨0∣T ϕI(x)ϕI(y)exp⁡[−i∫dt Hint(t)]∣0⟩⟨0∣Texp⁡[−i∫dt Hint(t)]∣0⟩(5.7.20)\langle \Omega | T\phi(x)\phi(y) | \Omega \rangle =\frac{\langle 0 | T\,\phi_{\mathrm I}(x)\phi_{\mathrm I}(y)\exp\bigl[-\mathrm{i}\int\mathrm{d} t\,H_{\mathrm{int}}(t)\bigr] | 0 \rangle }{\langle 0 | T\exp\bigl[-\mathrm{i}\int\mathrm{d} t\,H_{\mathrm{int}}(t)\bigr] | 0 \rangle }\tag{5.7.20}

と書ける（Gell-Mann–Low の公式）。指数の時間順序積が Dyson 級数である。演算子の Wick の定理 TϕI(x)ϕI(y)=:ϕI(x)ϕI(y):+DF(x−y)T\phi_{\mathrm I}(x)\phi_{\mathrm I}(y)={:}\phi_{\mathrm I}(x)\phi_{\mathrm I}(y){:}+D_{\mathrm F}(x-y)（:  :{:}\;{:} は生成演算子を左に寄せる正規順序で、真空期待値が 00）を繰り返し使うと、分子の各項は DFD_{\mathrm F} の積の和になる1G. C. Wick (1950), Phys. Rev. 80, 268。下の脚注へ。

この章の経路積分の式と並べると、対応は次のとおりである。

相互作用描像（演算子）経路積分（この章）
Texp⁡[−i∫Hintdt]T\exp[-\mathrm{i}\int H_{\mathrm{int}}\mathrm{d} t]（Dyson 級数）exp⁡[i∫Lintd4x]\exp[\mathrm{i}\int\mathcal L_{\mathrm{int}}\mathrm{d}^4x] の展開（ϕ4\phi^4 のように微分を含まない相互作用では Hint=−∫Lintd3xH_{\mathrm{int}}=-\int\mathcal L_{\mathrm{int}}\mathrm{d}^3x）
時間順序の記号 TT を明示して付ける時間を刻んだ積分の中で自動的に時刻の順に並ぶ
演算子の Wick の定理（正規順序＋縮約）Gauss 積分の Wick の定理（定理 5.7.1）
縮約 ⟨0∣TϕIϕI∣0⟩\langle 0 | T\phi_{\mathrm I}\phi_{\mathrm I} | 0 \rangle2次の作用の逆 DFD_{\mathrm F}（式 (5.7.8)）
∣0⟩→∣Ω⟩| 0 \rangle \to| \Omega \rangle のための T(1−iϵ)T(1-\mathrm{i}\epsilon)同じ T(1−iϵ)T(1-\mathrm{i}\epsilon) が m2−iϵm^2-\mathrm{i}\epsilon になる
分母 ⟨0∣Te−i∫Hint∣0⟩\langle 0 | T\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\int H_{\mathrm{int}}} | 0 \rangleZ[0]Z[0]（真空の泡）

2つのやり方は同じ図と同じ規則になる。経路積分では、演算子の順序を気にする必要が無く、ℏ\hbar の数え方（5.7.5節）や虚時間への移行がそのまま見える。演算子で組み立てると、状態とユニタリ性が見えやすい。授業の Fermi の黄金律（第4部第12章）は、Dyson 級数の1次の項を長い時間で評価したものである。

例題 5.7.6　非調和振動子の2次のエネルギーを2通りに計算する ★★★

オリジナルM=ω=1M=\omega=1 とし、g=λ/24g=\lambda/24 とおいて H=p22+x22+gx4H=\frac{p^2}{2}+\frac{x^2}{2}+gx^4 とする（ℏ=1\hbar=1）。

  1. (1) 式 (5.7.18) の2次の項を計算せよ。⟨2∣x4∣0⟩\langle 2 | x^4 | 0 \rangle と ⟨4∣x4∣0⟩\langle 4 | x^4 | 0 \rangle が要る。
  2. (2) 虚時間の経路積分で、2頂点の連結な真空の図（スイカと亜鈴）から E0(2)E_0^{(2)} を計算せよ。DE(τ)=12e−∣τ∣D_{\mathrm E}(\tau)=\frac12\mathrm{e}^{-\lvert \tau\rvert } を使う。
  3. (3) (1)(2) が一致することを確かめ、λ=0.24\lambda=0.24（g=0.01g=0.01）で数値の対角化の結果 E0=0.50725620E_0=0.50725620 と比べよ。
解答

(1) x=(a+a†)/2x=(a+a^\dagger)/\sqrt2 から x4∣0⟩x^4| 0 \rangle を計算すると x4∣0⟩=14(3∣0⟩+62∣2⟩+26∣4⟩)x^4| 0 \rangle =\frac14\bigl(3| 0 \rangle +6\sqrt2| 2 \rangle +2\sqrt6| 4 \rangle \bigr) なので⟨2∣x4∣0⟩=322\langle 2 | x^4 | 0 \rangle =\frac{3\sqrt2}{2}、⟨4∣x4∣0⟩=62\langle 4 | x^4 | 0 \rangle =\frac{\sqrt6}{2}。エネルギーの差は 22 と 44 なので

E0(2)=−g2(9/22+3/24)=−g2(94+38)=−218g2.E_0^{(2)}=-g^2\Bigl(\frac{9/2}{2}+\frac{3/2}{4}\Bigr)=-g^2\Bigl(\frac94+\frac38\Bigr)=-\frac{21}{8}g^2.

(2) ln⁡ZE\ln Z_{\mathrm E} の2次は 12!(λ24)2∫dτ1dτ2⟨x(τ1)4x(τ2)4⟩連結\frac{1}{2!}\bigl(\frac{\lambda}{24}\bigr)^2\int\mathrm{d}\tau_1\mathrm{d}\tau_2\langle x(\tau_1)^4x(\tau_2)^4 \rangle _{\text{連結}} である（(−1)2=1(-1)^2=1）。例題 5.7.4 の (1) の組み方の数を使うと、連結な部分は 24DE(τ12)4+72DE(0)2DE(τ12)224D_{\mathrm E}(\tau_{12})^4+72D_{\mathrm E}(0)^2D_{\mathrm E}(\tau_{12})^2。∫−∞∞DE(τ)4dτ=116⋅24=132\int_{-\infty}^\infty D_{\mathrm E}(\tau)^4\mathrm{d}\tau=\frac{1}{16}\cdot\frac24=\frac{1}{32}、∫DE(τ)2dτ=14\int D_{\mathrm E}(\tau)^2\mathrm{d}\tau=\frac14、DE(0)=12D_{\mathrm E}(0)=\frac12 なので、τ2\tau_2 で積分すると TET_{\mathrm E} が掛かって

E0(2)=−12(λ24)2(2432+724⋅4)=−214⋅g22=−218g2.E_0^{(2)}=-\frac12\Bigl(\frac{\lambda}{24}\Bigr)^2\Bigl(\frac{24}{32}+\frac{72}{4\cdot4}\Bigr)=-\frac{21}{4}\cdot\frac{g^2}{2}=-\frac{21}{8}g^2.

スイカの寄与が −34⋅g22-\frac34\cdot\frac{g^2}{2}、亜鈴の寄与が −92⋅g22-\frac92\cdot\frac{g^2}{2} である。一般の M,ωM,\omega では E0(2)=−7λ21536M4ω5E_0^{(2)}=-\frac{7\lambda^2}{1536M^4\omega^5} になる。

(3) (1)(2) は一致する。g=0.01g=0.01 では E0≈12+34g−218g2=0.50723750E_0\approx\frac12+\frac34g-\frac{21}{8}g^2=0.50723750 で、対角化の 0.507256200.50725620 との差 1.87×10−51.87\times10^{-5} は3次の項 33316g3=2.08×10−5\frac{333}{16}g^3=2.08\times10^{-5} とほぼ同じ大きさである。Rayleigh–Schrödinger では中間状態 ∣2⟩| 2 \rangle、∣4⟩| 4 \rangle への和が、経路積分では2つの図の虚時間の積分が、同じ数を別の仕方で分けて数えている。

1　G. C. Wick (1950), Phys. Rev. 80, 268。

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