当てる道具：Gauss 積分と平方完成

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第7章 §5.7.2　★★★ $\int\mathrm{e}^{-\frac12x^{\mathsf T}Ax+J^{\mathsf T}x}\propto\mathrm{e}^{\frac12J^{\mathsf T}A^{-1}J}$ を源で微分すると、Gauss 分布の多項式の平均は「2つずつ組にする組み方の和」になる（Wick の定理）

有限次元の Gauss 積分

$n$ 個の実数 $x=(x_1,\dots,x_n)$ と、正定値の実対称行列 $A$ を考える。源の項をつけた Gauss 積分は、平方完成で計算することができる。$x=A^{-1}J+y$ とずらすと $-\frac12x^{\mathsf T}Ax+J^{\mathsf T}x=-\frac12y^{\mathsf T}Ay+\frac12J^{\mathsf T}A^{-1}J$ となり、$y$ の積分は $J$ によらないので

$$\int\mathrm{d}^nx\;\mathrm{e}^{-\frac12x^{\mathsf T}Ax+J^{\mathsf T}x}=\frac{(2\pi)^{n/2}}{\sqrt{\det A}}\;\mathrm{e}^{\frac12J^{\mathsf T}GJ},\qquad G=A^{-1}\tag{5.7.6}$$

を得る。ずらした先の点 $x_{\mathrm{cl}}=GJ$ は、指数の肩 $-\frac12x^{\mathsf T}Ax+J^{\mathsf T}x$ を停留させる点である。指数の肩は $x$ の2次式なので、停留点のまわりの展開は2次で終わり、第4部第7章（第4部第7章）の停留位相の評価がここでは近似でなく等号になる。指数に残った $\frac12J^{\mathsf T}GJ$ は、指数の肩の停留点での値そのものである。

規格化した平均 $\langle f \rangle _0=\int\mathrm{d}^nx\,\mathrm{e}^{-\frac12x^{\mathsf T}Ax}f(x)\big/\int\mathrm{d}^nx\,\mathrm{e}^{-\frac12x^{\mathsf T}Ax}$ で書くと$\langle \mathrm{e}^{J^{\mathsf T}x} \rangle _0=\mathrm{e}^{\frac12J^{\mathsf T}GJ}$ である。左辺を $J_i$ で微分して $J=0$ とおくと $x_i$ の多項式の平均が出る。

Wick の定理

$\mathrm{e}^{\frac12J^{\mathsf T}GJ}$ を $J_i$, $J_j$ で1回ずつ微分して $J=0$ とおくと $\langle x_ix_j \rangle _0=G_{ij}$ である。$G$ は2点の相関で、これを伝播関数と呼ぶ。4回微分すると、$\frac12J^{\mathsf T}GJ$ の2乗の項からだけ $0$ でない寄与が出て

$$\langle x_ix_jx_kx_l \rangle _0=G_{ij}G_{kl}+G_{ik}G_{jl}+G_{il}G_{jk}\tag{5.7.7}$$

になる。一般に次が成り立つ。

証明

$\mathrm{e}^{\frac12J^{\mathsf T}GJ}=\sum_{m}\frac{1}{m!}\bigl(\frac12\sum_{a,b}J_aG_{ab}J_b\bigr)^m$ を $J_{i_1},\dots,J_{i_{2n}}$ で微分して $J=0$ とおくと、$J$ の次数がちょうど $2n$ の項 $m=n$ だけが残る。$(\frac12\sum J_aG_{ab}J_b)^n$ の中の $2n$ 個の $J$ に、$2n$ 個の微分を1つずつ割り当てる仕方は $(2n)!$ 通りあり、どの割り当ても「どの2つの添字が同じ $G$ に入るか」という組み方を1つ決める。1つの組み方を与える割り当ては、$n$ 個の $G$ の並べ替え（$n!$ 通り）と、各 $G$ の中で2つの $J$ を入れ替えること（$2^n$ 通り）の分だけある。$\frac{1}{n!}\cdot\frac{1}{2^n}$ がちょうどこの重複を打ち消すので、各組み方は係数 $1$ で1回ずつ現れる。組み方の数は、最初の変数の相手の選び方 $2n-1$ 通り、残りの最初の変数の相手 $2n-3$ 通り、と続けて $(2n-1)!!$ である。

組み方の数 $(2n-1)!!$ は、例題 5.7.1 の $\langle \phi^{2n} \rangle _0$ と同じ数である。1変数では $G=1$ なので、組み方の数がそのまま平均になる。

場への持ち上げと $\mathrm{i}\epsilon$

場の場合は、添字 $i$ が時空の点 $x$ に、和が積分に替わる。自由な部分の作用を部分積分して$S_0[\phi]=\int\mathrm{d}^4x\,\frac12\phi\,(-\partial^2-m^2)\phi$ と書くと、重みの肩は

$$\mathrm{i} S_0[\phi]+\mathrm{i}\int\mathrm{d}^4x\,J\phi=-\frac12\int\mathrm{d}^4x\,\phi\,\bigl[\mathrm{i}(\partial^2+m^2-\mathrm{i}\epsilon)\bigr]\phi+\int\mathrm{d}^4x\,(\mathrm{i} J)\phi$$

となる。$-\mathrm{i}\epsilon$ は5.7.1節で時間を $T(1-\mathrm{i}\epsilon)$ と傾けたことから出る項で、$m^2$ を $m^2-\mathrm{i}\epsilon$ に置き換えることと同じである。この項によって肩に $-\frac{\epsilon}{2}\int\phi^2$ という実部が加わり、振動するだけの積分が収束する Gauss 積分になる。式 (5.7.6) で$A\to\mathrm{i}(\partial^2+m^2-\mathrm{i}\epsilon)$、$J\to\mathrm{i} J$ と読み替えると、$G=A^{-1}$ は

$$(\partial^2+m^2-\mathrm{i}\epsilon)\,D_{\mathrm F}(x-y)=-\mathrm{i}\,\delta^{(4)}(x-y)\tag{5.7.8}$$

を満たす関数 $D_{\mathrm F}$ になり、

$$Z_0[J]=Z_0[0]\;\exp\Bigl[-\frac12\int\mathrm{d}^4x\,\mathrm{d}^4y\;J(x)\,D_{\mathrm F}(x-y)\,J(y)\Bigr]\tag{5.7.9}$$

を得る（$\frac12(\mathrm{i} J)D_{\mathrm F}(\mathrm{i} J)=-\frac12JD_{\mathrm F}J$）。$Z_0$ は $\lambda=0$ の生成汎関数である。行列式 $\det A$ にあたる因子は $Z_0[0]$ に入り、$n$ 点関数 (5.7.4) では$Z[0]$ で割るので消える。有限次元の場合と同じく、指数の肩は停留点 $\phi_{\mathrm{cl}}$（自由な場の方程式 $(\partial^2+m^2)\phi_{\mathrm{cl}}=J$ の解）での$\mathrm{i}(S_0[\phi_{\mathrm{cl}}]+\int J\phi_{\mathrm{cl}})$ に等しい。