出てくるもの（1）：熱的な光の束（バンチング）

光学と量子エレクトロニクス　第32章 §32.3　★★★ 多数の独立な放射体の光は Gauss 型の確率過程になり、$g^{(2)}(\tau)=1+\lvert g^{(1)}(\tau)\rvert ^2$（Siegert の関係）。$\tau=0$ で $2$ になり、コヒーレンス時間 $\tau_{\mathrm c}$ の間だけ光子が固まって来る

Gauss 型の光と Siegert の関係

放電管や白熱灯の光は、互いに独立な多数の原子がばらばらの位相で出した光の和である。1つの点の場 $E(t)$ は多数の独立な寄与の和なので、中心極限定理により、実部と虚部が平均 $0$ の Gauss 分布に従う複素数の確率変数になる。このような光を熱的な光（カオス的な光）と呼ぶ。1つのモードの熱的な状態は、その1つのモードだけを取り出したものである。

平均 $0$ の複素 Gauss 型の確率変数では、4つの積の平均が2つの積の平均に分解する（Gauss の積率定理、Isserlis の定理とも呼ぶ）：

$$\langle E_1^*E_2^*E_2E_1 \rangle =\langle E_1^*E_1 \rangle \langle E_2^*E_2 \rangle +\langle E_1^*E_2 \rangle \langle E_2^*E_1 \rangle .$$

複素数の場では、$E$ と $E^*$ を1つずつ組む2通りだけが残る（$\langle EE \rangle =0$ だから）。$E_1=E(t)$、$E_2=E(t+\tau)$ と置いて $\langle I \rangle ^2$ で割ると、

$$g^{(2)}(\tau)=1+\lvert g^{(1)}(\tau)\rvert ^2\tag{32.11}$$

を得る。これを Siegert の関係と呼ぶ。熱的な光の強度の相関は、場の相関 $g^{(1)}$、つまりスペクトルで決まる。量子の場でも、熱的な状態は $P$ 表示が Gauss 関数なので、同じ分解が正規順序の期待値について成り立つ。

$\tau=0$ では $\lvert g^{(1)}(0)\rvert =1$ なので $g^{(2)}(0)=2$ で、1つのモードの熱的な状態の式 (32.8) と一致する。$\tau$ がコヒーレンス時間より長くなると $g^{(1)}\to0$ で $g^{(2)}\to1$ になる。光子の言葉では、熱的な光の光子は、1個が来た直後にもう1個が来る確率が、平均の2倍になる。光子がでたらめな時刻にばらばらに来るのでなく、コヒーレンス時間の程度の長さの塊になって来ることを、光子の束（バンチング）と呼ぶ。古典の言葉では、熱的な光の強度は指数分布に従って大きく揺らぎ（$\langle I^2 \rangle =2\langle I \rangle ^2$）、強い瞬間に2つの検出がまとまって起きる。

線の形を2つ並べる。第9章の結果を使うと、Lorentz 型の線（半値全幅 $\Gamma$。自然幅や衝突による広がり）では $\lvert g^{(1)}(\tau)\rvert ^2=\mathrm{e}^{-\Gamma\lvert \tau\rvert }$、Gauss 型の線（半値全幅 $\Delta\nu$。Doppler 幅）では $\lvert g^{(1)}(\tau)\rvert ^2=\exp\bigl(-\pi^2\Delta\nu^2\tau^2/(2\ln2)\bigr)$ である。第9章で定義したコヒーレンス時間 $\tau_{\mathrm c}=\int\lvert g^{(1)}(\tau)\rvert ^2\mathrm{d}\tau$ は、そのまま $g^{(2)}(\tau)-1$ の下の面積である。Lorentz 型で $\tau_{\mathrm c}=2/\Gamma$、Gauss 型で $\tau_{\mathrm c}=\sqrt{2\ln2/\pi}/\Delta\nu=0.664/\Delta\nu$ になる。

図 32.2　熱的な光の強度の相関 $g^{(2)}(\tau)=1+\lvert g^{(1)}(\tau)\rvert ^2$（Siegert の関係。どれも厳密な式なので点線）。横軸はコヒーレンス時間 $\tau_{\mathrm c}=\int\lvert g^{(1)}\rvert ^2\mathrm{d}\tau$ で測ったので、2本の曲線の $1$ より上の面積はどちらも $\tau_{\mathrm c}$ に等しい。レーザーの光（コヒーレント状態）は $1$ の水平線

検出器の時間分解能とモードの数

実際の検出器と電子回路は、時間 $t_{\mathrm d}$ の程度より細かい時刻の差を区別しない。幅 $t_{\mathrm d}$ の窓で平均した $\tau=0$ の値は

$$\bar g^{(2)}(0)=\frac{1}{t_{\mathrm d}}\int_{-t_{\mathrm d}/2}^{t_{\mathrm d}/2}g^{(2)}(\tau)\,\mathrm{d}\tau\approx1+\frac{\tau_{\mathrm c}}{t_{\mathrm d}}\qquad(t_{\mathrm d}\gg\tau_{\mathrm c})\tag{32.12}$$

で、束の高さは $\tau_{\mathrm c}/t_{\mathrm d}$ に縮む。普通のランプの光は線の幅が $\mathrm{GHz}$ 以上で $\tau_{\mathrm c}$ が $\mathrm{ns}$ 以下なので、束はほとんど見えない。同じことをモードの言葉で書くと、検出器が区別できない独立な熱的なモードが $M$ 個あるとき、モードの間のうなりが平均で消えて強度は各モードの強度の和になり、$g^{(2)}(0)=1+1/M$ となる。$M\approx t_{\mathrm d}/\tau_{\mathrm c}$ の対応である。

レーザーは、しきい値の下では自然放出の光、つまり熱的な光を出し、しきい値の上では利得の飽和が強度の揺らぎを抑えてコヒーレント状態に近い光を出す（第22章）。光子数がしきい値の付近でなめらかに変わるレーザーでも、$g^{(2)}(0)$ が $2$ から $1$ へ移ることで発振を判定することができる。Arecchi は、光子の計数の分布がレーザーの光では Poisson 分布、Gauss 型の光（回転するすりガラスで散乱させたレーザーの光）では Bose–Einstein 分布になることを測った（F. T. Arecchi (1965), Phys. Rev. Lett. 15, 912）。