出てくるもの（3）：アンチバンチングと単一光子源

光学と量子エレクトロニクス　第32章 §32.5　★★★ 1個の原子が光子を1個出すと原子は基底状態に戻るので、すぐには次の光子を出せない。$g^{(2)}(\tau)=\rho_{ee}(\tau\,|\,g)/\rho_{ee}(\infty)$ は光 Bloch 方程式の解そのもので、$g^{(2)}(0)=0$ は古典の光では起こらない

1個の原子の共鳴蛍光の $g^{(2)}(\tau)$

1個の2準位原子を、共鳴（$\Delta=0$）の連続した光で Rabi 周波数 $\Omega$ で揺らし、横から出てくる蛍光を数える。遠くの検出器の位置の正の周波数の場は、自由な場の部分と、原子の双極子が出す部分の和で、後者は原子の下げる演算子 $\sigma_-=| g \rangle \langle e |$ に比例する（遅れ $r/c$ は時刻の原点をずらして消す）：

$$\hat E^{(+)}(\bm{r},t)=\hat E^{(+)}_{\mathrm{free}}(\bm{r},t)+\psi(\bm{r})\,\sigma_-(t).$$

$\psi(\bm{r})$ は双極子の放射のパターンを表す数である（導出は 第34章）。照らす光が来ない向きでは自由な場の部分は真空で、正規順序の期待値から消える。したがって

$$G^{(2)}(\tau)\propto\langle \sigma_+(t)\sigma_+(t+\tau)\sigma_-(t+\tau)\sigma_-(t) \rangle ,\qquad G^{(1)}(0)\propto\langle \sigma_+\sigma_- \rangle =\rho_{ee}(\infty)\tag{32.15}$$

になる。$\rho_{ee}(\infty)$ は光 Bloch 方程式の定常解の上の準位の占有である。

2つの時刻の積の期待値は、量子回帰定理で1つの時刻の量に直す。原子の密度行列が Markov の方程式 $\frac{\mathrm{d} \hat\rho}{\mathrm{d} t}=\mathcal L\hat\rho$（第19章の光 Bloch 方程式）に従うとき、

$$\langle \sigma_+(t)\sigma_+(t+\tau)\sigma_-(t+\tau)\sigma_-(t) \rangle =\operatorname{Tr}\Bigl[\sigma_+\sigma_-\,\mathrm{e}^{\mathcal L\tau}\bigl(\sigma_-\hat\rho(t)\sigma_+\bigr)\Bigr]$$

が成り立つ。$\sigma_-\hat\rho\sigma_+=\rho_{ee}| g \rangle \langle g |$ は、時刻 $t$ に光子を1個出した直後の原子が基底状態 $| g \rangle$ にあることを表す。$\mathrm{e}^{\mathcal L\tau}$ は、そこから光 Bloch 方程式に従って時間 $\tau$ だけ動かすことを表す。定常状態で

$$g^{(2)}(\tau)=\frac{\rho_{ee}(\tau\,|\,g)}{\rho_{ee}(\infty)}\tag{32.16}$$

を得る。$\rho_{ee}(\tau\,|\,g)$ は、時刻 $0$ に基底状態にあった原子が時刻 $\tau$ に上の準位にいる確率である。

$\rho_{ee}(\tau\,|\,g)$ は、第19章で求めた減衰する Rabi 振動の解（Torrey 型の解）そのもので、自然放出だけ（$T_1=1/\Gamma$、$T_2=2/\Gamma$）のとき

$$g^{(2)}(\tau)=1-\mathrm{e}^{-3\Gamma\tau/4}\Bigl(\cos\mu\tau+\frac{3\Gamma}{4\mu}\sin\mu\tau\Bigr),\qquad \mu=\sqrt{\Omega^2-\frac{\Gamma^2}{16}}\tag{32.17}$$

である（$\Omega<\Gamma/4$ では $\mu$ が純虚数になり、三角関数が双曲線関数になる）。光が弱い極限 $\Omega\to0$ では

$$g^{(2)}(\tau)=\bigl(1-\mathrm{e}^{-\Gamma\tau/2}\bigr)^2\tag{32.18}$$

になる。どの $\Omega$ でも $g^{(2)}(0)=0$ で、小さい $\tau$ では $g^{(2)}(\tau)\approx(\Gamma^2/2+\Omega^2)\tau^2/2$ と2乗で立ち上がる。

$g^{(2)}(0)=0$ の理由は、光子を1個出した原子が基底状態に落ち、もう1個を出すには光に揺らされて再び上へ上がる時間（$1/\Omega$ と $1/\Gamma$ の程度）が要ることにある。光子は互いに離れて1個ずつ来る。$g^{(2)}(\tau)>g^{(2)}(0)$ であることをアンチバンチングと呼ぶ。$g^{(2)}(0)<1$ なので、命題 32.1 により、この光は古典の場の強度の揺らぎでは説明できない。

Kimble, Dagenais, Mandel は、色素レーザーで揺らしたナトリウムの原子線の蛍光で、$\tau=0$ の付近の同時計数が減ることを観測した（H. J. Kimble, M. Dagenais and L. Mandel (1977), Phys. Rev. Lett. 39, 691）。光の量子化を要する現象の最初の観測の1つである。原子線では観測する体積の中の原子の数が揺らぐので、測った $g^{(2)}(0)$ は $0$ まで下がらなかった。

アンチバンチングとサブ Poisson の統計は別の性質である。$Q_{\mathrm M}$ は長い窓で数えた光子数の分散で決まり、窓 $t_{\mathrm w}$ が相関の時間より十分長いとき、検出の速さを $R$ として

$$Q_{\mathrm M}=R\int_{-\infty}^{\infty}\bigl(g^{(2)}(\tau)-1\bigr)\mathrm{d}\tau\tag{32.19}$$

になる（$\mathrm{Var}\,N=\bar N+R^2\int_0^{t_{\mathrm w}}\!\int_0^{t_{\mathrm w}}(g^{(2)}(t_1-t_2)-1)\mathrm{d} t_1\mathrm{d} t_2$ から出る）。$g^{(2)}(0)<1$ でも、$1$ を超える山の面積が大きければ $Q_{\mathrm M}$ は負にならないことがある。共鳴蛍光では式 (32.17) を積分して $\int_0^\infty(g^{(2)}-1)\mathrm{d}\tau=-(3\Gamma/2)/(\Gamma^2/2+\Omega^2)$ で、いつも負である。

単一光子源とその評価

光子を1個ずつ、決まった時刻に出す光源を単一光子源と呼び、量子鍵配送や光の量子計算に使う。1個の原子・イオン・半導体の量子ドット・ダイヤモンドの色中心のような、1個の2準位系に近いものをパルスで1回ずつ上へ上げれば、パルス1回につき光子は多くても1個である。Michler らは、1個の量子ドットをパルスで励起し、パルスごとに光子を1個出す光源を示した（P. Michler et al. (2000), Science 290, 2282）。光子対の片方を検出してもう片方の存在を知る方法は第33章（第33章）で扱う。

実際の測定では、1個の放射体の光に背景の光（散乱したレーザーの光、検出器の暗計数）が混ざる。放射体の光の強度を $S$、背景を $B$（Poisson の統計、$g^{(2)}=1$）とし、両者が独立で、両者の間のうなりは検出器が区別できない速さで平均されるとすると、

$$g^{(2)}(0)=\frac{g_{\mathrm s}S^2+B^2+2SB}{(S+B)^2},\qquad g_{\mathrm s}=0\ \text{なら}\ g^{(2)}(0)=1-\rho^2,\quad \rho=\frac{S}{S+B}\tag{32.20}$$

になる。等しい強さの独立な単一光子源が $N$ 個あると、異なる放射体からの2個の組だけが同時計数を作るので $g^{(2)}(0)=N(N-1)/N^2=1-1/N$ である。2個で $1/2$ になるので、測った $g^{(2)}(0)$ が $1/2$ より小さいことを、放射体が1個であることの目安として使う。