取り出すモード：2つの入口と2つの出口

光学と量子エレクトロニクス　第33章 §33.1　★★★ 損失の無いビームスプリッタは出口の消滅演算子を $\hat b=S\hat a$ と入口の消滅演算子の線形結合にし、$S$ がユニタリであることが交換関係を保つ条件になる。光を入れない入口にも真空のモードがあり、それを省くと交換関係が成り立たない

第9章（第9章）では、ビームスプリッタを古典的な場の複素振幅を混ぜる $2\times2$ のユニタリ行列として扱い、Mach–Zehnder 干渉計の縞を出した。第32章（第32章）では、1つのモードの光子の数の統計を $g^{(2)}$ で測り、光子が1個ずつ来る光と古典の光を区別した。この章では、同じユニタリ行列を量子化した場の消滅演算子に当て、2つのモードにまたがる光子の状態を調べる。古典の干渉計では見えなかったことが2つ出てくる。1つは、区別できない2個の光子を 50:50 のビームスプリッタの2つの入口から同時に入れると、2個がいつも同じ出口から出てくることである（Hong–Ou–Mandel 干渉）。もう1つは、2つのモードにまたがる光子の対が、片方を測ると他方の状態が決まる相関を持てることである（光子対ともつれ）。

この章で取り出すモードは、ビームスプリッタの2つの入口と2つの出口の進行波のモードである。各モードを第30章（第30章）の1つの振動子として量子化し、消滅演算子 $\hat a_1$, $\hat a_2$（入口）と $\hat b_1$, $\hat b_2$（出口）で書く。物質のモデルは2つある。1つは光を吸わない線形の素子（ビームスプリッタ）で、光子の数を変えずにモードを混ぜる。もう1つは光子の対を作る源で、第17章（第17章）の $\chi^{(2)}$ の結晶（ポンプ光子1個を2個に分ける）と、第18章（第18章）の2準位を2段に重ねた原子のカスケード（上の準位から2個の光子を続けて出す）を扱う。結合は、ビームスプリッタではモードどうしの1次の結合 $\hat a_1^\dagger\hat a_2+\mathrm{h.c.}$、結晶ではポンプの古典の振幅を掛けた $\hat a_{\mathrm s}^\dagger\hat a_{\mathrm i}^\dagger+\mathrm{h.c.}$、原子では第18章の双極子相互作用である。

33.1節でビームスプリッタの演算子の変換を作り、空いている入口の真空を省けない理由を示す。33.2節で、入口の状態を出口の状態に書き換える手順（生成演算子の置き換え）を作り、コヒーレント状態・数状態・損失に当てる。33.3節と33.4節が「出てくるもの」で、Hong–Ou–Mandel 干渉の谷と、光子対の状態（2モードのスクイーズド真空と偏光のもつれた対）を出す。33.5節で置いた近似と確かめる実験の量を述べ、33.6節で古典の光学と量子力学の授業の式と並べ、33.7節でまとめる。

古典の散乱行列を演算子に当てる

第9章では、2つの入口の平面波の複素振幅 $a_1$, $a_2$ を2つの出口の振幅 $b_1$, $b_2$ に移す散乱行列

$$\begin{pmatrix}b_1\\ b_2\end{pmatrix}=S\begin{pmatrix}a_1\\ a_2\end{pmatrix},\qquad S=\begin{pmatrix}t&r'\\ r&t'\end{pmatrix}\tag{33.1}$$

を考え、光を吸わない素子では $S$ がユニタリであることを示した（第9章の命題）。対称な素子では $t=t'$, $r=r'$ で、反射は透過から位相が $\pi/2$ ずれる。この章では位相を $t=\sqrt T$（実数）、$r=\mathrm{i}\sqrt R$ に選び、$T+R=1$ とする。50:50 の素子では

$$S_{50}=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&\mathrm{i}\\ \mathrm{i}&1\end{pmatrix}\tag{33.2}$$

である。

場を量子化すると、各モードの複素振幅は消滅演算子に置き換わる（第30章）。進行波の1つのモードの電場は、記法の正本の展開のうちそのモードの項だけを取り出して $\hat E\propto\mathrm{i}(\hat a\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kz-\omega t)}-\mathrm{h.c.})$ と書ける。ビームスプリッタは Maxwell 方程式の線形な境界条件で入口の場を出口の場に移すので、場の演算子にも同じ線形の関係が成り立つ。したがって

$$\hat b_1=t\,\hat a_1+r'\hat a_2,\qquad\hat b_2=r\,\hat a_1+t'\hat a_2\tag{33.3}$$

である。古典の式 (33.1) の振幅を、そのまま演算子に読み替えたものになっている。

出口のモードも1つの振動子なので、$\left[\hat b_j,\,\hat b_k^\dagger\right]=\delta_{jk}$ と $\left[\hat b_j,\,\hat b_k\right]=0$ が成り立たなければならない。式 (33.3) に入口の交換関係 $\left[\hat a_j,\,\hat a_k^\dagger\right]=\delta_{jk}$ を入れると

$$\left[\hat b_j,\,\hat b_k^\dagger\right]=\sum_{l}S_{jl}S_{kl}^*=(SS^\dagger)_{jk}$$

なので、交換関係が保たれる条件は $SS^\dagger=1$、つまり $S$ がユニタリであることである。古典の議論では「エネルギーが保存する」ことからユニタリ性を出したが、量子論では「出口も振動子である」ことからも同じ条件が出る。

空いている入口の真空

古典の干渉計で入口2に光を入れないときは、$a_2=0$ とおいて $b_1=ta_1$, $b_2=ra_1$ と書けばよかった。量子論で同じことをして $\hat b_1=t\hat a_1$ だけを残すと、

$$\left[\hat b_1,\,\hat b_1^\dagger\right]=\lvert t\rvert ^2\left[\hat a_1,\,\hat a_1^\dagger\right]=T<1$$

となり、出口のモードが振動子でなくなる。光を入れない入口2にも、光子の数が $0$ の状態（真空）にあるモード $\hat a_2$ があり、その寄与 $r'\hat a_2$ を省くことはできない。真空のモードの演算子は、光子の数の期待値には寄与しない（$\hat a_2| 0 \rangle =0$）が、出口の光子の数のゆらぎと交換関係には寄与する。第31章（第31章）のスクイーズド光で、この入口に真空の代わりにスクイーズド真空を入れて干渉計の雑音を下げる。

ビームスプリッタを生成子で書く

ユニタリな $S$ を、2つのモードの空間のユニタリ演算子 $\hat U$ で $\hat b_j=\hat U^\dagger\hat a_j\hat U$ と書くこともできる。$\hat G=\hat a_1^\dagger\hat a_2+\hat a_2^\dagger\hat a_1$ とおき、

$$\hat U(\theta)=\exp\bigl[\mathrm{i}\theta(\hat a_1^\dagger\hat a_2+\hat a_2^\dagger\hat a_1)\bigr]\tag{33.4}$$

とする。$\left[\hat G,\,\hat a_1\right]=-\hat a_2$、$\left[\hat G,\,\hat a_2\right]=-\hat a_1$ なので、$\hat U^\dagger\hat a_1\hat U$ を $\theta$ で展開した級数は $\cos\theta$ と $\sin\theta$ の級数にまとまり、

$$\hat U^\dagger\hat a_1\hat U=\hat a_1\cos\theta+\mathrm{i}\hat a_2\sin\theta,\qquad\hat U^\dagger\hat a_2\hat U=\mathrm{i}\hat a_1\sin\theta+\hat a_2\cos\theta$$

を得る。これは式 (33.3) で $t=t'=\cos\theta$, $r=r'=\mathrm{i}\sin\theta$ とおいたもので、$\theta=\pi/4$ が 50:50 である。生成子 $\hat G$ は光子を一方のモードから他方へ移す項だけからなり、全光子数 $\hat a_1^\dagger\hat a_1+\hat a_2^\dagger\hat a_2$ と交換する。ビームスプリッタは光子を作りも消しもせず、光子の数の和を保つ。$\hat G$ は第15章（第15章）の Stokes パラメータの1つと同じ形をしていて、2つのモードの空間でのビームスプリッタは、Poincaré 球の上の回転として書ける（偏光の2つのモードを混ぜる波長板が同じ形になる）。