この章のまとめ

(1) $\bar n=\sinh^2(0.1)=0.01003$、1光子の割合は $1-\tanh^2(0.1)=0.990$、$g^{(2)}_{\mathrm h}(0)=2\bar n/(1+\bar n)=0.0199$ である（例題 33.4）。第17章の古典の利得 $\cosh^2(gL)$ では $gL=0.1$ の増幅は $1\%$ にすぎないが、真空からの対の生成はちょうどその $1\%$（$\cosh^2-1=\sinh^2$）に当たる。

(2) 式 (33.11) から出口の状態は $\frac{\mathrm{i}}{\sqrt2}(| 2,0 \rangle +| 0,2 \rangle )$ で、同時計数の確率は $0$ である。第9章の命題のとおり、損失の無い対称な素子では $\operatorname{Re}(t^*r)=0$ で、$t=1/\sqrt2$ を実数に選べば $r$ は純虚数になる。同時計数の振幅 $tt'+rr'=\frac12+\mathrm{i}^2\cdot\frac12=0$ の打ち消しは、この位相の $\mathrm{i}$ が2回掛かることによる。

(3) $\Delta\omega=2\pi c\Delta\lambda/\lambda^2=2\pi\times3.00\times10^8\times10^{-9}/(810\times10^{-9})^2=2.871\times10^{12}\,\mathrm{s^{-1}}$、$\sigma=\Delta\omega/(2\sqrt{2\ln2})=1.219\times10^{12}\,\mathrm{s^{-1}}$。谷の半値全幅は $2\sqrt{\ln2}/\sigma=1.366\,\mathrm{ps}$、光路差で $0.410\,\mathrm{mm}$ である。帯域を $5\,\mathrm{nm}$ から $1\,\mathrm{nm}$ に狭めると、谷は例題 33.3 より広くなる（波長の2乗を除けば帯域に反比例）。

(4) 2つの波束 $\lvert \phi_j(\omega)\rvert ^2$ が標準偏差 $\sigma$ の Gauss で中心が $\delta=2\pi c\,\delta\lambda/\lambda^2$ ずれると、$\phi_j\propto\exp[-(\omega-\omega_j)^2/(4\sigma^2)]$ の重なりは $J=\exp[-\delta^2/(8\sigma^2)]$ で、可視度は

$$V=\lvert J\rvert ^2=\exp\Bigl(-\frac{\delta^2}{4\sigma^2}\Bigr)$$

になる。$\delta\lambda=0.2\,\mathrm{nm}$ では $\delta=5.74\times10^{11}\,\mathrm{s^{-1}}$ で $V=0.946$ である。$V>1/2$ の条件は $\delta<2\sigma\sqrt{\ln2}=\Delta\omega/\sqrt2$、波長では $\delta\lambda<\Delta\lambda/\sqrt2=0.707\,\mathrm{nm}$ で、帯域の半値全幅の $1/\sqrt2$ 倍までのずれなら古典の上限を超える谷が見える。

(5) 出口の損失は、出口ごとに真空の入口を持つビームスプリッタを足したもので、2個の光子がそれぞれ確率 $\eta$ で残る。同時計数は2個とも残ったときにだけ起こるので、$P_{\mathrm c}(\infty)=\eta^2\times\frac12=0.045$、$P_{\mathrm c}(0)=\eta^2\times0=0$ になり、可視度は $1$ のまま変わらない。損失は計数の速さを $\eta^2=0.09$ 倍に下げるが、谷の深さは下げない。谷を浅くする原因は、(1) の2組の対の混入（$g^{(2)}_{\mathrm h}>0$）と (4) の区別の手がかりである。