当てる道具：生成演算子の置き換え

光学と量子エレクトロニクス　第33章 §33.2　★★★ 入口の状態を生成演算子の多項式で書き、$\hat a_j^\dagger=\sum_kS_{kj}\hat b_k^\dagger$ を代入すると出口の状態になる。コヒーレント状態は積のまま、数状態は二項分布に分かれ、損失は真空の入口を持つビームスプリッタとして書ける

Schrödinger 描像の書き換え

式 (33.3) は演算子の変換（Heisenberg 描像）である。入口の状態を与えて出口の状態を求めるには、逆向きの関係を使う。$S$ がユニタリなので $\hat a_j=\sum_k(S^\dagger)_{jk}\hat b_k=\sum_kS_{kj}^*\hat b_k$ で、そのエルミート共役をとると

$$\hat a_j^\dagger=\sum_kS_{kj}\hat b_k^\dagger,\qquad\text{つまり}\quad\hat a_1^\dagger=t\,\hat b_1^\dagger+r\,\hat b_2^\dagger,\quad\hat a_2^\dagger=r'\hat b_1^\dagger+t'\hat b_2^\dagger\tag{33.5}$$

になる。入口の生成演算子は、行列 $S$ の列に沿って出口の生成演算子に分かれる。

光子の状態は、真空 $| 0,0 \rangle$ に生成演算子の多項式 $f(\hat a_1^\dagger,\hat a_2^\dagger)$ を掛けて書ける。ビームスプリッタは真空を真空に移す（光子の数を保つので、光子 $0$ 個の状態は $0$ 個のまま）ので、出口の状態は

$$f(\hat a_1^\dagger,\hat a_2^\dagger)| 0,0 \rangle \ \longmapsto\ f\Bigl(t\hat b_1^\dagger+r\hat b_2^\dagger,\ r'\hat b_1^\dagger+t'\hat b_2^\dagger\Bigr)| 0,0 \rangle\tag{33.6}$$

である。この章の計算は、すべてこの代入と、$(\hat b^\dagger)^n| 0 \rangle =\sqrt{n!}| n \rangle$ の書き換えで済む。

コヒーレント状態と数状態

コヒーレント状態（第31章）は、変位演算子 $\hat D(\alpha)=\exp(\alpha\hat a^\dagger-\alpha^*\hat a)$ を真空に掛けたもので、$\exp$ の肩が生成消滅演算子の1次式である。入口1に $| \alpha \rangle$、入口2に $| \beta \rangle$ を入れると、肩の1次式に式 (33.5) を代入して

$$| \alpha \rangle _1| \beta \rangle _2\ \longmapsto\ | t\alpha+r'\beta \rangle _{1}| r\alpha+t'\beta \rangle _{2}\tag{33.7}$$

を得る（右辺は出口のモードの状態）。出口の振幅は古典の式 (33.1) の振幅と同じで、状態は2つのコヒーレント状態の積のまま、つまり2つの出口の光子の数は互いに独立な Poisson 分布になる。レーザーの光をビームスプリッタで分けても、2つの出口の光子の数に相関は生じない。熱的な光のようにコヒーレント状態の確率的な混合で書ける光（古典の光）を入れても、出口の状態は積の混合のままである。数状態のように古典の光で書けない光を入れたときに限り、2つの出口の状態は積の混合で書けなくなる（もつれる）。

数状態 $| N \rangle _1| 0 \rangle _2=(\hat a_1^\dagger)^N| 0,0 \rangle /\sqrt{N!}$ を入れると、二項展開から

$$| N,0 \rangle \ \longmapsto\ \sum_{k=0}^N\sqrt{\binom Nk}\,t^kr^{N-k}| k,N-k \rangle ,\qquad P(k)=\binom NkT^kR^{N-k}\tag{33.8}$$

になる。$N$ 個の光子が、それぞれ独立に確率 $T$ で出口1を選んだときの二項分布である。出口1の光子の数の平均は $NT$、分散は $NTR$ で、入口の分散 $0$ の数状態から、分散のある状態が出てくる。

損失はビームスプリッタ

光が途中で一部失われる過程（吸収・散乱・検出器の量子効率が $1$ より小さいこと）は、透過率 $\eta$ のビームスプリッタの一方の出口だけを残し、もう一方を捨てたものとして書ける。捨てた出口の光が戻ってこない限り、損失の詳しい仕組みはこのモデルの結果に入らない。空いている入口には真空が入るので、出口の消滅演算子は $\hat b=\sqrt\eta\,\hat a+\sqrt{1-\eta}\,\hat v$（$\hat v$ は真空のモード）になる。真空の期待値 $\hat v| 0 \rangle =0$ を使うと、正規順序（生成演算子を左に並べた順）の相関は

$$\langle \hat b^\dagger\hat b \rangle =\eta\langle \hat a^\dagger\hat a \rangle ,\qquad\langle \hat b^{\dagger2}\hat b^2 \rangle =\eta^2\langle \hat a^{\dagger2}\hat a^2 \rangle$$

になる。第32章の $g^{(2)}(0)=\langle \hat a^{\dagger2}\hat a^2 \rangle /\langle \hat a^\dagger\hat a \rangle ^2$ では分子と分母がともに $\eta^2$ 倍になるので、損失があっても $g^{(2)}(0)$ は変わらない。効率の低い検出器で測っても、アンチバンチング（$g^{(2)}(0)<1$）の判定は損なわれない。損失で変わるのは平均の光子の数と、数のゆらぎの大きさ（Fano 因子）である。