授業で習った形との対応

光学と量子エレクトロニクス　第33章 §33.6　★★ 光学の授業のビームスプリッタの強度の式・Stokes の関係・Malus の法則と、量子力学の授業のスピンの一重項の Bell の相関が、この章の演算子の変換と偏光の対のどこに当たるか

光学の授業では、ビームスプリッタを強度の透過率 $T$ と反射率 $R$ で書き、2つの入口から同じ周波数のコヒーレントな光を入れたときの出口の強度を

$$I_{3}=TI_1+RI_2+2\sqrt{TRI_1I_2}\,\cos(\varphi+\delta)$$

と習う（$\delta$ は透過と反射の位相の差で決まる定数）。2つの出口の干渉項が逆符号であること（片方が明るいと他方が暗い）は、Stokes の関係 $r'=-r$（第9章の「授業で習った形との対応」の節）から出る。この章の式 (33.3) は、同じ振幅の関係を演算子で書いたもので、期待値をとると上の強度の式に戻る。古典の式で $I_2=0$ とおいて入口2を消したところに、量子論では真空のモードが残る。その真空は強度の期待値には寄与しないので、古典の式では見えない。

光学の授業の Malus の法則 $I=I_0\cos^2(\alpha-\beta)$（偏光子を通った光をもう1枚の偏光子に通したときの強度）は、1光子では「角 $\alpha$ の偏光の光子が角 $\beta$ の偏光子を透過する確率が $\cos^2(\alpha-\beta)$」と読む。式 (33.21) の対では、光子1が角 $\alpha$ の偏光子を透過した瞬間に光子2の偏光は $| \alpha \rangle$ に決まり、光子2の透過の確率は Malus の法則の $\cos^2(\alpha-\beta)$ になる。これと光子1の透過の確率 $1/2$ を掛けたものが、本文の $\frac12\cos^2(\alpha-\beta)$ である。

量子力学の授業では、Bell の不等式をスピン $\frac12$ の2粒子の一重項 $(| \uparrow\downarrow \rangle -| \downarrow\uparrow \rangle )/\sqrt2$ で習い、軸のなす角を $\theta$ として相関を

$$E_{\mathrm{spin}}(\theta)=-\cos\theta$$

と書く。光子の偏光の式 (33.22) との違いは2つある。1つは角が2倍になることで、スピンの Bloch 球と偏光の Poincaré 球の対応（第15章）では、偏光子の角 $\alpha$ が球の上の角 $2\alpha$ に当たる。偏光子を $90^\circ$ 回すと直交する偏光になり、スピンの軸を $180^\circ$ 回したのと同じになる。もう1つは符号で、一重項は2つのスピンが逆向きに相関し、式 (33.21) の対は2つの偏光が同じ向きに相関する。どちらの対を使っても、CHSH の4つの角を選び直せば $\lvert S\rvert =2\sqrt2$ になる。