当てる道具：光子数の分布と $g^{(2)}(0)$

光学と量子エレクトロニクス　第32章 §32.2　★★★ 1つのモードの $g^{(2)}(0)=1+(\mathrm{Var}\,n-\bar n)/\bar n^2$ は光子数の分布の幅で決まる。コヒーレント状態で $1$、熱的な光で $2$、光子数状態 $| N \rangle$ で $1-1/N$。古典の光は $g^{(2)}(0)\ge1$ を満たす

1つのモードの $g^{(2)}(0)$

1つのモードでは、式 (32.4) の $\tau=0$ の値は、$E_{\mathrm{ph}}$ と位相の因子が分子と分母で消えて

$$g^{(2)}(0)=\frac{\langle \hat a^{\dagger2}\hat a^2 \rangle }{\langle \hat a^\dagger\hat a \rangle ^2}=\frac{\langle \hat n(\hat n-1) \rangle }{\bar n^2}=1+\frac{\mathrm{Var}\,n-\bar n}{\bar n^2}\tag{32.6}$$

になる。$\bar n=\langle \hat n \rangle$、$\mathrm{Var}\,n=\langle \hat n^2 \rangle -\bar n^2$ である。光子数の分布 $P_n$（光子が $n$ 個ある確率）の平均と分散だけで決まる。分散が平均に等しい分布、つまり Poisson 分布を基準にとり、そこからのずれを

$$Q_{\mathrm M}=\frac{\mathrm{Var}\,n-\bar n}{\bar n}=\bar n\bigl(g^{(2)}(0)-1\bigr)\tag{32.7}$$

と書いて Mandel の $Q$ パラメータと呼ぶ。$Q_{\mathrm M}>0$ を超 Poisson、$Q_{\mathrm M}<0$ をサブ Poisson と呼ぶ。

3つの代表的な状態で分布を比べる。

コヒーレント状態 $| \alpha \rangle$ では $P_n=\mathrm{e}^{-\bar n}\bar n^n/n!$（$\bar n=\lvert \alpha\rvert ^2$）の Poisson 分布である（第31章）。$\hat a| \alpha \rangle =\alpha| \alpha \rangle$ から直接 $\langle \hat a^{\dagger2}\hat a^2 \rangle =\lvert \alpha\rvert ^4$ となり、$g^{(2)}(0)=1$、$Q_{\mathrm M}=0$ である。しきい値より上のレーザーの光はこの状態に近い。

熱的な状態は、1つのモードが熱平衡にあるときの $\hat\rho\propto\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega\hat n}$ で、平均光子数 $\bar n$ で書くと

$$P_n=\frac{\bar n^n}{(1+\bar n)^{n+1}},\qquad \mathrm{Var}\,n=\bar n+\bar n^2,\qquad g^{(2)}(0)=2\tag{32.8}$$

になる（Bose–Einstein 分布）。$\bar n=n_{\mathrm B}(\omega)$ は Planck 分布である。$P_n$ は $n=0$ が最も大きく、$n$ とともに等比で減る。

光子数状態 $| N \rangle$ では分散が $0$ なので、$g^{(2)}(0)=1-1/N$、$Q_{\mathrm M}=-1$ である。$N=1$ では $g^{(2)}(0)=0$ になる。

古典の光は $g^{(2)}(0)\ge1$

古典の光と量子の光の境目をはっきりさせるために、状態をコヒーレント状態の重ね合わせ（混合）で書く。

$$\hat\rho=\int P(\alpha)\,| \alpha \rangle \langle \alpha |\,\mathrm{d}^2\alpha\tag{32.9}$$

を Glauber–Sudarshan の $P$ 表示と呼ぶ。どんな状態もこの形に書けるが、$P(\alpha)$ は普通の関数にならず、負の値や特異な超関数になることがある。$P(\alpha)$ が確率密度（非負の関数）になる状態は、振幅 $\alpha$ がでたらめに揺らぐ古典の場と区別がつかないので、古典の状態と呼ぶ。コヒーレント状態（$P$ はデルタ関数）と熱的な状態（$P$ は Gauss 関数）は古典の状態で、光子数状態は古典の状態でない。

証明

正規順序の積の期待値は、$\hat a| \alpha \rangle =\alpha| \alpha \rangle$ と $\langle \alpha |\hat a^\dagger=\alpha^*\langle \alpha |$ から $\langle \hat a^{\dagger k}\hat a^k \rangle =\int P(\alpha)\lvert \alpha\rvert ^{2k}\mathrm{d}^2\alpha$ になる。$P\ge0$ を確率密度とみなし、$x=\lvert \alpha\rvert ^2$ の平均を $\langle x \rangle _P$ と書くと、$\langle \hat a^{\dagger2}\hat a^2 \rangle -\langle \hat a^\dagger\hat a \rangle ^2=\langle x^2 \rangle _P-\langle x \rangle _P^2=\langle (x-\langle x \rangle _P)^2 \rangle _P\ge0$ である。両辺を $\langle \hat a^\dagger\hat a \rangle ^2$ で割れば $g^{(2)}(0)-1\ge0$ を得る。

古典の言葉では、$g^{(2)}(0)-1$ は強度の揺らぎの分散 $\langle I^2 \rangle -\langle I \rangle ^2$ を $\langle I \rangle ^2$ で割ったもので、負にならない。光子数状態の光は、強度が揺らがない以上に光子数がそろっている。

ビームスプリッタと損失は $g^{(2)}(0)$ を変えない

1台の検出器は、1回鳴った後しばらく鳴らない（不感時間。数十 ns が多い）。そのため短い $\tau$ の $g^{(2)}$ は、光を 50:50 のビームスプリッタで2つに分け、2つの出口に置いた検出器の同時計数で測る（32.4節の Hanbury Brown–Twiss の配置）。ビームスプリッタの2つの出口のモードを $\hat c=(\hat a+\hat b)/\sqrt2$、$\hat d=(\hat a-\hat b)/\sqrt2$ と書く（第9章のユニタリな散乱行列の1つの選び方。もう一方の入口のモード $\hat b$ は真空）。真空の $\hat b$ を右から掛けると $0$ になるので、$\hat b$ を含む項は正規順序の期待値から消え、

$$\frac{\langle \hat c^\dagger\hat d^\dagger\hat d\hat c \rangle }{\langle \hat c^\dagger\hat c \rangle \langle \hat d^\dagger\hat d \rangle }=\frac{\langle \hat a^{\dagger2}\hat a^2 \rangle /4}{(\bar n/2)^2}=g^{(2)}(0)\tag{32.10}$$

となる。2つの出口の同時計数の比は入口の光の $g^{(2)}(0)$ そのものである。光子1個の状態では左辺の分子が $0$ で、光子は2つの出口の片方にしか現れない。

同じ計算から、検出の効率 $\eta$（光が途中で失われる損失も含む）も $g^{(2)}(0)$ を変えないことがわかる。損失は、割合 $\eta$ だけを通すビームスプリッタの片方の出口だけを見ることと同じで、$\langle \hat a^{\dagger2}\hat a^2 \rangle$ が $\eta^2$ 倍、$\bar n$ が $\eta$ 倍になるからである。一方 $Q_{\mathrm M}=\bar n(g^{(2)}(0)-1)$ は $\bar n$ に比例するので $\eta$ 倍になる。効率の低い検出器ではサブ Poisson の度合い $Q_{\mathrm M}$ は小さくしか見えないが、$g^{(2)}(0)$ はそのまま見える。