何を近似したか・何の実験の量で確かめるか・授業で習った形との対応

光学と量子エレクトロニクス　第32章 §32.6　★★ 近似は3つ（検出の1次の摂動・熱的な光の Gauss 型・量子回帰定理）。測る量は2台の検出器の遅延の同時計数の分布。授業の Mandel の光子計数の式は古典の光の結果で、サブ Poisson を出すことができない

何を近似したか

1つ目は、検出器の計数の速さを $\langle \hat E^{(-)}\hat E^{(+)} \rangle$ と書いたことである（32.1節）。吸収体と場の結合を1次の摂動で扱い、吸収体の終わりの状態の連続の幅が光のスペクトルより十分広いとして、黄金律の速さに置き換えた。吸収体が上へ上がる過程だけを残したところで、検出器の側の回転波近似を使った。

2つ目は、熱的な光を複素 Gauss 型の確率過程とみなしたことで、札は 32.3節に置いた。

3つ目は、1個の原子の $g^{(2)}(\tau)$ を量子回帰定理で光 Bloch 方程式の解に直したことである（32.5節）。これは原子と真空のモードの結合が弱く、真空の場の相関の時間が原子の変化の時間より十分短いという Markov 近似に基づく。1つの時刻の密度行列の方程式が弱結合の極限で正しいことは第19章の札で述べたが、2つの時刻の相関まで同じ極限で正しいかは別の主張である。

何の実験の量で確かめるか

$g^{(2)}(\tau)$ は、ビームスプリッタの2つの出口に置いた検出器の片方の検出で時計を始め、もう片方の検出で止める測定で測る。止まるまでの時間 $\tau$ の分布を、幅 $t_{\mathrm b}$ の箱に分けて数えたものを同時計数の分布と呼ぶ。2台の検出器の計数の速さを $R_1$, $R_2$、測定の時間を $t_{\mathrm m}$ とすると、$\tau$ の箱に入る数の期待値は

$$N_{\mathrm c}(\tau)=R_1R_2\,t_{\mathrm b}\,t_{\mathrm m}\,g^{(2)}(\tau)\tag{32.21}$$

である（$\tau$ が平均の計数の間隔 $1/R_2$ より十分短い範囲。長い $\tau$ では途中で別の光子に止められる分の補正が要る）。$\tau$ が長いところの値 $R_1R_2t_{\mathrm b}t_{\mathrm m}$ で割れば $g^{(2)}(\tau)$ が得られる。箱の数え方のばらつきは Poisson 分布で $\sqrt{N_{\mathrm c}}$ である。分布の形を決める時間の細かさは、検出器の時刻のばらつき（ジッタ。$\mathrm{ps}$ から $\mathrm{ns}$）で決まる。もう1つの量は、長い窓 $t_{\mathrm w}$ の中の計数の分布で、平均と分散から $Q_{\mathrm M}$ を出す。サブ Poisson の統計は、Short と Mandel が共鳴蛍光で初めて観測した（R. Short and L. Mandel (1983), Phys. Rev. Lett. 51, 384）。

授業で習った形との対応

学部の授業では、光の検出を、古典の強度 $I(t)$ の光が光電面に当たり、短い時間 $\mathrm{d} t$ の間に電子が1個出る確率が $\eta I(t)\mathrm{d} t$ に比例する、と書くことが多い（半古典の光検出の理論）。強度が一定なら、窓 $t_{\mathrm w}$ の中の計数は Poisson 分布になる。強度が揺らぐ光では、窓の中の積分強度 $W=\eta\int_{t}^{t+t_{\mathrm w}}I\,\mathrm{d} t'$ の分布 $p(W)$ で平均して

$$P_n=\int_0^\infty\frac{W^n}{n!}\mathrm{e}^{-W}p(W)\,\mathrm{d} W\tag{32.22}$$

とする（Mandel の光子計数の式）。窓が $\tau_{\mathrm c}$ より短い熱的な光では、強度が指数分布 $p(W)=\mathrm{e}^{-W/\bar W}/\bar W$ に従い、式 (32.22) は Bose–Einstein 分布 $\bar W^n/(1+\bar W)^{n+1}$、つまり式 (32.8) を与える。

式 (32.22) の $p(W)$ は、この章の $P$ 表示の $P(\alpha)$ に当たる。$P\ge0$ の古典の状態では、量子の式と半古典の式から同じ計数の分布が出る。式 (32.22) から $\mathrm{Var}\,n=\bar n+\mathrm{Var}\,W\ge\bar n$ なので、半古典の理論は $Q_{\mathrm M}\ge0$ しか出すことができない。光子数状態や共鳴蛍光のサブ Poisson の統計は、$p(W)$ を負にしないと書けず、場の量子化が要る。もう1つ、授業で熱的な光の計数の揺らぎを「$\mathrm{Var}\,N=\bar N+\bar N^2/M$、$M$ は窓の中のモードの数」と書くことがある。式 (32.19) に $g^{(2)}-1=\lvert g^{(1)}\rvert ^2$ を入れると、長い窓で $\mathrm{Var}\,N=\bar N+\bar N^2\tau_{\mathrm c}/t_{\mathrm w}$ となり、$M=t_{\mathrm w}/\tau_{\mathrm c}$ である。