平均場スケーリングと問いの立て方

近似の数理　第6章 §6.1　★★★ 「何を小さいパラメータとみなすか」を決めないと、近似が厳密になる極限そのものが定義できない

第5章では、Hartree–Fock 近似を「多体の波動関数を探す空間を Slater 行列式の集合へ狭めた変分問題」として扱った。この見方（A 型＝射影）で数学が保証するものは、Hartree–Fock のエネルギーが真の基底エネルギーの上界であることに限られる。上界がどれほど真値に近いのかは、変分の枠組みからは出てこない。

同じ「平均場近似」には、もう一つの顔がある。粒子数 $N$ を大きくし、それに合わせて一対の相互作用を $1/N$ 倍に弱めると、多体の解そのものが一体方程式（Vlasov 方程式、Hartree 方程式、Thomas–Fermi 方程式）の解に近づく。この見方では、平均場近似は「ある極限で厳密になる有効方程式」であり、第1章の分類では B 型（極限）に属する。B 型の近似について数学が言えることは、極限がどの意味で存在するか、どれだけの速さで近づくか、どこで破綻するか、の三つである。この章では、古典系でこれを完全に証明し（Dobrushin の定理）、量子系では有界な相互作用の場合に証明を書き切り（Pickl の方法）、原子については結果を正確に述べる（Lieb–Simon の定理と Scott・Schwinger 補正）。

なぜ相互作用を 1/N 倍するのか

$d$ 次元空間の $N$ 個の同種粒子を考える。古典力学なら運動方程式、量子力学ならハミルトニアン

$$H_N=\sum_{j=1}^N h_j+\lambda_N\sum_{1\le i<j\le N}W(x_i-x_j)\tag{6.1}$$

が出発点になる。$h_j$ は $j$ 番目の粒子に働く一体の作用素（運動エネルギーと外場）、$W$ は二体の相互作用、$\lambda_N$ は結合の強さである。各項の大きさを数えると、一体の部分は $N$ 個の項の和なので $\mathcal{O}(N)$、相互作用の部分は粒子の対の数 $N(N-1)/2$ に比例するので$\mathcal{O}(\lambda_N N^2)$ になる。$\lambda_N$ を $N$ によらない定数にしておくと、$N\to\infty$ で相互作用が運動エネルギーを圧倒し、エネルギーは粒子1個あたりで見ても発散する（系はつぶれるか飛び散る）。逆に $\lambda_N$ を $1/N$ より速く小さくすると、相互作用は極限で消えて自由粒子しか残らない。両者が同じ $\mathcal{O}(N)$ で釣り合うのは

$$\lambda_N=\frac1N\quad\text{（または }\tfrac1{N-1}\text{）}$$

のときだけである。これを平均場スケーリングと呼ぶ。このとき粒子 $i$ に働く力は

$$-\frac1N\sum_{j\ne i}\nabla W(x_i-x_j)$$

となり、小さな力 $N$ 個の平均の形をとる。平均は大数の法則によって揺らぎが消えるので、$N\to\infty$ では「他の粒子全体がつくる滑らかな平均の力」で置き換えてよいはずだ、というのが平均場近似の直観である。

問いの形

平均場スケーリングの下で、次の問いを立てる。

$N$ 体の解（古典なら $N$ 個の粒子の軌道、量子なら $N$ 体の波動関数）は、$N\to\infty$ で一体方程式の解の「積」に近づくか。近づくなら、それはどういう意味で、どれだけの速さか。

「近づく」の意味をきちんと決めることがこの章の中心的な仕事になる。$N$ 体の波動関数 $\psi_N$ と積 $\varphi^{\otimes N}$ の $L^2$ 距離は、後で見るとおり一般には $N\to\infty$ で小さくならない（例題 6.6 の調和結合ボソンで確かめる）。近づく対象は、少数の粒子だけを見たときの統計（周辺分布・縮約密度行列）や、1粒子あたりのエネルギーである。物理の直観「平均場近似は良い」は、この意味において数学的に正しい。