この章で選ぶ $\mathcal L$：裸の係数と測る係数

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第10章 §5.10.1　★★★ 同じ $\mathcal L$ を「裸の係数」と「測る係数＋カウンター項」の2通りに書く。見えない自由度を消すと係数が変わることは、流体の中の球ですでに起きている

第5部第8章では、Feynman 則で組んだループの積分が大きな運動量で発散することを見て、どの図がどれだけ発散するかを表面的発散次数で数えた。第5部第9章では、その発散に切断 $\Lambda$ や次元正則化という足場を組み、積分をいったん有限の数にした。しかし足場の値（$\Lambda$ や次元 $d$）は物理の量ではないので、それが答えに残るうちは理論は何も予言していない。この章は、足場を外しても答えが残る仕組みを作る。

選ぶものは、Lagrangian 密度そのものではなく、その係数の読み方である。$\phi^4$ 理論の $\mathcal L$ に書いた質量 $m_0$ と結合定数 $\lambda_0$ は、粒子を1個だけ取り出して測った質量や、散乱から決めた結合の強さとは一致しない。粒子は自分のまわりの場の揺らぎを常にまとっていて、測定はまとったものごと見るからである。この事情は量子論に限らない。理想流体の中で動く球の慣性は球の質量より大きく、古典の電子の慣性には自分の電場のエネルギーが加わる。どちらも、見えない自由度を消去すると Lagrangian の係数が変わる、という解析力学の事実である。

出てくるものは3つある。1つ目は質量のくりこみで、1ループの補正は切断の2乗 $\Lambda^2$ に比例して発散し、裸の質量 $m_0$ はそれを打ち消すように選ばれる。2つ目は結合定数のくりこみで、4点の頂点の発散は $\ln\Lambda$ だけで、測った結合 $\lambda$ で書き直すと、どの運動量での散乱も有限になる。そのとき、異なる運動量で測った結合どうしの関係に $\ln$ が残り、これが次の章のくりこみ群の入口になる。3つ目は量子電気力学（QED）の電荷のくりこみで、ゲージ対称性のため電荷のくりこみは光子の場の規格化だけで決まり、電子にも陽子にも同じ割合でかかる。そのとき真空は誘電体のように振る舞い、近づくほど電荷が大きく見える。

道具は、第1部第7章の Legendre 変換である。生成汎関数 $W[J]$ を源 $J$ から場の平均 $\bar\phi$ へ Legendre 変換した有効作用 $\Gamma[\bar\phi]$ は、古典の作用 $S$ に量子補正を足したものになり、くりこみの条件はすべて $\Gamma$ の微分の値として書くことができる。5.10.6節では、誘電体の中の Coulomb の法則と古典の電子の電磁質量という、授業で習う2つの形とこの章の式を並べる。

この章では $\hbar=c=1$ とし、演算子の帽子を省く。$\phi^4$ 理論の計算は虚時間（Euclid）で行い、QED の節だけ実時間に戻す。ループは1ループまでで、2ループ以上は結果の意味だけを述べる。

この節では $\hbar=c=1$ とする（古典の例だけ SI で書く）。

古典の例：流体の中の球

半径 $a$、質量 $M$ の球が、密度 $\rho_{\mathrm f}$ の理想流体（粘性も渦も無い非圧縮の流体）の中を速度 $\bm{U}$ で動くとする。流体は球に押しのけられて動くので、系の運動エネルギーには流体の分が加わる。球から見て遠くで静止した流体の速度ポテンシャルは$\varphi_{\mathrm f}=-\frac{a^3}{2r^2}U\cos\theta$（$\theta$ は $\bm{U}$ から測った角）で、流体の運動エネルギーを積分すると

$$T_{\mathrm f}=\frac{\rho_{\mathrm f}}{2}\int_{r>a}\lvert \nabla\varphi_{\mathrm f}\rvert ^2\,\mathrm{d}^3r=\frac12\Bigl(\frac12\rho_{\mathrm f}V_{\mathrm s}\Bigr)U^2, \qquad V_{\mathrm s}=\frac{4\pi a^3}{3}\tag{5.10.1}$$

になる（例題 5.10.1）。流体の速度場は球の速度 $\bm{U}$ で完全に決まるので、流体の自由度を消去した後の球の Lagrangian は

$$L=\frac12\Bigl(M+\frac12\rho_{\mathrm f}V_{\mathrm s}\Bigr)\dot{\bm{R}}^2-V_{\mathrm{ext}}(\bm{R})\tag{5.10.2}$$

になる。球の運動を見て決まる慣性は $M_{\mathrm{eff}}=M+\frac12\rho_{\mathrm f}V_{\mathrm s}$ で、$M$ ではない。付加質量 $\frac12\rho_{\mathrm f}V_{\mathrm s}$ と呼ばれるこの項は、球と流体の相互作用が Lagrangian の係数を書き換えた結果である。

この例で大事なのは、流体の中で球の運動だけを観測している人には $M$ と $\frac12\rho_{\mathrm f}V_{\mathrm s}$ を分けて測る手段が無いことである。運動方程式に入るのは和の $M_{\mathrm{eff}}$ だけで、どの実験の予言も $M_{\mathrm{eff}}$ で書くことができる。流体を取り除いて $M$ を測ることは古典ではできるが、場の量子論で粒子がまとう場の揺らぎは取り除くことができない。そこで、理論の係数を初めから $M_{\mathrm{eff}}$ にあたる「測る量」で書く。これがくりこみの考え方である。

$\phi^4$ 理論の裸の Lagrangian 密度

第5部第7章と同じく、実スカラー場の $\phi^4$ 理論を選ぶ。虚時間の作用（Euclid 作用）で書くと

$$S_{\mathrm E}[\phi_0]=\int\mathrm{d}^4x\,\Bigl[\frac12(\partial\phi_0)^2+\frac12m_0^2\phi_0^2+\frac{\lambda_0}{4!}\phi_0^4\Bigr]\tag{5.10.3}$$

である。$(\partial\phi)^2=\sum_{\mu=1}^{4}(\partial_\mu\phi)^2$ は Euclid の内積で、運動量も $k^2=k_4^2+\bm{k}^2\ge0$ と書く。実時間の $p^2=E^2-\bm{p}^2$ とは $p^2_{\text{実時間}}=-k^2$ で対応する。添字 $0$ を付けた $\phi_0$, $m_0$, $\lambda_0$ を裸の場・質量・結合定数と呼ぶ。

$m_0$ と $\lambda_0$ は $\mathcal L$ の係数であって、測る量ではない。測る量として次の3つを選ぶ。粒子の伝播関数の極の位置から決める質量 $m$、その極の留数を $1$ にするように規格化した場 $\phi$、決めた運動量の配置での4点の頂点の値から決める結合定数 $\lambda$ である（正確な定め方は5.10.2節の式 (5.10.12)）。場の規格化を変えるために $\phi_0=Z^{1/2}\phi$ とおくと、式 (5.10.3) の被積分関数は

$$\frac12Z(\partial\phi)^2+\frac12Zm_0^2\phi^2+\frac{Z^2\lambda_0}{4!}\phi^4$$

になる。ここで

$$\delta_Z\coloneqq Z-1,\qquad \delta_m\coloneqq Zm_0^2-m^2,\qquad \delta_\lambda\coloneqq Z^2\lambda_0-\lambda\tag{5.10.4}$$

と定義すると、同じ作用が

$$S_{\mathrm E}=\int\mathrm{d}^4x\,\Bigl[\frac12(\partial\phi)^2+\frac12m^2\phi^2+\frac{\lambda}{4!}\phi^4\Bigr] +\int\mathrm{d}^4x\,\Bigl[\frac12\delta_Z(\partial\phi)^2+\frac12\delta_m\phi^2+\frac{\delta_\lambda}{4!}\phi^4\Bigr]\tag{5.10.5}$$

と書ける。第1項は測る量で書いた $\phi^4$ 理論で、第2項をカウンター項と呼ぶ。式 (5.10.5) は式 (5.10.3) の書き直しにすぎず、新しい相互作用を足したわけではない。

この章で選ぶ $\mathcal L$ は式 (5.10.5) である。カウンター項の係数 $\delta_Z,\delta_m,\delta_\lambda$ は、「$m,\phi,\lambda$ が本当に測る量になる」という条件から摂動の各次数で決める。その条件を書くための道具が次の節の有効作用である。流体の中の球にあてはめると、$M_{\mathrm{eff}}$ が $m$ に、$M=M_{\mathrm{eff}}-\frac12\rho_{\mathrm f}V_{\mathrm s}$ が $m_0$ に、付加質量が $-\delta_m$ にあたる。違いは、場の量子論では付加質量にあたる量が切断 $\Lambda$ とともに発散することだけである。