授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第10章 §5.10.6　★★ 誘電体の中の Coulomb の法則は $e^2=Z_3e_0^2$ と同じ形。古典の電子の電磁質量は質量のくりこみの古典版で、QED では発散が $1/a$ から $\ln\Lambda$ に弱まる

誘電体の中の Coulomb の法則

電磁気学の授業では、誘電率 $\varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm r}$ の一様な誘電体の中に置いた2つの電荷の間のエネルギーを

$$U(r)=\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm r}r}\tag{5.10.29}$$

と書いた。電荷のまわりで誘電体が分極し、逆符号の分極電荷が電荷を取り巻くので、遠くから見た電荷の積は $1/\varepsilon_{\mathrm r}$ 倍に減る。式 (5.10.24) の $e^2=Z_3e_0^2$ はこれと同じ形で、$Z_3=1/\varepsilon_{\mathrm r}^{\text{真空}}$ と読むことができる。$Z_3<1$ なので真空は $\varepsilon_{\mathrm r}>1$ の誘電体のように振る舞い、分極の担い手は仮想的な電子と陽電子の対である。

違いは2つある。1つ目は、真空の $\varepsilon_{\mathrm r}$ が運動量によることで、$\alpha_{\mathrm{eff}}(Q)=\alpha/(1-\hat\Pi(-Q^2))$ は「距離 $1/Q$ で見た誘電率」が$1-\hat\Pi$ だけ小さくなったことにあたる。分極の雲の内側に入るほど、遮られる前の電荷が見える。普通の誘電体でも、分子の大きさより短い距離では$\varepsilon_{\mathrm r}$ は1に近づくので、この点は同じである。2つ目は、誘電体では分極を取り除いた「自由な電荷」を別に測れるが、真空の分極は取り除けないことである。$e_0$ は測らない量で、測るのは $e$ と $\alpha_{\mathrm{eff}}(Q)$ の運動量依存だけである。

古典の電子の電磁質量

電磁気学の授業では、半径 $a$ の球殻に電荷 $e$ が一様に分布した電子の静電エネルギーを $U=\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0a}$ と計算した。このエネルギーは電子とともに動くので、電子の慣性に $U/c^2$ の程度が加わる（運動する場の運動量から計算すると係数は $\frac43$ になるが、ここでは大きさの程度だけを見る）。測る質量は $m=m_0+U/c^2$ で、5.10.1節の付加質量と同じく、自分の場をまとった慣性である。$a\to0$ で $U\to\infty$ なので、点電荷の電子の裸の質量は $-\infty$ に向かう。$U=mc^2$ となる半径は古典電子半径 $r_{\mathrm e}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0mc^2}=2.818\times10^{-15}\,\mathrm m$（CODATA 2018）の半分である。

QED で同じ量を計算すると（この巻では計算しない。Weisskopf 1939 の結果を引く）、電子の自己エネルギーによる質量の補正は、切断 $\Lambda$ を $1/a$ にあたるものとして

$$\delta m=\frac{3\alpha}{2\pi}\,m\ln\frac{\Lambda}{m}+(\text{有限の項})\tag{5.10.30}$$

になり、発散は $1/a$（$\Lambda$ の1乗）から $\ln\Lambda$ に弱まる。これは Weisskopf（1939、Phys. Rev. 56、72）が示した。理由の1つは、Dirac の理論では電子の近くで真空の対が電子の電荷を広げることで、もう1つは、$m\to0$ で $\delta m\to0$ になること（質量の無い電子には左手と右手の成分が混ざらない対称性があり、その対称性のもとでは質量の補正は $0$ である）で、そのため $\delta m$ は $m$ に比例する。スカラー場の質量の補正 (5.10.16) には $m$ に比例しない $\Lambda^2$ の項があったが、電子の質量にはそれが無い。

摂動論の言葉で

量子力学の授業の摂動論では、$H=H_0+V$ の基底状態のエネルギーを $E=E_0+\langle 0 | V | 0 \rangle +\sum_n\frac{\lvert \langle n | V | 0 \rangle \rvert ^2}{E_0-E_n}+\cdots$ と展開した。質量の補正 (5.10.14) は、$V=\frac{\lambda}{4!}\phi^4$ の1次の期待値で、4つの $\phi$ のうち2つを真空の揺らぎ $\langle \phi^2 \rangle =I_1$ に置き換えたものである。これは多体の量子力学の Hartree 近似（平均場）と同じ形で、1ループの質量の補正は「真空の揺らぎによる平均場」と読むことができる。くりこみは、この平均場を含めた後の質量を初めから $m$ と書き、相互作用の項から平均場の部分を差し引いておく（カウンター項）、という操作にあたる。多体の量子力学で相互作用を正規順序で書いて平均場の分を分けておくのと同じ発想である。