出てくるもの (3)：QED の電荷のくりこみ

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第10章 §5.10.5　★★★ ゲージ対称性から $Z_1=Z_2$。電荷のくりこみは光子の場の規格化 $Z_3$ だけで決まり、電子にも陽子にも同じ割合でかかる。真空偏極で近づくほど電荷が大きく見える

この節では実時間に戻り、計量 $\eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$ を使う。電荷は Heaviside–Lorentz の単位で $e^2=4\pi\alpha$ とし、電子の電荷を $-e$（$e>0$）とする。

3つの $Z$ と Ward の恒等式

第5部第5章の QED を裸の量で書くと

$$\mathcal L=-\frac14F_{0\mu\nu}F_0^{\mu\nu}+\bar\psi_0\bigl(\mathrm{i}\gamma^\mu\partial_\mu-m_0\bigr)\psi_0+e_0\bar\psi_0\gamma^\mu\psi_0A_{0\mu}\tag{5.10.23}$$

である（$D_\mu=\partial_\mu-\mathrm{i} e_0A_{0\mu}$ を $\bar\psi_0\mathrm{i}\gamma^\mu D_\mu\psi_0$ に入れた形）。電子と光子の場をそれぞれ $\psi_0=Z_2^{1/2}\psi$、$A_0=Z_3^{1/2}A$ と規格化し直し、相互作用の項の係数を $e_0Z_2Z_3^{1/2}\eqqcolon Z_1e$ と書いて、測る電荷 $e$ と係数 $Z_1$ を定義する。$\phi^4$ と同じく、$Z_2$ は電子の伝播関数の極の留数、$Z_3$ は光子の伝播関数の極の留数、$Z_1$ は低エネルギーの電子と光子の頂点の値から決まる。

ゲージ対称性があると、$Z_1$ と $Z_2$ の間に関係が成り立つ。ゲージ変換 $\psi\to\mathrm{e}^{\mathrm{i} e\Lambda_{\mathrm g}}\psi$ のもとで $\mathcal L$ が不変であるには、微分と相互作用が $\partial_\mu-\mathrm{i} eA_\mu$ の組の形で入っていなければならない（$\Lambda_{\mathrm g}$ はゲージ関数）。くりこんだ後もこの組がそろっているなら、$\bar\psi\mathrm{i}\gamma^\mu\partial_\mu\psi$ の係数 $Z_2$ と $e\bar\psi\gamma^\mu\psi A_\mu$ の係数 $Z_1$ は等しい。これは Ward の恒等式（Ward 1950、Phys. Rev. 78、182）から従う関係で、ゲージ対称性を壊さない足場（次元正則化など）を使えば各次数で成り立つ。$Z_1=Z_2$ を定義の式に入れると

$$e=Z_3^{1/2}e_0\tag{5.10.24}$$

が残る。電荷のくりこみは光子の場の規格化だけで決まり、電子の側の事情（自己エネルギー）は入らない。

この事実には観測できる帰結がある。陽子は強い相互作用のため電子とまったく違う自己エネルギーと頂点の補正を受けるが、$Z_1=Z_2$ は陽子についても成り立つので、陽子の測る電荷も $Z_3^{1/2}$ 倍の同じ割合で決まる。裸の電荷が等しければ、測る電荷も等しい。電荷が粒子によらずにくりこまれることは、ゲージ対称性の帰結として読むことができる。

真空偏極

光子の伝播関数への1ループの補正は、電子と陽電子の対の輪（真空偏極）である。ゲージ対称性から、この補正は$\Pi^{\mu\nu}(q)=(q^2\eta^{\mu\nu}-q^\mu q^\nu)\Pi(q^2)$ の形をとる。$q^\mu\Pi_{\mu\nu}=0$ なので、光子の伝播関数の極は $q^2=0$ から動かず、光子は質量を持たない。スカラー場の質量が $\Lambda^2$ でずれたのと対照的で、光子が質量を持たないことはゲージ対称性の帰結である（切断をそのまま入れるとこの形が壊れ、$\Lambda^2$ の光子の質量が現れる。それは足場がゲージ対称性を壊した結果で、物理ではない）。

$\Pi$ を足し上げた光子の伝播関数は $\frac{-\mathrm{i}\eta_{\mu\nu}}{q^2(1-\Pi(q^2))}$（$q^\mu q^\nu$ の項を除く）で、2つの電子の間の散乱は $e_0^2$ と組で$\frac{e_0^2}{1-\Pi(q^2)}$ の形で入る。$q^2\to0$ で測る電荷を $e^2=\frac{e_0^2}{1-\Pi(0)}$ と定義する（$Z_3=\frac{1}{1-\Pi(0)}$）と、

$$\frac{e_0^2}{1-\Pi(q^2)}=\frac{e^2}{1-\hat\Pi(q^2)},\qquad \hat\Pi(q^2)\coloneqq\Pi(q^2)-\Pi(0)\tag{5.10.25}$$

になる（$\alpha$ の1次まで）。1ループの計算（第5部第9章の次元正則化の手順で行える。結果だけを書く）は、空間的な運動量 $q^2=-Q^2<0$ で

$$\hat\Pi(-Q^2)=\frac{2\alpha}{\pi}\int_0^1x(1-x)\ln\Bigl(1+x(1-x)\frac{Q^2}{m^2}\Bigr)\mathrm{d} x\tag{5.10.26}$$

となり、発散は $\Pi(0)$ に入る。Pauli–Villars の切断では $\Pi(0)=-\frac{\alpha}{3\pi}\ln\frac{\Lambda^2}{m^2}$ で、$Z_3=1-\frac{\alpha}{3\pi}\ln\frac{\Lambda^2}{m^2}<1$、つまり裸の電荷 $e_0$ は測る電荷 $e$ より大きい。

運動量 $Q$ で見た電荷を $\alpha_{\mathrm{eff}}(Q)\coloneqq\alpha/(1-\hat\Pi(-Q^2))$ と書く。$Q\gg m$ では $\int_0^1x(1-x)\ln[x(1-x)]\mathrm{d} x=-\frac{5}{18}$ から

$$\frac{1}{\alpha_{\mathrm{eff}}(Q)}\approx\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{3\pi}\Bigl(\ln\frac{Q^2}{m^2}-\frac53\Bigr)\tag{5.10.27}$$

で、$\alpha_{\mathrm{eff}}$ は $Q$ とともに増える（図 5.10.3）。電子の対の輪だけを入れると、$Q=100\,\mathrm{GeV}$ で $1/\alpha_{\mathrm{eff}}=134.6$ になる。実際には $\mu$ 粒子・$\tau$ 粒子・クォークの対の輪も加わるので、$1/\alpha_{\mathrm{eff}}$ はさらに小さくなる。$\phi^4$ の結合 (5.10.22) と同じく、QED の結合も短い距離で強く見える。

小さい $Q$：Uehling のポテンシャル

逆に $Q\ll m$ では $\ln(1+y)\approx y$ と $\int_0^1x^2(1-x)^2\mathrm{d} x=\frac{1}{30}$ から $\hat\Pi(-Q^2)\approx\frac{\alpha}{15\pi}\frac{Q^2}{m^2}$ である。静的な電荷 $Ze$ のまわりで、電子が感じるポテンシャルの Fourier 成分は $-\frac{Ze^2}{\bm{Q}^2}\bigl(1+\hat\Pi(-\bm{Q}^2)\bigr)$ になり、補正の項は $\bm{Q}$ によらない定数$-\frac{Ze^2\alpha}{15\pi m^2}$ である。定数の Fourier 逆変換はデルタ関数なので

$$V(\bm{r})=-\frac{Z\alpha}{r}-\frac{4Z\alpha^2}{15m^2}\,\delta^{(3)}(\bm{r})\tag{5.10.28}$$

を得る（$e^2=4\pi\alpha$）。原点の近くでは、真空の分極に遮られる前の大きな電荷が見えるので、引力が強まる。この補正は Uehling（1935、Phys. Rev. 48、55）が計算した。式 (5.10.28) の第2項は Compton 波長 $1/m$ の程度の範囲に効果が集中した形を、原子の大きさ $1/(Z\alpha m)$ から見て点とみなしたものである。