この章で選ぶ $\mathcal L$：位相の対称性を各点ごとにとる

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第5章 §5.5.1　★★★ 自由な Dirac 場の位相の対称性を局所化すると $\partial_\mu\Lambda$ の項が残り、それを打ち消す $A_\mu$ と共変微分が要る。ゲージ不変で次元4以下の項を集めたものが QED の $\mathcal L$

第5部第4章では、Dirac 場の Lagrangian 密度 $\bar\psi(\mathrm{i}\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi$ を選び、電磁場との結合は微分を $D_\mu=\partial_\mu+\mathrm{i} qA_\mu$ に置き換える最小結合として「仮定」した。第2部第8章では、電磁場の作用がゲージ変換 $A_\mu\to A_\mu-\partial_\mu\Lambda$ で変わらないことを、Noether の第2定理を通して電荷の保存と結びつけた。この章では順序を逆にする。物質の場の位相の対称性を、時空の各点で独立にとってもよいと要請する。この要請は自由な Dirac 場だけでは満たせず、満たすためには変換に合わせて動く4元ベクトルの場が必要になる。その場が電磁場で、結合の形は最小結合に決まる。これをゲージ原理と呼ぶ。こうして選ばれた Lagrangian 密度が量子電気力学（QED）の $\mathcal L$ である。

出てくるものは3つある。1つ目は Dirac 場の量子化で、第5部第4章で残った負のエネルギーの解は、場の演算子に交換関係でなく反交換関係を課すときに限り、正のエネルギーの反粒子（陽電子）として読み直せる。2つ目は Coulomb 力で、Gauss の法則という拘束を解くと電荷どうしの瞬間的な相互作用が Hamiltonian に現れ、同符号の電荷は反発する。質量のあるスカラー場を交換する場合と比べると、引力と斥力の違いが場の Lagrangian 密度の符号の違いとして読める。3つ目は、共変微分の交換子が場の強さ $F_{\mu\nu}$ になるという関係で、これを位相の群を非可換に広げると Yang–Mills 場が得られ、第2部第14章の曲率と同じ形の式になる。最後に、原子物理や量子光学の授業で使う Coulomb ゲージの Hamiltonian と、この章の $\mathcal L$ を並べる。

この章では $\hbar=c=1$ とする（数値を出すときと5.5.6節では SI に戻す）。電磁場は Heaviside–Lorentz の単位で書き、$\varepsilon_0=1$ に当たる約束で $\mathcal L_{\mathrm{EM}}=-\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$、Maxwell 方程式は $\partial_\mu F^{\mu\nu}=j^\nu$、微細構造定数は $\alpha=q^2/(4\pi)$（電子では $e^2/(4\pi)$）になる。この章では演算子の帽子を省く。電荷は $q$ と書き、電子は $q=-e$（$e>0$）とする。計量は $\eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$、$x^\mu=(t,\bm{x})$、$A^\mu=(A^0,\bm{A})$ で、5.5.4節と総合問題ではスカラー場に $\phi$ を使うので、スカラーポテンシャルは $A^0$ と書く。

この節では $\hbar=c=1$ とする。

大域的な位相の対称性

自由な Dirac 場の Lagrangian 密度は

$$\mathcal L_{\mathrm D}=\bar\psi(\mathrm{i}\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi,\qquad \bar\psi\coloneqq\psi^\dagger\gamma^0\tag{5.5.1}$$

である（第5部第4章）。定数 $\Lambda$ を選んで $\psi\to\mathrm{e}^{\mathrm{i} q\Lambda}\psi$ とすると、$\bar\psi\to\mathrm{e}^{-\mathrm{i} q\Lambda}\bar\psi$ なので$\mathcal L_{\mathrm D}$ は変わらない。$q$ はここではただの定数で、後で電荷と読むことになる。$\Lambda$ を時空のどこでも同じ値にとるので、この変換を大域的な位相変換と呼ぶ。第2部第7章の場の Noether の定理を当てると、この対称性から保存する流れ $j^\mu=q\bar\psi\gamma^\mu\psi$ が出る（次の節で確かめる）。

局所化すると何が壊れるか

量子力学では、波動関数の全体の位相は観測にかからない。しかし大域的な変換は、宇宙のすべての点で同時に同じだけ位相を回すことを要求する。位相の取り決めを場所ごとに勝手に決めてよいという立場をとると、$\Lambda$ を時空の関数 $\Lambda(x)$ にした変換

$$\psi(x)\to\mathrm{e}^{\mathrm{i} q\Lambda(x)}\psi(x)\tag{5.5.2}$$

でも理論が変わらないことを要求することになる。この変換を局所的な位相変換、またはゲージ変換と呼ぶ。この名前は第2部第8章の $A_\mu\to A_\mu-\partial_\mu\Lambda$ と同じ $\Lambda$ を使うことを先取りしている。

質量項 $m\bar\psi\psi$ は各点の値の積なので、局所的な変換でも変わらない。変わるのは微分の項で、$\partial_\mu(\mathrm{e}^{\mathrm{i} q\Lambda}\psi)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} q\Lambda}(\partial_\mu\psi+\mathrm{i} q\,\partial_\mu\Lambda\,\psi)$ から

$$\mathcal L_{\mathrm D}\to\mathcal L_{\mathrm D}-q\,\bar\psi\gamma^\mu\psi\,\partial_\mu\Lambda\tag{5.5.3}$$

になる。余分な項は Noether の流れ $j^\mu=q\bar\psi\gamma^\mu\psi$ と $\partial_\mu\Lambda$ の積で、$\Lambda$ が定数なら消える。自由な Dirac 場だけでは、局所的な位相の対称性は成り立たない。

補う場と共変微分

式 (5.5.3) の余分な項を打ち消すには、$j^\mu$ と掛け合わさり、変換で $\partial_\mu\Lambda$ だけずれる4元ベクトルの場 $A_\mu$ を用意し、

$$A_\mu\to A_\mu-\partial_\mu\Lambda\tag{5.5.4}$$

と変わるものとして、$\mathcal L$ に $-j^\mu A_\mu=-q\bar\psi\gamma^\mu\psi A_\mu$ を足せばよい。変換でこの項は $+q\bar\psi\gamma^\mu\psi\,\partial_\mu\Lambda$ だけ変わり、式 (5.5.3) の余分な項とちょうど打ち消し合う。足した項と微分の項をまとめると、微分を

$$D_\mu\coloneqq\partial_\mu+\mathrm{i} qA_\mu\tag{5.5.5}$$

に置き換えたことになる。$D_\mu$ を共変微分と呼ぶ。名前の理由は、$D_\mu\psi$ が $\psi$ と同じ形で変わることにある：

$$D_\mu\psi\to\bigl(\partial_\mu+\mathrm{i} qA_\mu-\mathrm{i} q\,\partial_\mu\Lambda\bigr)\bigl(\mathrm{e}^{\mathrm{i} q\Lambda}\psi\bigr)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} q\Lambda}D_\mu\psi .\tag{5.5.6}$$

そのため $\bar\psi\,\mathrm{i}\gamma^\mu D_\mu\psi$ は局所的な変換で変わらない。ここで決まったことは2つある。1つ目は結合の形で、$A_\mu$ は流れ $j^\mu$ とだけ、しかも1次で結合する。2つ目は結合の強さで、$A_\mu$ の前の係数は位相の回し方 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} q\Lambda}$ の $q$ と同じ数になる。第5部第4章で仮定した最小結合は、ここでは局所的な位相の対称性の要請として出てきた。この考え方は Weyl による¹1H. Weyl (1929), Zeitschrift für Physik 56, 330–352.下の脚注へ閉じる。

場そのものの項

$A_\mu$ を力学変数にするには、$A_\mu$ だけの項も要る。その項もゲージ変換 (5.5.4) で変わってはならない。第2部第6章で見たとおり、$F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$ は $\partial_\mu\partial_\nu\Lambda=\partial_\nu\partial_\mu\Lambda$ によって変わらないので、$F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ が使える。一方、光子の質量項 $\frac12m_\gamma^2A_\mu A^\mu$ は $-m_\gamma^2A^\mu\partial_\mu\Lambda+\frac12m_\gamma^2\partial_\mu\Lambda\partial^\mu\Lambda$ だけ変わるので許されない。局所的な位相の対称性を要請した時点で、光子の質量は $0$ に決まる。

$\mathcal L$ に入れてよい項を、もう1つの基準で絞る。$\hbar=c=1$ では作用 $\int\mathcal L\,\mathrm{d}^4x$ が無次元なので、$\mathcal L$ の質量次元は4である。$\partial_\mu$ の次元は1で、運動の項 $\bar\psi\mathrm{i}\gamma^\mu\partial_\mu\psi$ から $\psi$ の次元は $\frac32$、$F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ から $A_\mu$ の次元は1になる。次元が4を超える項は、係数に質量の負のべきを持つ。そうした項は、第5部第8章で数えるとおり、ループの発散を次数ごとに増やしていく。ゲージ不変で次元4以下の項だけを集めると、次の $\mathcal L$ が残る。

$$\mathcal L_{\mathrm{QED}}=\bar\psi(\mathrm{i}\gamma^\mu D_\mu-m)\psi-\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} =\bar\psi(\mathrm{i}\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi-\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-q\bar\psi\gamma^\mu\psi\,A_\mu .\tag{5.5.7}$$

右の形の最後の項が相互作用で、Dirac 場の2つと $A_\mu$ の1つが同じ点で掛け合わさる。図 5.5.1 はこれを線の図で表したもので、第5部第7章で摂動展開の規則（Feynman 則）にするときの頂点になる。

1　H. Weyl (1929), Zeitschrift für Physik 56, 330–352.