当てる道具：Noether の2つの定理と場の Euler–Lagrange 方程式

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第5章 §5.5.2　★★★ $\bar\psi$ と $A_\mu$ で変分すると共変微分つきの Dirac 方程式と $\partial_\mu F^{\mu\nu}=j^\nu$。大域的な対称性の Noether の流れが源になり、その保存が両立の条件になる

2つの運動方程式

式 (5.5.7) を第2部第5章の場の Euler–Lagrange 方程式に入れる。$\psi$ と $\bar\psi$ を独立な場とみなし、$\bar\psi$ で変分すると、$\mathcal L$ が $\bar\psi$ の微分を含まないので

$$\frac{\partial \mathcal L}{\partial \bar\psi}=0\quad\Longrightarrow\quad(\mathrm{i}\gamma^\mu D_\mu-m)\psi=0\tag{5.5.8}$$

になる。$A_\nu$ で変分すると、$\partial\mathcal L/\partial(\partial_\mu A_\nu)=-F^{\mu\nu}$（第2部第6章）と $\partial\mathcal L/\partial A_\nu=-q\bar\psi\gamma^\nu\psi$ から

$$\partial_\mu F^{\mu\nu}=j^\nu,\qquad j^\nu\coloneqq-\frac{\partial \mathcal L}{\partial A_\nu}=q\bar\psi\gamma^\nu\psi\tag{5.5.9}$$

になる。1つの $\mathcal L$ から、電磁場の中の電子の運動方程式と、電子を源とする Maxwell 方程式が同時に出る。$\nu=0$ の成分は $\nabla\cdot\bm{E}=j^0=q\psi^\dagger\psi$ で、Gauss の法則である。

源は大域的な対称性の Noether の流れ

式 (5.5.9) の源 $j^\nu$ を、Noether の定理の側から見直す。$\Lambda$ を定数にした大域的な変換 $\delta\psi=\mathrm{i} q\epsilon\psi$, $\delta\bar\psi=-\mathrm{i} q\epsilon\bar\psi$, $\delta A_\mu=0$ で $\mathcal L_{\mathrm{QED}}$ は変わらない。第2部第7章の場の Noether の流れは、$\mathcal L$ が微分を含む場 $\psi$ だけから

$$\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_\mu\psi)}\,\frac{\delta\psi}{\epsilon}=\bar\psi\mathrm{i}\gamma^\mu\cdot\mathrm{i} q\psi=-q\bar\psi\gamma^\mu\psi$$

と計算され、符号の取り決めを除いて $j^\mu$ と一致する。つまり、電磁場の源は大域的な位相の対称性の Noether の流れで、局所化のために足した結合項は「Noether の流れ × $A_\mu$」の形をしている。電荷が保存する理由と、電磁場が電荷に結合する理由が、同じ対称性に帰着する。

両立の条件と Noether の第2定理

$F^{\mu\nu}$ は反対称なので、式 (5.5.9) の両辺の発散をとると左辺は恒等的に $\partial_\nu\partial_\mu F^{\mu\nu}=0$ である。したがって Maxwell 方程式が解を持つには $\partial_\nu j^\nu=0$ が必要になる。これは第2部第8章で Noether の第2定理から導いた両立の条件である。QED ではこの条件が Dirac 方程式 (5.5.8) から自動的に満たされる。$(\mathrm{i}\gamma^\mu D_\mu-m)\psi=0$ の Hermite 共役に右から $\gamma^0$ を掛けると$\overline{D_\mu\psi}\,\mathrm{i}\gamma^\mu=-m\bar\psi$ となり（$\overline{D_\mu\psi}\coloneqq(D_\mu\psi)^\dagger\gamma^0$、$\gamma^0\gamma^{\mu\dagger}\gamma^0=\gamma^\mu$ を使う）、

$$\partial_\mu(\bar\psi\gamma^\mu\psi)=\overline{D_\mu\psi}\,\gamma^\mu\psi+\bar\psi\gamma^\mu D_\mu\psi=(\mathrm{i} m\bar\psi)\psi+\bar\psi(-\mathrm{i} m\psi)=0$$

になる。1つ目の等号で $\partial_\mu$ を $D_\mu$ に置き換えてよいのは、$\bar\psi$ 側の $-\mathrm{i} qA_\mu$ と $\psi$ 側の $+\mathrm{i} qA_\mu$ が打ち消すからである。

このしくみを一般の形で述べると次のようになる。物質の作用が局所的な変換で不変なら、物質の運動方程式が成り立つとき、$-\partial\mathcal L/\partial A_\nu$ として定めた流れは必ず保存する。ゲージ原理で作った理論では、Maxwell 方程式の両立の条件は物質の側の対称性によって保証されている。