選ぶもの：Lagrangian 密度と、それを変えない無限小変換

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第7章 §2.7.1　★★★ 「場の対称性」を「すべての場の配位で $\delta\mathcal L=\epsilon\,\partial_\mu\Lambda^\mu$」と式で定義する

電磁気学の授業では、電荷の保存は Maxwell 方程式の発散を取って出し、Poynting の定理はベクトル解析の恒等式から出し、Maxwell の応力テンソルは Lorentz 力の体積積分を書き直して出す。量子力学の授業では、確率の流れを Schrödinger 方程式に $\psi^*$ を掛けて複素共役との差を取ることで出す。これらは別々の計算に見えるが、どれも「場の Lagrangian 密度がある連続的な変換で変わらない」ことから出る保存則で、第1部第10章の Noether の定理を場に当てはめた1つの定理の場合分けになっている。

この章で選ぶものは、場の Lagrangian 密度 $\mathcal L(\phi_a,\partial_\mu\phi_a)$ と、それに当てる無限小変換 $\delta\phi_a=\epsilon K_a$ の組である。当てる道具は、場の Euler–Lagrange 方程式（第2部第5章）と、粒子の Noether の定理の証明（第1部第10章）の2つである。出てくるものは3つあり、①場の位相を回す変換から保存する電流（電荷の保存・確率の保存）、②時空の並進からエネルギー運動量テンソル $T^\mu{}_\nu$、③電磁場の $T^{\mu\nu}$ と、物質と場を合わせた運動量の保存である。粒子の場合と違って、場の保存則は「どこでも成り立つ局所的な連続の式」$\partial_\mu j^\mu=0$ の形で出てくる。最後に、授業で習った連続の式・Poynting の定理・確率の流れを、この章の式と並べる。

単位は SI、計量は $\eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$、$x^\mu=(ct,\bm{x})$、$\partial_\mu=(\tfrac1c\partial_t,\nabla)$ で、作用は $S=\int\mathcal L\,\mathrm{d} t\,\mathrm{d}^3x=\frac1c\int\mathcal L\,\mathrm{d}^4x$ とする（記法の正本 §3。この本の流儀）。上下に1回ずつ現れるギリシャ添字は和を取り、場の番号 $a$ と空間の添字 $i,j$ の和は $\Sigma$ を省かない。

場をわずかにずらす

場を何本か $\phi_a(x)$（$a=1,\dots,n$）用意し、Lagrangian 密度 $\mathcal L(\phi_a,\partial_\mu\phi_a,x)$ を1つ選ぶ。第1部第10章では一般化座標を $q_i\to q_i+\epsilon K_i$ とずらした。場では、時空の各点で場の値をずらす。

$$\phi_a(x)\ \longrightarrow\ \phi_a(x)+\epsilon K_a(x),\qquad \delta\phi_a=\epsilon K_a .\tag{2.7.1}$$

$K_a$ は場の値・場の微分・時空の点 $x$ によってよい関数で、ずらす向きを決める。点 $x$ を止めて場の値だけを変えるので、第1部第3章の「時刻を止めた変分」の場の版であり、$\delta(\partial_\mu\phi_a)=\partial_\mu(\delta\phi_a)=\epsilon\,\partial_\mu K_a$ が成り立つ。Lagrangian 密度の1次の変化は連鎖律から

$$\delta\mathcal L\coloneqq\epsilon\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \epsilon}\mathcal L\bigl(\phi+\epsilon K,\ \partial\phi+\epsilon\,\partial K,\ x\bigr)\Big|_{\epsilon=0} =\epsilon\sum_{a=1}^n\Bigl(\frac{\partial \mathcal L}{\partial \phi_a}K_a+\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi_a)}\partial_\mu K_a\Bigr)\tag{2.7.2}$$

になる。$\delta\mathcal L$ は、場の配位 $\phi_a(x)$ を1つ決めるたびに決まる時空の関数である。

対称性の定義

粒子の準対称性は $\delta L=\epsilon\,\mathrm{d}\Lambda/\mathrm{d} t$ だった。場では時間だけでなく空間の微分も対等に並ぶので、全微分が4元の発散 $\partial_\mu\Lambda^\mu$ に置き換わる。発散であれば作用の変化は Gauss の定理で時空の領域の境界の積分になり、境界で場を固定する変分では運動方程式は変わらない。この点は粒子のときと同じ理由で、準対称性も対称性の仲間に入れる。「すべての配位で」と要求する点も粒子と同じである。運動方程式の解だけで調べるのでなく、$\mathcal L$ の形だけを見て判定する。

典型的な例

複素スカラー場を例に取る。複素数の場 $\psi(x)$ に対して

$$\mathcal L=\partial_\mu\psi^*\,\partial^\mu\psi-\kappa^2\psi^*\psi =\frac1{c^2}\lvert \partial_t\psi\rvert ^2-\lvert \nabla\psi\rvert ^2-\kappa^2\lvert \psi\rvert ^2\tag{2.7.4}$$

を選ぶ。$\kappa$ は長さの逆数の次元を持つ定数で、量子論では粒子の質量 $m$ と $\kappa=mc/\hbar$ で結ばれる。$\psi$ の単位は $\mathcal L$ がエネルギー密度になるように選ぶ。Euler–Lagrange 方程式は Klein–Gordon 方程式 $\bigl(\tfrac1{c^2}\partial_t^2-\nabla^2+\kappa^2\bigr)\psi=0$ である。複素数の場は実部と虚部の2本の実数の場と同じことで、計算では $\psi$ と $\psi^*$ を独立な2本の場とみなすと見通しがよい（$\phi_1=\psi$、$\phi_2=\psi^*$）。

位相の回転 $\psi\to\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon}\psi$ の1次は $\delta\psi=-\mathrm{i}\epsilon\psi$、$\delta\psi^*=+\mathrm{i}\epsilon\psi^*$ である（$K_\psi=-\mathrm{i}\psi$、$K_{\psi^*}=\mathrm{i}\psi^*$）。$\psi^*\psi$ も $\partial_\mu\psi^*\partial^\mu\psi$ も、$\mathrm{e}^{+\mathrm{i}\epsilon}$ と $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon}$ の積で変わらないので、すべての配位で $\delta\mathcal L=0$ となる。この変換は時空の点を動かさず、場の値の「向き」だけを回すので内部対称性と呼ぶ。

時空の並進は、場の形をそのまま $\epsilon b^\nu$ だけずらす変換である（$b^\nu$ は定数の4元ベクトル）。ずらした場 $\phi'_a$ は、ずらした点で元の値を取るので$\phi'_a(x+\epsilon b)=\phi_a(x)$、すなわち $\phi'_a(x)=\phi_a(x-\epsilon b)$ で、1次では

$$\delta\phi_a=-\epsilon\,b^\nu\partial_\nu\phi_a,\qquad K_a=-b^\nu\partial_\nu\phi_a\tag{2.7.5}$$

になる。$\mathcal L$ が $x$ を陽に含まなければ、$\mathcal L$ も場と一緒にずれるだけなので $\delta\mathcal L=-\epsilon b^\nu\partial_\nu\mathcal L=\epsilon\,\partial_\mu(-b^\mu\mathcal L)$ となり、並進は $\Lambda^\mu=-b^\mu\mathcal L$ の準対称性である。$\mathcal L$ 自身が $\Lambda$ に入る点は、粒子で時刻をずらしたとき $H$ が出てきたことに対応する（第1部第10章）。