当てる道具：場の Euler–Lagrange 方程式と Noether の恒等式

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第7章 §2.7.2　★★★ 積の微分だけから恒等式を作り、保存する流れ $j^\mu$ を読み取る

前の章から借りる2つの道具

1つめは場の Euler–Lagrange 方程式である（第2部第5章）。解でない配位でも使えるように左辺に名前を付けておく。

$$\mathcal E_a\coloneqq\frac{\partial \mathcal L}{\partial \phi_a}-\partial_\mu\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi_a)},\qquad \text{運動方程式は }\mathcal E_a=0 .\tag{2.7.6}$$

2つめは第1部第10章の Noether の恒等式の作り方で、$\delta L$ の中の $p_i\dot K_i$ を積の微分で $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(p_iK_i)-\dot p_iK_i$ と書き直すという操作である。場では時間の微分 $\mathrm{d}/\mathrm{d} t$ が4つの偏微分 $\partial_\mu$ に、運動量 $p_i=\partial L/\partial\dot q_i$ が4つの成分を持つ量 $\partial\mathcal L/\partial(\partial_\mu\phi_a)$ に替わる。

Noether の恒等式

式 (2.7.2) の第2項を積の微分で書き直すと

$$\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi_a)}\partial_\mu K_a=\partial_\mu\Bigl(\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi_a)}K_a\Bigr)-\Bigl(\partial_\mu\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi_a)}\Bigr)K_a$$

で、右辺の第2項を第1項の $\partial\mathcal L/\partial\phi_a\,K_a$ とまとめると $\mathcal E_aK_a$ になる。したがって、すべての配位で

$$\delta\mathcal L=\epsilon\sum_a\mathcal E_aK_a+\epsilon\,\partial_\mu\Bigl(\sum_a\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi_a)}K_a\Bigr)\tag{2.7.7}$$

が成り立つ。これが場の Noether の恒等式である。$K_a$ が場の微分によっていても、積の微分しか使っていないので成り立つ。

証明

恒等式 (2.7.7) の左辺に仮定 $\delta\mathcal L=\epsilon\,\partial_\mu\Lambda^\mu$ を入れて移項すると、すべての配位で $\epsilon\,\partial_\mu j^\mu=-\epsilon\sum_a\mathcal E_aK_a$。解の上では $\mathcal E_a=0$ なので右辺は $0$ である。

$j^\mu$ を Noether 流（保存流）と呼ぶ。$\partial_\mu j^\mu=0$ を成分で書くと

$$\frac1c\frac{\partial j^0}{\partial t}+\nabla\cdot\bm{j}=0\tag{2.7.9}$$

で、これは連続の式である。$j^0/c$ を「何かの密度」、$\bm{j}$ をその「流れの密度」と読む。

局所的な保存と全体の保存

連続の式 (2.7.9) を空間の領域 $\Omega$ で積分し、Gauss の定理を使うと

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\int_\Omega\frac{j^0}{c}\,\mathrm{d}^3x=-\oint_{\partial\Omega}\bm{j}\cdot\bm{n}\,\mathrm{d} A\tag{2.7.10}$$

となる（$\bm{n}$ は外向きの単位法線）。領域の中の量は、境界を通って流れ出た分だけ減る（図 2.7.1）。場が無限遠で十分速く $0$ になるなら、$\Omega$ を全空間に広げると右辺が消え、

$$Q\coloneqq\frac1c\int j^0\,\mathrm{d}^3x=\int\sum_a\pi_aK_a\,\mathrm{d}^3x-\frac1c\int\Lambda^0\,\mathrm{d}^3x\tag{2.7.11}$$

が時間によらない。ここで $\partial/\partial(\partial_0\phi_a)=c\,\partial/\partial(\partial_t\phi_a)$ を使い、場の正準運動量 $\pi_a=\partial\mathcal L/\partial(\partial_t\phi_a)$ で書いた。粒子の保存量 $Q=\sum_ip_iK_i-\Lambda$ と並べると、番号 $i$ についての和が、場の番号 $a$ についての和と空間の点 $\bm{x}$ についての積分に替わっている。第2部第4章で原子の番号 $n$ が位置 $x$ に替わったのと同じ読み替えである。

場の保存則は、全体の量が保存するというだけでなく、「ある所で減った分は境界を通って隣へ流れた」という局所的な形で出てくる。連続の式のもとでは、ある量が遠く離れた2点で同時に消えて現れることは起こらない。この局所性は、相互作用が隣り合う点どうしにしか働かない（$\mathcal L$ が場とその1階微分だけで書ける）ことの帰結である。